2019年11月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2511已知△ABC的角A,B,C的角平分線分別交邊BC、AC、AB的垂直平分線于D、E、F，求證：△ABC的周長≤△DEF的周長.

( 山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 劉才華 271400)

證明首先證明A,F,B,D,C,E六點(diǎn)共圓.

再證明△ABC的周長≤△DEF的周長.

設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理得△ABC的周長=2R(sinA+sinB+sinC).

在△DEF中，由∠DFE=∠DFC+∠EFC

故△ABC的周長≤△DEF的周長.

2512已知正數(shù)a,b,c,d滿足abcd=1，求證：

(安徽省岳西縣湯池中學(xué) 楊續(xù)亮 蘇岳祥 246620)

證明先構(gòu)造輔助不等式

求導(dǎo)

當(dāng)0

當(dāng)x>1時,

=-(2x4+x2+2x)+1<0，

≤f(x)max=f(1)=0，

以上四式相加可得

因此不等式

得證.

2513如圖1，分別以△ABC邊AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABDE和矩形ACFG,CD交BF于點(diǎn)P.若AB=kAE,AC=kAG,直線AP分別交BC、EG于點(diǎn)M、N.求證：(1)MN⊥BC.(2)點(diǎn)N是EG的中點(diǎn).

(四川省巴中市巴州區(qū)大和初中 李發(fā)勇 636031)

圖1

證明(1)如圖2，作AK⊥CD,AS⊥BF.

連結(jié)AD、AF、BK、CS、KS.

易證AKBD、ASCF、AKPS四點(diǎn)共圓.

圖2

在Rt△ABD和Rt△ACF中，

得tan∠BAD=tan∠CAF,

所以∠BAD=∠CAF,

所以∠BKD=∠BAD=∠CAF=∠CSF,

所以∠BKC=∠BSC,所以BKSC四點(diǎn)共圓，

所以∠BCK=∠BSK=∠PAK.

因?yàn)椤螦PK=∠CPM,

所以∠AMC=∠AKC=90°,所以AM⊥BC.

(2)如圖2，過點(diǎn)E作EQ∥AG交AN延長線于點(diǎn)Q.

則∠AEQ=180°-∠EAG=∠BAC,

∠EAQ=90°-∠BAM=∠ABC.

所以△EAQ∽△ABC,

所以EQ=AG.

即點(diǎn)N是EG的中點(diǎn).

(四川省成都華西中學(xué) 彭艷玲 張?jiān)迫A 610051)

證明因?yàn)閍,b,c≥0,a+b+c=4,a2+b2+c2=6,

所以6=a2+b2+c2=(a+b)2-2ab+c2

=(4-c)2-2ab+c2,

故ab=c2-4c+5,

由0≤(a-b)2=(a+b)2-4ab

=(4-c)2-4(c2-4c+5)=-3c2+8c-4,

有abc=(c2-4c+5)c=c3-4c2+5c.

令f(x)=x3-4x2+5x,x∈R,

則abc=f(c),且f′(x)=3x2-8x+5.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

證明設(shè)p1、p2、p分別為△ABD、△ADC、△ABC的半周長，r為△ABC的內(nèi)切圓半徑,r1、r2為⊙O1、⊙O2的半徑.

因?yàn)镾△ABC=S△ABD+S△ADC，

有r1p1+r2p2=rp.

①

易知p1+p2=p+AD

②

設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，過I作IF⊥AB、IN⊥AC，垂足分別為F、N.過△ABD的內(nèi)心O1作O1E⊥AB,垂足為E;過△ADC的內(nèi)心O2作O2M⊥AC，垂足為M.則E、M分別是⊙O1切AB的切點(diǎn)、⊙O2切AC的切點(diǎn).有

BE=p1-AD,BF=p-b,CM=p2-AD,

CN=p-c.

因?yàn)镺1、I分別為△ABD、△ABC的內(nèi)心，

所以B、O1、I在一條直線上.

同理C、O2、I也在同一條直線上.

易證△BO1E∽△BIF，△CO2M∽△CIN.

③

由①、②、③，得AD2=p(p-a)

④

過O1作O1J⊥BC于J，過O2作O2K⊥BC于K，

有四邊形O1JKO2為矩形，

則有O1O2=JK=AD-(p-a),

把上述三式相加得

由柯西不等式有

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時，等號成立.

2019年12月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2516設(shè)x,y,z均為正數(shù)，求證：

( 湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義434300)

2517已知如圖1，在⊙O中，弦B1C1∥B2C2，且B1C1=B2C2，O1、O2分別為B1C1、B2C2的中點(diǎn)，點(diǎn)A在C2C1的延長線上，CF1⊥AO1于點(diǎn)F1，與AB1交于點(diǎn)E1，CF2⊥AO2于點(diǎn)F2，與AB2交于點(diǎn)E2.求證：

圖1

(北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2518設(shè)P是△ABC內(nèi)的任意點(diǎn),三條邊長、外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑、點(diǎn)P到三邊BC,CA,AB的距離分別為a,b,c,R,r,x,y,z,則有

(天津水運(yùn)高級技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

2519在△ABC中，AB>AC>BC，D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)分別在射線AB，CB，AC，BC上，且滿足AD=CE=AC及AF=BG=AB，證明：△BDE的外心O1和△CFG的外心O2到點(diǎn)A的距離相等.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

(安徽省太和縣第二小學(xué) 任迪慧 236630)