關(guān)于梁的彎曲中若干公式的分類討論①

李成 沈紀(jì)蘋 姚林泉

摘 ? 要：梁的彎曲在工程結(jié)構(gòu)中有著廣泛的應(yīng)用，一些基本公式如彎矩與內(nèi)力的合力偶矩間關(guān)系、彎曲正應(yīng)力與彎矩間關(guān)系、軸向應(yīng)變與曲率間關(guān)系、撓曲軸微分方程、彎曲應(yīng)力或軸向應(yīng)變與撓度間關(guān)系等，往往會(huì)受到若干量的正方向規(guī)定之影響。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們對基本公式的正負(fù)號時(shí)常會(huì)弄混。不同研究文獻(xiàn)中對這些公式也使用著不同的表達(dá)形式，通常是相差一個(gè)負(fù)號。然而，何種情況下使用何種表達(dá)形式，或者所使用的表達(dá)式對應(yīng)于何種正方向規(guī)定，在有些文獻(xiàn)中缺乏清晰的說明。本文針對這個(gè)問題開展具體的分類討論和總結(jié)，以期為梁的彎曲中基本表達(dá)式的使用提供明確的參考。

關(guān)鍵詞：梁的彎曲 ?正應(yīng)力 ?彎矩 ?撓度 ?曲率

中圖分類號：O33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）09（b）-0231-04

Abstract： The bending of beams is widely applied in engineering structures. Some basic formulas are often influenced by the positive directions of various quantities， such as the relationship between bending moment and resultant moment of internal force， the relationship between bending normal stress and bending moment， the relationship between axial strain and curvature， the differential equation of deflection curve， the relationship between normal stress or axial strain and deflection. It is found in teaching that students often confuse the positive and negative signs of basic formulas. These formulas were expressed differently in previous literatures， usually with a positive or negative sign. However， there is a lack of clear explanation in some literatures about which kind of expressions should be used in certain situations， or what the positive directions are corresponding to the formulas used. This paper carries out a specific classification and discussion， in order to summarize the differences and commonalities， and provide a clear reference for the application of the basic formulas in the bending of beams.

Key Words： Bending of beams; Normal stress; Bending moment; Deflection; Curvature

梁的彎曲是材料力學(xué)課程中的重要教學(xué)內(nèi)容，一般包括彎曲內(nèi)力、彎曲應(yīng)力和彎曲變形三大部分[1-4]。在一些國內(nèi)外現(xiàn)行的材料力學(xué)教材中，有的規(guī)定彎曲應(yīng)力中橫向坐標(biāo)（以y坐標(biāo)表示）以向下為正，而彎曲變形中撓度（以w表示）以向上為正[1-2];有的規(guī)定橫向坐標(biāo)和彎曲撓度均向下為正[3]，還有的規(guī)定橫向坐標(biāo)和彎曲撓度均向上為正[4]，等。正方向規(guī)定的不同使得前后兩部分的公式推導(dǎo)特別在正負(fù)符號方面銜接不自然且易產(chǎn)生混淆。另外，不同的教材中對彎矩的正方向規(guī)定也不盡相同，多數(shù)以使得梁段發(fā)生上凹變形的彎矩為正，少數(shù)則以梁段發(fā)生上凸變形的彎矩為正。上述方向規(guī)定的不同也導(dǎo)致了梁的彎曲中另一類重要內(nèi)力，即剪力的方向（使梁的微段具有順時(shí)針還是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢為正）及其與彎矩和載荷集度間關(guān)系存在不同的表達(dá)，并帶來了后續(xù)其他公式的推導(dǎo)中是否含有負(fù)號這一問題。比如，在研究文獻(xiàn)中，梁的彎曲正應(yīng)力和軸向正應(yīng)變與彎曲撓度關(guān)系，一般都采用[5-8]

， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

然而，式（1）是否對任何正方向規(guī)定都適應(yīng)？是否存在等號右邊不帶負(fù)號的情形（但該種情形在研究文獻(xiàn)中幾無跡可尋）？另外，基本的彎矩定義式也有如下兩種表達(dá)式均在文獻(xiàn)中使用[7-11]

， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，前者多出現(xiàn)在材料力學(xué)教材[1-3]及部分文獻(xiàn)中[7，10-11]，而后者在教材[4]及研究文獻(xiàn)中也廣泛存在[8，9，12]。另一方面，有些文獻(xiàn)沒有事先強(qiáng)調(diào)所有基本量的正方向，直接使用撓曲軸近似微分方程如下：

（3）

而忽略了可能存在的另一種情況

（4）

這些研究現(xiàn)狀表明，如果在梁的彎曲中，沒有事先明確必要的各類正方向，對后續(xù)公式推導(dǎo)及力學(xué)量的表達(dá)容易產(chǎn)生符號上的混亂。本文以最簡單的梁的平面純彎曲為例，討論上述公式分別適用于何種具體情形。

1 ?分類討論

根據(jù)正方向選取的不同，本文分別討論四種基本情況，并試圖從中尋找若干共性規(guī)律。根據(jù)彎矩M、橫向坐標(biāo)y以及撓度w的正方向之不同，存在如下四種基本情況，如圖1（a）～圖1（d）所示。其中，為了分析方便，橫向坐標(biāo)y與撓度w的正方向總是選取同一方向，避免了橫向坐標(biāo)與撓度正方向選取不一致時(shí)，導(dǎo)致的公式推導(dǎo)過程不夠連貫的問題。

1.1 第一種情況

首先考慮圖1（a）所示的第一種情況，該梁段上橫截面的受力分析如圖2所示。

根據(jù)定義，彎矩是由橫截面上的彎曲正應(yīng)力取矩合成而得。橫截面上中性層以下部分受拉，中性層以上部分受壓，應(yīng)力對形心之矩與圖中所規(guī)定的彎矩方向一致。因此針對圖1（a），純彎曲中唯一的彎矩內(nèi)力表達(dá)式為

（5）

我們知道，在平面（Oxy面）彎曲時(shí)截面對z軸的慣性矩為

（6）

慣性矩是橫截面的基本幾何屬性之一，與坐標(biāo)方向無關(guān)，因此它適應(yīng)于圖1（a）-圖1（d）的各種情況。按照圖1（a）的坐標(biāo)系和正彎矩的規(guī)定可得到彎曲正應(yīng)力為

（7）

進(jìn)一步地，考慮正應(yīng)力或正應(yīng)變與彎曲變形撓曲線曲率之間的關(guān)系。圖1（a）中，因?yàn)闄M向坐標(biāo)y向下為正，當(dāng)y取正時(shí)，對應(yīng)梁的中性層以下部分，此時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變均為正（拉應(yīng)力/拉應(yīng)變）;當(dāng)y取負(fù)時(shí)，對應(yīng)梁的中性層以上部分，此時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變均為負(fù)（壓應(yīng)力/壓應(yīng)變）。這就是說，彎曲應(yīng)力和軸向應(yīng)變與橫向坐標(biāo)總是同號，那么

（8）

結(jié)合式（7）和（8）可得

（9）

根據(jù)曲率的近似表達(dá)可知

（10）

因此，

（11）

根據(jù)圖1（a）中彎矩M和撓度w的方向規(guī)定，可知M>0，，也就是M與是異號的，因此有

（12）

基于上述材料力學(xué)的分析結(jié)果，進(jìn)一步可推知梁（此處分析僅適應(yīng)于Euler–Bernoulli梁）的彎曲正應(yīng)力為

（13）

1.2 第二種情況

在圖1（b）中，因?yàn)閺澗胤较蚺c圖1（a）相同，而y方向與圖1（a）相反，根據(jù)彎矩的定義即橫截面的內(nèi)力之合力偶矩，那么彎矩表達(dá)式變?yōu)?/p>

（14）

上式也可以理解為：在圖1（b）中，正應(yīng)力或正應(yīng)變與橫向坐標(biāo)總是異號，即中性層以上部分橫向坐標(biāo)為正，但存在壓應(yīng)力或壓應(yīng)變;中性層以下部分橫向坐標(biāo)為負(fù)，但存在拉應(yīng)力或拉應(yīng)變。據(jù)此亦可得

