田果萍，康淑瑰

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009)

《初等數(shù)學(xué)研究》作為師范類數(shù)學(xué)教育的必修課，起著聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的橋梁作用。其高觀點整合初等數(shù)學(xué)的特殊內(nèi)容性質(zhì)、一周2課時的偏少教學(xué)時數(shù)、學(xué)生已學(xué)過但又基本遺忘了的獨特學(xué)情、考試成績與課堂表現(xiàn)極低的相關(guān)性等諸多因素迫使本課程的授課教師不斷探索教材內(nèi)容的整合，不停嘗試并反思各種教學(xué)方式，不斷提高課堂教學(xué)的有效性，以期貼近核心素養(yǎng)觀下的基礎(chǔ)教育改革需求，為中小學(xué)教育教學(xué)的發(fā)展服務(wù)。對照2018年4月4日印發(fā)的《山西省教育廳高等教育處2018年工作思路及要點》文件中關(guān)于高?！罢n堂革命”的精神、以慕課建設(shè)與翻轉(zhuǎn)課堂為切入點，加強教師能力建設(shè)，推動大學(xué)課堂從內(nèi)容到方法、到技術(shù)的深刻革命從而深化大學(xué)課堂教學(xué)改革的具體工作思路，結(jié)合山西省從2018年起將實施新一輪的高考課程改革的現(xiàn)實背景，每一位高校教師不得不迎頭接受這場挑戰(zhàn)，勇于嘗試，主動總結(jié)，積極探討，共同進步。以下是近10年來在《初等數(shù)學(xué)研究》這門課程中的課堂教學(xué)探索路徑，望與同行商榷。

1 課標的認識

《初等數(shù)學(xué)研究》是學(xué)生掌握了一定的高等數(shù)學(xué)理論知識的基礎(chǔ)上，繼《心理學(xué)》《教育學(xué)》之后，《教學(xué)論》之前（我校一般安排在二年級第二學(xué)期）開設(shè)的一門師范類數(shù)學(xué)專業(yè)選修類課程（我校采用必修形式）。培養(yǎng)嚴謹、系統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)理論和基本知識以及訓(xùn)練解題技巧是其基本目標，服務(wù)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是其價值所在[1]。

2 教學(xué)現(xiàn)狀及困惑

《初等數(shù)學(xué)研究》是《初等代數(shù)研究》與《初等幾何研究》的合成版。教學(xué)實施也由原來的2學(xué)期變?yōu)?學(xué)期，課時每周2小節(jié)，共36課時。在這樣的時間內(nèi)面對如此多的內(nèi)容，如何達到或基本達到課標的目標？求全？不可能。求精？局部可能。

曾經(jīng)嘗試過代數(shù)幾何各選一部分，求細不求全，但難以完善學(xué)生系統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)；之后，只講代數(shù)，結(jié)果對幾何一些經(jīng)典問題未曾涉獵感到遺憾；目前嘗試代數(shù)全部涉獵，但目標不同，有注重知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)與完整性（如數(shù)系的擴展），有注重解題技巧的（如因式分解、勾股定理的證明等），有注重概念的發(fā)展與理解（如函數(shù)概念的發(fā)展）等，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的性質(zhì)設(shè)置多元化的課堂教學(xué)目標。以下是在探索過程中的一些路徑與所思。

3 教學(xué)理念

龔雄飛的“學(xué)本教學(xué)”是在基礎(chǔ)教育課程改革催生下，由“教本范式”轉(zhuǎn)型而來的，經(jīng)過中學(xué)教學(xué)實踐的一種區(qū)域性教學(xué)范式。其核心內(nèi)涵是“以學(xué)生學(xué)習(xí)為本，以學(xué)生發(fā)展為本”，前者要求充分相信學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，依靠學(xué)生的學(xué)習(xí)實踐；后者要求既關(guān)心學(xué)生當(dāng)前的發(fā)展，又著眼學(xué)生長遠的發(fā)展；是一種由教學(xué)原則、教學(xué)目標、教學(xué)程序、教學(xué)評價等構(gòu)成的基本結(jié)構(gòu)支撐下的聯(lián)系教學(xué)理念與教學(xué)實踐的系統(tǒng)性的中介或橋梁，具有完善理論和指導(dǎo)實踐的雙重功能，因此說也是一種教學(xué)模式。其重要功能體現(xiàn)在落實課堂三維目標、促進學(xué)生自主成長、提高教師專業(yè)水平與推動教育內(nèi)涵發(fā)展等四方面[2]。該理念為本文做了理論支撐，也給高校本科教育教學(xué)改革提供一種參照。

