辛悅夷，李奇達(dá)

(1.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110819；2.東北大學(xué)流程工業(yè)綜合自動(dòng)化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110819)

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展，工廠中的控制回路越來越多。一個(gè)控制系統(tǒng)由許多回路組成。這些控制回路數(shù)量龐大，而且在運(yùn)行一段時(shí)間后，由于運(yùn)行過程中操作條件的改變、過程的非線性和機(jī)器設(shè)備故障等原因，會(huì)使得控制系統(tǒng)性能下降。因此，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能評(píng)價(jià)，并對(duì)控制器進(jìn)行優(yōu)化非常必要。

單輸入單輸出(single in single out,SISO)回路則是系統(tǒng)中典型的控制回路。Harris提出的最小方差算法能夠估計(jì)回路的最小方差基準(zhǔn)值[1]。該方法只需知道控制系統(tǒng)的運(yùn)行數(shù)據(jù)和被控過程的時(shí)延知識(shí)，不要求掌握控制過程的模型，因此在工業(yè)上得到了廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，利用極點(diǎn)配置技術(shù)來矯正線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，是現(xiàn)代控制領(lǐng)域研究較多的問題之一。開環(huán)周期系統(tǒng)能夠用一組合適的狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)單值性矩陣特征值的任意配置。本設(shè)計(jì)討論了具有時(shí)變狀態(tài)或者輸入維數(shù)的線性離散周期系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題，并利用存在于狀態(tài)反饋增益?zhèn)€數(shù)中的自由度，實(shí)現(xiàn)了魯棒極點(diǎn)配置。利用狀態(tài)觀測(cè)器，將所測(cè)量到的輸出量和控制量重構(gòu)出全部狀態(tài)。本設(shè)計(jì)中采用預(yù)報(bào)觀測(cè)器，利用輸入量及模型參數(shù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。觀測(cè)器的極點(diǎn)配置使?fàn)顟B(tài)重構(gòu)具有較快的跟蹤速度。利用Ackermann公式計(jì)算出狀態(tài)反饋控制規(guī)律L和觀測(cè)器增益矩陣K。采用Z變換，計(jì)算出狀態(tài)觀測(cè)器模型，從而完成系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

1 控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)

1.1 控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)步驟

對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能評(píng)價(jià)，可以分為以下步驟[2]。

①采用相關(guān)性分析法得出系統(tǒng)時(shí)延d。

將最小方差估計(jì)值與輸出方差實(shí)際值相除，獲得系統(tǒng)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。

1.2 單輸入單輸出控制系統(tǒng)最小方差準(zhǔn)則

SISO控制系統(tǒng)框圖[3]如圖1所示。

圖1 SISO控制系統(tǒng)框圖

由圖1可知，系統(tǒng)輸出為：

(1)

將擾動(dòng)傳遞函數(shù)采用丟番圖方程展開，此時(shí)系統(tǒng)輸出可改寫為：

Fat+Lat-d

(2)

由于白噪聲是相互獨(dú)立的，所以對(duì)等式兩邊同時(shí)取方差；可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)L=0時(shí)，系統(tǒng)的輸出方差達(dá)到最小值Var(Yt)=Yar(Fat)。此時(shí)，可得單回路最小方差控制規(guī)律為：

(3)

此時(shí)，系統(tǒng)輸出為Yt=Fat。由于F與控制器的傳遞函數(shù)Q無關(guān)，因此Fat不隨控制器參數(shù)的變化而變化，也就是最小方差控制下單變量控制系統(tǒng)的輸出。根據(jù)最小方差控制性能評(píng)價(jià)思想，定義經(jīng)典的Harris性能指標(biāo)為：

(4)

(5)

1.3 SISO控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)算法研究

由圖1可得輸出表示式為：

(6)

可將等式右邊第二項(xiàng)表示為一個(gè)階次為m的自回歸模型，則式(6)可表示為：

Yt=Fat+φ1Yt-d+φ2Yt-d-1+…+φmYt-d-m+1=

(7)

記錄下系統(tǒng)的閉環(huán)輸出數(shù)據(jù)，并將其表示為矩陣形式：

Y=Fat+XΦ

(8)

其中：

Φ=[φ1φ2…φm]T

由最小二乘法，可得參數(shù)估計(jì)值為：

(9)

則系統(tǒng)的最小方差估計(jì)值可表示為：

(10)

系統(tǒng)的輸出方差實(shí)際值為：

(11)

則系統(tǒng)的性能評(píng)估指標(biāo)[4]為：

(12)

2 直流電機(jī)的物理模型、參數(shù)及設(shè)計(jì)要求

2.1 物理模型

本設(shè)計(jì)的被控對(duì)象所采用的是直流電機(jī)，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)調(diào)速控制器的設(shè)計(jì)。其物理模型[5]如圖2所示。

