◆亓奎章
(山東萊蕪師范附屬小學(xué))
“模型”是依照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的模擬物品,它多用來(lái)做展覽或?qū)嶒?yàn)。模型在我們的日常生活中經(jīng)常見到和用到,大家對(duì)它并不陌生。模型可以讓人們整體概括的認(rèn)識(shí)原型物體和部分細(xì)致的研究原型物體;可以讓人們不接觸到原型物體,就能對(duì)原型物體進(jìn)行認(rèn)識(shí)了解和做操作實(shí)驗(yàn)研究。和其它模型一樣,“數(shù)學(xué)模型”就是展現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中物體間的數(shù)量關(guān)系和空間形式的模型。
數(shù)學(xué)模型的作用:數(shù)學(xué)模型把實(shí)際物體用它的形象表示,把形象用圖形、概念和數(shù)字符號(hào)表示,把物體間的數(shù)量關(guān)系用關(guān)系符號(hào)表示。讓人們既清晰簡(jiǎn)明地認(rèn)識(shí)到數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性和規(guī)律,又容易的發(fā)現(xiàn)不同物體間的數(shù)量關(guān)系共性規(guī)律和個(gè)體差異,從而找到研究和改進(jìn)方法,讓人們由此及彼的解決一類問題。用數(shù)學(xué)模型研究數(shù)量關(guān)系,能大大減少人們?cè)谘芯繑?shù)量關(guān)系時(shí)的實(shí)驗(yàn)次數(shù),能簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)過程;能讓許多實(shí)際問題可以直接用符號(hào)關(guān)系式分析研究,用邏輯推理證明得出正確結(jié)論。
數(shù)學(xué)建模突出的是“建”字,而認(rèn)識(shí)和運(yùn)用模型則是建模過程中的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)建模就是讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。它運(yùn)用了“物體模型是人人都可以參與設(shè)計(jì)建構(gòu)的”原理,讓每個(gè)學(xué)生都來(lái)自主參與數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)。通過自主建模,使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)原理、用途用法,培養(yǎng)學(xué)生的自主探究實(shí)驗(yàn)?zāi)芰蛣?chuàng)新精神。
1.把實(shí)際問題中的具體物體形象化、數(shù)量化。我們要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)量關(guān)系研究,是不可能到實(shí)際問題的現(xiàn)場(chǎng),用實(shí)際物體進(jìn)行分析研究、操作實(shí)驗(yàn)的。因此,要建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,首先要根據(jù)“實(shí)際物體的數(shù)量關(guān)系可以用它的形象(圖片)代替原物進(jìn)行分析研究”這一數(shù)學(xué)基本原理,把實(shí)際物體用它的形象表示,然后把形象按照度量單位用方格圖片表示出來(lái),再用方格圖片代替原物進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析研究。學(xué)生把具體實(shí)物用方格圖片表示出來(lái)的過程,就是把具體物體形象化、數(shù)量化的過程。它是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的首要基礎(chǔ),是把具體物體轉(zhuǎn)化成用數(shù)字符號(hào)表示的橋梁通道。
2.用物體形象代替原物操作實(shí)驗(yàn),分析研究數(shù)量關(guān)系。學(xué)生把具體實(shí)物用方格學(xué)具表示出后,就可以再根據(jù)“物體的數(shù)量只與度量有關(guān),與物體所在位置無(wú)關(guān)”這一原理,讓學(xué)生用方格圖片代替實(shí)際物體,把方格圖片集中在一起,在課桌上對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行模擬操作實(shí)驗(yàn),分析研究它們的數(shù)量關(guān)系情況。
3.把操作實(shí)驗(yàn)過程,用數(shù)學(xué)符號(hào)表示。物體形象用方格圖片表示后,實(shí)際物體就變成了能用數(shù)字表示的數(shù)量符號(hào)。而對(duì)方格圖片的操作實(shí)驗(yàn),無(wú)非就是拼、分、比、量操作?!捌础本褪恰凹踊虺恕?,用符號(hào)表示是:“+”或“×”;“分”就是“減或除”,用符號(hào)表示是:“-”或“÷”;“比”就是對(duì)比,用符號(hào)表示是:“>、<、=”;“量”就是倍數(shù)關(guān)系,用符號(hào)表示是:“×、÷”。把操作實(shí)驗(yàn)的方法用符號(hào)表示,物體數(shù)量用數(shù)字表示,操作實(shí)驗(yàn)方法過程就可以用數(shù)學(xué)符號(hào)關(guān)系式表示出來(lái)。
4.把數(shù)學(xué)符號(hào)關(guān)系式推廣到其它另外物體上,進(jìn)行應(yīng)用驗(yàn)證。把操作實(shí)驗(yàn)過程數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式,作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型,推廣應(yīng)用到其它類似實(shí)際問題上,看能不能行?找一找、試一試這個(gè)數(shù)學(xué)模型還能解答哪些類似問題。
如找一找、試一試,用“2+3=5”還能解決哪些實(shí)際生活問題?把猴子圖片換成兔子圖片時(shí),這個(gè)關(guān)系式還能行嗎?換成鳥圖片、樹圖片呢……解答的這些實(shí)際問題有什么共同規(guī)律?是不是所有的2個(gè)物體與3個(gè)物體合起來(lái)都與5個(gè)物體相等?2個(gè)蘋果與3個(gè)梨和在一起,與5個(gè)桃子相等嗎?
5.對(duì)所建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行拓展研討,創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)研究。根據(jù)已經(jīng)建立起的數(shù)學(xué)模型規(guī)律,讓學(xué)生自主研討:能不能再建立起一個(gè)或幾個(gè)類似的模型。并讓學(xué)生用自己新建立的模型,解決一些相關(guān)實(shí)際問題。
如讓學(xué)生根據(jù)“2+3=5”這個(gè)數(shù)學(xué)模型,研討能不能建立一個(gè)“3+4=?”的模型?用它你能解決哪些實(shí)際問題?你還能自己建立起另外的幾個(gè)這樣的數(shù)學(xué)模型嗎?誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)你是怎樣建立這些數(shù)學(xué)模型的?用這些模型解決的實(shí)際問題有什么共同特點(diǎn)?等等。
綜上所述可以看出,數(shù)學(xué)建模教學(xué)利用了“模型的導(dǎo)師引領(lǐng)作用”和“建模的自主探究實(shí)驗(yàn)性”原理,讓學(xué)生積極主動(dòng)地自主探究實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)注重的是過程方法,培養(yǎng)的是探究實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?,是一種非常符合現(xiàn)代教學(xué)要求的新型教學(xué)方法。