（15）

同時(shí)，由式（14）和式（6）可得

（16）

由式（15）和式（16）可得

（17）

根據(jù)圖1（b）中彎矩和撓度的方向，可知M>0，，也就是M與是同號的，因此有

（18）

進(jìn)一步可得Euler–Bernoulli梁的彎曲正應(yīng)力為

（19）

1.3 第三種情況

在圖1（c）中，僅彎矩方向與圖1（a）相反（但y方向與圖1（a）相同），那么彎矩表達(dá)式與式（14）相同。同樣可以理解為：在圖1（c）中，應(yīng)力或應(yīng)變與橫向坐標(biāo)總是異號，比如中性層以上部分橫向坐標(biāo)為負(fù)，但應(yīng)力或應(yīng)變?yōu)檎?，?jù)此亦可得式（15）。進(jìn)一步地，第二種情況下的式（16）和式（17）亦適應(yīng)于本類情況。不同的是，根據(jù)圖1（c）中彎矩和撓度的方向，可知M<0，，也就是M與是異號的，因此有，在此基礎(chǔ)上推得彎曲正應(yīng)力不同于以上兩種情況，為

（20）

1.4 第四種情況

在圖1（d）中，因?yàn)閺澗豈及橫向坐標(biāo)y方向均與圖1（a）相反，那么彎矩表達(dá)式與式（5）相同。同樣可以理解為：在圖1（d）中，應(yīng)力或應(yīng)變與橫向坐標(biāo)總是同號，在中性層以上部分橫向坐標(biāo)為正，恰好對應(yīng)拉應(yīng)力和拉應(yīng)變;在中性層以下部分橫向坐標(biāo)為負(fù)，恰好對應(yīng)壓應(yīng)力和壓應(yīng)變。據(jù)此亦可得式（8）。進(jìn)一步地，第一種情況下的式（7）和式（11）亦適應(yīng)于本類情況。不同的是，根據(jù)圖1（d）中彎矩和撓度的方向，可知M<0，，也就是M與是同號的，因此有，此時(shí)正應(yīng)力為

（21）

當(dāng)然，以上四種情況還可繼續(xù)細(xì)分，也就是把橫向坐標(biāo)與撓度方向分開。比如圖1（a）中，如果橫向坐標(biāo)和撓度中有一個(gè)改為向上為正，可根據(jù)1.1節(jié)的分析思路得出若干公式的新表達(dá)，比如最后彎曲正應(yīng)力將變?yōu)?，其他各種情況類同。實(shí)際上，以上四種情況，若單單考慮彎曲正應(yīng)力或軸向正應(yīng)變，也可以直接從曲率角度出發(fā)。因?yàn)檩S向應(yīng)變，而曲率，所以也可直接看出軸向應(yīng)變與彎曲撓度間的關(guān)系存在帶正號或帶負(fù)號兩種情況。當(dāng)然，在明確給定各類正方向的條件下，彎曲正應(yīng)力或軸向正應(yīng)變的表達(dá)式是唯一的，具體可參照上述四種不同情況。

2 ?結(jié)語

本文討論了梁的彎曲中彎矩、撓度、橫向坐標(biāo)在不同方向選取的情況下，所引起的相關(guān)基本公式在表達(dá)上的差異，具體結(jié)果如表1所示。其中，彎矩定義式①、彎曲正應(yīng)力與彎矩的關(guān)系②、彎曲正應(yīng)力或軸向應(yīng)變與曲率的關(guān)系②隨著彎矩與橫向坐標(biāo)所取方向的改變而改變;撓曲軸近似微分方程③、應(yīng)力或應(yīng)變與撓度的關(guān)系④隨著彎矩與撓度所取方向的改變而改變。此外，根據(jù)撓曲軸近似微分方程在四種情況下的表達(dá)可知，彎矩與曲率的方向總是一致的。

實(shí)際上，只要分析清楚第一種情況，其余三類可以對比第一種情況根據(jù)彎矩、撓度、橫向坐標(biāo)的改變直接推知結(jié)果。比如，第二種情況相比第一種情況，首先橫向坐標(biāo)反向，因此與橫向坐標(biāo)相關(guān)的公式①和②在兩種情況下符號相反;其次撓度反向，因此與撓度相關(guān)的公式③符號相反;最后橫向坐標(biāo)與撓度均反向，因此與二者皆相關(guān)的公式④符號不變?；诒疚牡姆诸愑懻摻Y(jié)果，可根據(jù)梁的彎曲受力示意圖中諸量的方向，在相關(guān)研究中直接對號入座使用相應(yīng)的撓曲軸近似微分方程和正應(yīng)力表達(dá)等關(guān)系式。

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