圖2 直流電機(jī)物理模型

雙閉環(huán)控制電流調(diào)速系統(tǒng)的特點(diǎn)是電機(jī)的轉(zhuǎn)速和電流分別由兩個(gè)獨(dú)立的調(diào)節(jié)器控制，且轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的輸出就是電流調(diào)節(jié)器的給定。因此電流環(huán)能夠隨轉(zhuǎn)速的偏差調(diào)節(jié)電機(jī)電樞的電流。當(dāng)轉(zhuǎn)速低于給定轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的積分作用使輸出增加，即電流給定上升，并通過電流環(huán)調(diào)節(jié)使電機(jī)電流增大，從而使電機(jī)獲得加速轉(zhuǎn)矩，電機(jī)轉(zhuǎn)速上升。當(dāng)實(shí)際轉(zhuǎn)速高于給定轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器的輸出減小，即給定電流減小，并通過電流環(huán)調(diào)節(jié)使電機(jī)電流下降，電機(jī)因?yàn)殡姶呸D(zhuǎn)矩減小而減速。當(dāng)轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器飽和輸出達(dá)到限幅值時(shí)，電流環(huán)以最大電流限制實(shí)現(xiàn)電機(jī)的加速，使電機(jī)的啟動(dòng)時(shí)間最短。

調(diào)速系統(tǒng)原理框圖[6]如圖3所示。

圖3 調(diào)速系統(tǒng)原理框圖

2.2 電機(jī)參數(shù)

電機(jī)參數(shù)如下。

①電機(jī)型號(hào)：DJ15。

②額定參數(shù)：PN=185 W,UN=220 V,IN=1.2 A,n=1 500 rad/min,λ=1。

③電樞電阻R=25.714 3 Ω，電樞電感L=0.734 7 s。

④電機(jī)飛輪慣量：GD2=0.10 N/m2。

⑤電樞回路電磁時(shí)間常數(shù)TL=0.032 8 s，系統(tǒng)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm=0.08 s，電動(dòng)機(jī)電勢(shì)時(shí)間常數(shù)Ce=0.114 7 s，轉(zhuǎn)矩常數(shù)Cm=1.095 3 N·m/A。

⑥電流反饋系數(shù)：β=4.615 V/A。

⑦轉(zhuǎn)速反饋系數(shù)：α=0.04 V/(r/min)。

2.3 設(shè)計(jì)要求

設(shè)計(jì)控制器，使得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)為：

①調(diào)節(jié)時(shí)間小于0.2 s；

②系統(tǒng)超調(diào)量小于2%；

③無穩(wěn)態(tài)誤差。

3 直流電機(jī)模型建立及特性測(cè)試

直流電機(jī)轉(zhuǎn)矩和電樞電流的關(guān)系為：Tr=Cmi。電樞旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)e與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)角速度ω的關(guān)系為：e=Kεω=Cen。根據(jù)牛頓第二定律，可得運(yùn)動(dòng)平衡方程式[7]為：

(13)

式中：b為電機(jī)摩擦系數(shù)，此處忽略不計(jì)。

根據(jù)回路電壓法，電機(jī)電樞回路方程式為：

(14)

(15)

式中：m為一個(gè)旋轉(zhuǎn)體上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，為質(zhì)量G和重力加速度g之比；R和D分別為旋轉(zhuǎn)體的半徑和直徑。

電機(jī)電樞回路電壓平衡和電機(jī)運(yùn)動(dòng)平衡的一組微分方程式[8]為：

(16)

(17)

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為x1=i,x2=n。以輸入電壓u為輸入、轉(zhuǎn)速n為輸出，可得狀態(tài)空間表達(dá)式為：

(18)

代入系統(tǒng)參數(shù)，可得：

當(dāng)設(shè)置給定電壓是220 V時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

由圖4可以得出：最大峰值轉(zhuǎn)速為2 012 rad/min，穩(wěn)態(tài)值為1 920 rad/min，所以原系統(tǒng)的超調(diào)量為4.79，調(diào)節(jié)時(shí)間Ts=0.237 s。

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能控性判斷與能觀測(cè)性判斷：

由此可知，系統(tǒng)是完全能控能觀測(cè)的。因此，求出原系統(tǒng)在空載的情況下超調(diào)量為4.96%，調(diào)節(jié)時(shí)間(2%的誤差帶)Ts=0.228 6 s，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差Ess為0.1%。

從以上數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果可得，系統(tǒng)并不滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。所以，有必要設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器來修正原系統(tǒng)，使新系統(tǒng)指標(biāo)達(dá)到所要求的設(shè)計(jì)指標(biāo)。

4 基于狀態(tài)空間模型的直流電機(jī)控制器的設(shè)計(jì)

4.1 期望配置極點(diǎn)的確定與狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

根據(jù)上述設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，選擇調(diào)節(jié)時(shí)間(2%的誤

x1,2=-22.45±18.074

z1,2=-0.035 25±j0.146 92

4.2 建立離散的狀態(tài)空間模型

使用MATLAB語言，將連續(xù)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為離散的狀態(tài)空間模型。使用[F G] =c2d(A,B,0.1)命令，可得：