4 實踐探索

在教學(xué)實踐過程中，主要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與課程的主要目標與價值來決定教學(xué)策略與教學(xué)方式的，目前的實踐經(jīng)驗歸納如下：

4.1 高度重視緒言——厘清學(xué)科結(jié)構(gòu)，明確課程目標與學(xué)習(xí)方法

緒言作為每一門課程的開場白，會介紹該課程的發(fā)展歷程、專業(yè)地位與作用、內(nèi)容、學(xué)習(xí)目標及學(xué)習(xí)方法建議等，通常采用不講或讓學(xué)生自己閱讀、或老師簡要介紹一言帶過的教學(xué)方法。本文認為緒言猶如課堂教學(xué)目標一樣，是該課程教與學(xué)的總目標，至始至終統(tǒng)領(lǐng)著每個課堂教與學(xué)的全過程，教學(xué)方法不是單向的告訴與傾聽的關(guān)系，而是學(xué)生主動查閱資料、自我感知、閱讀討論、歸納概括的一個必要經(jīng)歷，是自己對學(xué)科結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)目標的“再發(fā)現(xiàn)”過程，只有這樣才是發(fā)自學(xué)生內(nèi)心的聲音，才能對其后續(xù)的學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)作用，發(fā)揮出學(xué)生自我評價時的標準作用。用時2課時。教師要懂得且學(xué)會舍得。表明看來浪費時間，實則相當(dāng)于學(xué)生自己擬定學(xué)習(xí)計劃，自己對自己負責(zé)，從而學(xué)習(xí)不再盲目，一學(xué)期三維教學(xué)目標之一的情感態(tài)度價值觀目標能否樹立在學(xué)生心中，全依仗著這一節(jié)緒論課如何上。重視了，學(xué)生經(jīng)歷了，學(xué)生對本專業(yè)熱愛了，認識到本課程的重要性了，正確的學(xué)科思想樹立起來了，努力的方向與目標有了，教師就省心了、放心了，是師生雙方都劃算的事情。

4.2 結(jié)合數(shù)學(xué)史領(lǐng)略歷史淵源，厘清基本概念，壓縮課時——以數(shù)系為例

“調(diào)整、挖掘、補充、還原、整合、改進”[3]是加工處理數(shù)學(xué)教材的7種常用方法。不論哪一種版本的教材，均把數(shù)系置于第一章的位置，展示了數(shù)系的產(chǎn)生與擴展過程。結(jié)合《數(shù)學(xué)史》讓學(xué)生明了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生淵源、數(shù)的發(fā)展史、數(shù)系擴展的方法與得失、數(shù)學(xué)符號的來由、數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的劃分、教材體系的公理化結(jié)構(gòu)（整合幾何部分的歐氏幾何體系）、關(guān)于結(jié)構(gòu)與模式的數(shù)學(xué)本質(zhì)等，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)發(fā)展史帶來的數(shù)學(xué)概念、語言與方法等重要信息。下面是一些教學(xué)片斷：

片斷1：關(guān)于數(shù)學(xué)生成源的對話。

這類課堂基本是師生對話交流的課堂，鮮有純講授方式，而且允許學(xué)生課堂使用手機查閱資料，或借助微信平臺傳閱共享資料。

師：心理學(xué)認為，任何行為的產(chǎn)生都有一個稱之為動機的事物在催生著，思考、討論、查閱是什么促使數(shù)學(xué)的產(chǎn)生？

生：原始社會就有吧，公有制下要分配，就得數(shù)數(shù)吧。

生：我在網(wǎng)上搜了幾次運動鞋之后，一打開網(wǎng)頁，運動鞋的廣告就首先跳了出來，是誰怎么知道我關(guān)注這個？（同學(xué)開始笑）

生：華為在法國與俄羅斯都設(shè)有數(shù)學(xué)研究所呢！

生：聽《抽象代數(shù)》老師說過，抽象代數(shù)的產(chǎn)生是源于對五次方程求根公式的探索。

……

看討論的差不多了，研究者引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出了如下結(jié)論：數(shù)學(xué)的主要生成源是自然宇宙，外部動力源為社會實踐，內(nèi)部動力源為數(shù)學(xué)本身。

片段2：數(shù)的發(fā)展簡史、數(shù)系的擴展——數(shù)學(xué)閱讀的培養(yǎng)。

十分重視學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)，認為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程，數(shù)學(xué)閱讀是數(shù)學(xué)化的突破口，也是數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)方式的瓶頸。因為數(shù)學(xué)閱讀能指引著學(xué)習(xí)者從生活走向的數(shù)學(xué)世界，也引領(lǐng)著學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)符號世界中移動[4]。常利用微信平臺指導(dǎo)學(xué)生如何進行數(shù)學(xué)閱讀。

在規(guī)定時間內(nèi)閱讀完之后，讓學(xué)生回憶自己的數(shù)系擴展過程，將目前小學(xué)生的數(shù)系擴展過程（以蘇教版為例）進行對比，讓學(xué)生體會到：歷史上新數(shù)的產(chǎn)生是交替出現(xiàn)的，如歷史上負數(shù)前于無理數(shù)，虛數(shù)早于實數(shù)理論等；而且學(xué)生的數(shù)系擴展與歷史發(fā)展過程中的順序也不一樣，如真分數(shù)-小數(shù)-假分數(shù)穿插在一起交替出現(xiàn)，使學(xué)生明白學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)與教育形態(tài)的數(shù)學(xué)是有差異的，前者是為了適應(yīng)學(xué)生心理發(fā)展的年齡特征，用教育學(xué)與心理學(xué)理論加工過的后者的變式，但作為職前教師，兩種形態(tài)都得明了。而且每一次擴展后，先前數(shù)集的一些性質(zhì)可能會失去，并舉例說明。

片段3：各種數(shù)集符號的研究——滲透數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的數(shù)學(xué)觀。

教師的數(shù)學(xué)觀影響著其教學(xué)觀，教學(xué)觀決定著其教學(xué)設(shè)計與教學(xué)行為。認同數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)（science of pattern）這一數(shù)學(xué)觀，也踐行著這一數(shù)學(xué)觀。

師：每種數(shù)集的專用符號不同，誰最先提出來的？查閱并匯報。

生：自然數(shù)集、實數(shù)集與復(fù)數(shù)集均取自其英文的首字母，原詞分別為natural、real、complex；有理數(shù)集用Q表達，是源于有理數(shù)的實質(zhì)是分數(shù)，本質(zhì)是兩數(shù)之商，商的英文是quotien，Q是其首字母，文獻中有理數(shù)用rational munber表示；最有意思的是整數(shù)集用Z表示，有2個版本：一是20世紀30年代布爾巴基學(xué)派在《代數(shù)》第一章中正式使用；二是德國女?dāng)?shù)學(xué)家諾特首次提出，因為Z是德文整數(shù)Zahlen的首字母。但文獻中依然用英文whole number來表述整數(shù)。

師：從此，這些符號就成為一種固定的模式被沿用下來。還有，每一個數(shù)學(xué)概念、公式與法則等都是某種規(guī)律的概括，成為一種固定的模式文化傳遞下來，教育就是一種文化傳承嘛，這種模式觀代表著一種前沿的數(shù)學(xué)觀，即數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的一種科學(xué)，是20世紀80年代一批美國學(xué)者在《振興美國數(shù)學(xué)——90年代的計劃》一書中提出的，其目的是要揭示來自于自然、社會與數(shù)學(xué)內(nèi)部世界中的結(jié)構(gòu)與對稱性[5]。當(dāng)康托爾建立了集合理論之后，布爾巴基學(xué)派將此看作樹根，將代數(shù)、拓撲與序結(jié)構(gòu)看作主桿，將數(shù)學(xué)各分支看作枝葉，形象地描繪出了一棵茂盛的數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)樹圖，在現(xiàn)實生活中日益突出了強大的理論價值。

4.3 上通高等數(shù)學(xué)，下達中小學(xué)課堂——以運算為例

始終將《初等數(shù)學(xué)研究》的橋梁作用貫穿于課堂教學(xué)之中，不失時機地讓學(xué)生體驗本課程上通數(shù)學(xué)，下達課堂，為中小學(xué)服務(wù)的宗旨。有時采用問題串的提綱形式進行討論，有時采用追問的形式。

片段1：自然數(shù)的基數(shù)理論與序數(shù)理論的研究——高觀點下審視初等數(shù)學(xué)。

師：概念提出之后，繼而就得構(gòu)建相應(yīng)的理論了，閱讀基數(shù)理論與序數(shù)理論后思考并討論以下問題：

·分別從意義與運算角度分析乘法交換律ab=ba(回憶小學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷)