由z1,2求出αc(z)=z2+0.049 4z+0.011 11，分別利用如下公式求出反饋控制率矩陣L、狀態(tài)觀測(cè)器反饋增益矩陣K、前饋增益矩陣Lr：

L=[0 … 1] [GFG…Fn-1G]-1αc(F)

(19)

(20)

(21)

將以上各式代入控制器的模型表達(dá)式中：

同時(shí)，利用Z變換求出x1(z),x2(z)，結(jié)果分別為：

x1(z)=[-0.001 4x2(z)+0.012 5uz)-0.000 3(y(z)-

x2(z)=[37.698x1(z)+7.707 4u(z)-0.089 1(y(z)-

u(z)=0.538 3x1(z)-0.006 0u(z)+0.108 7r(z)

根據(jù)上述參量之間的關(guān)系，建立Simulink仿真框圖，整理成傳遞函數(shù)的形式，如圖5所示。

圖5 傳遞函數(shù)形式的仿真框圖

當(dāng)給定階躍信號(hào)為1、H(1)=1及加上增益時(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

由圖6可得出：最大峰值轉(zhuǎn)速為1 955 rad/min，額定轉(zhuǎn)速為1 918 rad/min，所以超調(diào)量為1.93%，滿足設(shè)計(jì)要求。系統(tǒng)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間為0.31 s，所以調(diào)節(jié)時(shí)間滿足設(shè)計(jì)要求。穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為1 918.16 rad/min，額定轉(zhuǎn)速為1 918 rad/min，所以穩(wěn)態(tài)誤差Ess<0.01%，滿足設(shè)計(jì)要求。

由以上分析可知：三項(xiàng)指標(biāo)均滿足設(shè)計(jì)要求，說明極點(diǎn)配置合理。與原系統(tǒng)相比，新系統(tǒng)的超調(diào)量更小，響應(yīng)時(shí)間更快，系統(tǒng)穩(wěn)定性更好。

5 基于傳遞函數(shù)的電動(dòng)機(jī)控制器設(shè)計(jì)

5.1 設(shè)計(jì)原理

基于傳遞函數(shù)模型設(shè)計(jì)控制器。采用傳遞函數(shù)的多項(xiàng)式計(jì)算來代替狀態(tài)空間模型的矩陣形式計(jì)算。在上述討論中，采用的方法是前饋與反饋相結(jié)合的跟蹤系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)[9]。首先，根據(jù)被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型，采用極點(diǎn)配置的方法分別設(shè)計(jì)觀測(cè)器和控制規(guī)律[10]。然后，根據(jù)分離性原理，組成控制器。最后，將其寫成傳遞函數(shù)的形式，得到由前饋控制器和反饋控制器組成的復(fù)合控制器。

5.2 計(jì)算R(z)和S(z)

5.3 建立極點(diǎn)配置復(fù)合控制器模型

極點(diǎn)配置復(fù)合控制器模型如圖7所示。

圖7 極點(diǎn)配置復(fù)合控制器模型

當(dāng)給定信號(hào)為220、H(1)=8.718時(shí)，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

5.4 分析

根據(jù)上述討論的結(jié)果仿真分析得知，前饋控制器與反饋控制器建立的模型和基于狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)得到的結(jié)果基本相同。這就說明基于傳遞函數(shù)模型和基于狀態(tài)空間模型設(shè)計(jì)得到的控制器具有一致性。

6 結(jié)束語

本文首先對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能評(píng)價(jià)，通過時(shí)間序列分析技術(shù)找出反饋不變項(xiàng)，作為性能評(píng)價(jià)的基準(zhǔn)值，從而得出性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。本設(shè)計(jì)中采用兩種方法對(duì)直流電動(dòng)機(jī)的模型進(jìn)行設(shè)計(jì)閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)控制器，分別為基于狀態(tài)空間模型極點(diǎn)配置的控制器設(shè)計(jì)和基于傳遞函數(shù)模型的復(fù)合控制器的設(shè)計(jì)。通過MATLAB仿真并對(duì)兩種設(shè)計(jì)方法進(jìn)行比較，可知在控制性能上兩種方案能夠達(dá)到完全一致的效果，滿足設(shè)計(jì)要求。隨著現(xiàn)代工業(yè)的不斷發(fā)展，工廠中的控制回路越來越多。在實(shí)際的工業(yè)過程中，工況會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化，此時(shí)，原控制器已無法滿足當(dāng)前系統(tǒng)的控制要求，會(huì)使得系統(tǒng)的控制性能大幅度下降，不僅導(dǎo)致產(chǎn)品質(zhì)量隨之下降，還可能造成安全事故。因此，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能評(píng)估與優(yōu)化的研究具有非常重要的意義。