·利用《高等代數(shù)》中的矩陣轉(zhuǎn)置知識分析ab=ba

·從運算的實施角度評價康托爾的基數(shù)理論

·書中2+3=5的證明過程共有幾步？計算a+b時，需要幾步？如果b很大會帶來什么麻煩？如何消除這一麻煩？（體會加法交換律的必要性）

·讀了例2（5*3=15）的證明，你能提出類似的問題嗎？試一試。

片段2：帶余除法的研究——抽象與具體的結(jié)合，學(xué)術(shù)形態(tài)到教育形態(tài)的轉(zhuǎn)化。

雖然學(xué)生在上學(xué)期的《抽象代數(shù)》中也學(xué)過帶余除法，但經(jīng)過與其授課教師的交流，得知當(dāng)時只是從理論上講解，學(xué)生沒有經(jīng)過實踐操作?；谶@一學(xué)情，認同蘇霍姆林斯基的觀點，即這樣做引不起學(xué)生的注意。學(xué)生大腦中的一些積極的、最富有創(chuàng)造性的區(qū)域只有依靠把抽象思維跟雙手的精細的靈巧的動作結(jié)合起來，才能激發(fā)這些區(qū)域活躍起來。如果沒有這種結(jié)合，那么大腦中的這些區(qū)域就處于沉睡狀態(tài)[6]。具體操作如下：

·《抽象代數(shù)》中如何表述帶余除法？

·計算-27÷4，27÷4,27÷（-4），體會余數(shù)的要求（非負且小于除數(shù)的絕對值）。

·辨析“除法是由減法導(dǎo)出來的”這一觀點。

·思考0.7÷0.3的余數(shù)是多少？

·小學(xué)與初中教材如何表述？為什么這樣處理？（由教師解釋）

4.4 追根溯源，將概念追蹤至原始概念或公理——以代數(shù)式與整數(shù)集的某個性質(zhì)為例

對某一數(shù)學(xué)概念尤其是常用概念的剖析是學(xué)生習(xí)得系統(tǒng)數(shù)學(xué)的良好載體，對此概念所涉及到的數(shù)學(xué)概念進行追問才能剖析清晰。如對于代數(shù)式的界定：只含有關(guān)于變數(shù)字母的代數(shù)運算的解析式。剖析時層層剝開才能露出真面目：什么是解析式？初等數(shù)學(xué)中的運算有哪幾類？分別是什么？什么是算術(shù)運算？什么是代數(shù)運算？什么是超越運算？回答了以上問題方能將什么是代數(shù)式解釋到位，順便把超越式也弄清楚了。

再如在整數(shù)集是一個交換環(huán)這一性質(zhì)的教學(xué)過程中，重點不是證明而是厘清一系列概念：交換環(huán)←環(huán)←交換群←群←半群←代數(shù)系統(tǒng)，體會高觀點下審視初等數(shù)學(xué)的優(yōu)勢，增強學(xué)生思維深刻性，優(yōu)化思維品質(zhì)。

這樣的方式進行幾次之后，學(xué)生會以類似的方法對后續(xù)的每個概念進行思考，從這一角度看，《初等數(shù)學(xué)研究》這門課程與其說學(xué)知識，不如說學(xué)方法——用概念思維，學(xué)一種科學(xué)研究的方法與精神。學(xué)本教學(xué)觀也強調(diào)教學(xué)既不是師本的教學(xué)，也不是短期行為的考本教學(xué)，而是促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)和充分發(fā)展的教學(xué)[2]。此處不敢說促進了學(xué)生的充分發(fā)展，起碼示范給了學(xué)生主動學(xué)習(xí)的一種方法。

4.5 恢復(fù)計算能力——以一道因式分解題為例

《初等數(shù)學(xué)研究》這門課程為恢復(fù)學(xué)生的計算能力搭建了一個良好的平臺。方法如下：選擇低難度，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)均能解決的例題或練習(xí)題；教學(xué)方法采用課堂師生頭腦風(fēng)暴法，誰做出一種方法立即寫在黑板上；社會互賴理論為之提供理論依據(jù)：即個體間在合作性和競爭性情境中相互影響其行動效率、內(nèi)在心理過程、互動方式及結(jié)果。這樣的示范呈現(xiàn)出之后，其它的學(xué)生立即受到啟發(fā)，即使方法一樣，但具體運算技巧路徑不同，也會出現(xiàn)不同的解法。同伴思維的碰撞，師生共同的參與，常會出現(xiàn)一個人發(fā)現(xiàn)多種方法或一種方法下多種表征形式的現(xiàn)象。就分解x3+6x2+11x+6因式一題進行嘗試。

此題是整系數(shù)一元三次多項式，可依據(jù)因式分解定理，采用《高等代數(shù)》有理根的尋求辦法去處理，也可采用初等數(shù)學(xué)中先拆某一項后合并同類項的方法去解決。明確指出有人認真按照以上諸種方式做了一遍，結(jié)果共得出32種不同解法[7]。該數(shù)據(jù)激勵著我們師生想把這32種不同解法呈現(xiàn)出來。于是大家擼起袖子，躍躍欲試，開始在紙上演算開來，并陸續(xù)上黑板展示。漸漸地，當(dāng)黑板上呈現(xiàn)了單拆一次項，單拆二次項以及單拆常數(shù)項的基本類型之后，學(xué)生就開始自發(fā)合作起來，有的甚至離開座位去尋找思路類似的同伴去討論并嘗試，擇其善者而從之，擇其不善者而改之，一個個疑點就通過合作解決掉了，使得一個個“盲點”做亮了、“誤點”做對了、“弱點”做強了[2]，上講臺的人多了起來，有時同時上來幾個人，使得黑板筆都供不過來，于是，大家干脆寫在紙上直接用膠帶紙粘在黑板上，待到上臺的人逐漸少下來之后，大家看著黑板上粘的滿滿的紙張，不由得鼓起掌來，大喊大叫：“奧，太棒了！”于是，吩咐學(xué)生記錄在書中空白頁處作為今后工作之參考，并讓學(xué)習(xí)委員將所有解法按類別記錄下來，竟然有77種解法[8]。一直堅持教學(xué)與科研相結(jié)合的做法，一方面有意識地將新的研究成果列入教學(xué)設(shè)計中，以綜述的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。有時同時帶3、4個班的課，就將幾個班出現(xiàn)的研究成果匯集在一起大家共享，有時也將課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)值得進一步研究的問題列入自己的研究課題，同時可以將其列入學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的任務(wù)之中，既培養(yǎng)了學(xué)生批判性思維和創(chuàng)新精神又為自己的研究做了先行鋪墊。多年實踐下來，發(fā)現(xiàn)職業(yè)倦怠感不但不減，反而遞增。學(xué)生給教師帶來的一股永遠無法預(yù)設(shè)的意外收獲總是激勵著教師不斷更新教學(xué)設(shè)計，不僅是在下一屆準備更新，有時即使是同一屆，在前兩個班教學(xué)之后，到第3、第4個班教學(xué)的時候就會臨時調(diào)整教學(xué)計劃，這種平行班的同步比較也會給人帶來預(yù)想不到的收獲。

4.6 利用微信平臺開闊視野，不占課時——以勾股定理的證明方法為例

教學(xué)設(shè)計時不僅僅設(shè)計課上的，也得設(shè)計課下的。受課時的限制，不得不把一些內(nèi)容放在課外活動的設(shè)計行列。近年來，充分利用班級微信群平臺，將能開闊視野的內(nèi)容分享給學(xué)生，考慮學(xué)生能看懂的前提下，將數(shù)學(xué)與其它學(xué)科整合性的材料（生物數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理等）或數(shù)學(xué)史上的一些名題的多樣化解法展示給學(xué)生，并讓學(xué)生操作或證明。如國內(nèi)稱之為勾股定理（西方人稱畢達哥拉斯定理）的證明，就將數(shù)學(xué)史上采用剖分法的畢達哥拉斯學(xué)派的證明、1873年珀里蓋爾的證明、1971年杜德尼的證明、達·芬奇的證明、中國趙爽與印度婆什伽羅的證明、歐幾里得“僧人頭巾”或“新娘椅子”的證明、中國劉徽的勾股術(shù)——以盈補虛的證明、1876年美國總統(tǒng)加菲爾德的證明、十七世紀沃利斯重新發(fā)現(xiàn)的印度證法等9種證明方法[5]發(fā)到班級群中，并鼓勵學(xué)生尋找更多的證明方法，并讓學(xué)生整理保存，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了十幾種證明方法，甚至有學(xué)生嘗試自己去創(chuàng)造一種新的證明方法。結(jié)果并不重要，但這一經(jīng)歷很重要。

隨著新高考新課改的不斷展開，對高中教師的學(xué)科知識結(jié)構(gòu)會隨時帶來一些不可預(yù)料的挑戰(zhàn)，創(chuàng)新驅(qū)動時代背景下的基礎(chǔ)教育又一輪改革已經(jīng)開始倒逼高校教育教學(xué)不得不做出深刻的革命。文獻調(diào)查顯示：66%的高校教師缺乏對課堂教學(xué)新思想、新理念的了解與認識,不善于應(yīng)用新的教育教學(xué)方法[9]。作為高校本科教學(xué)的工作者，無法回避這一時代浪潮，只有積極回應(yīng)，學(xué)習(xí)、實踐各種自己認為合適可行的教學(xué)理念，從自己的課堂著手，從課程設(shè)計啟程，不斷反思，不斷總結(jié)、不斷嘗試。