胡建庭 周建勛 徐瀝泉

(1.全國數(shù)學(xué)科學(xué)方法論研究交流中心，無錫市運河實驗中學(xué) 214044; 2.無錫市教育科學(xué)研究院 214001)

1 概述

MM方式至今已30周年．它的主要成果如下：

已出版專著、編著數(shù)十部，發(fā)表專題論文千余篇；圍繞推廣應(yīng)用MM方式的全國性學(xué)術(shù)會議已召開11次，有的省、市還專門建立了實驗基地(據(jù)《甘肅日報》，《新華網(wǎng)貴州站》等報導(dǎo))．各地實驗教師中有20多人成為特級教師、教授和教授級高級教師；他們大都身兼全國先進教師和全國勞模等多個榮譽稱號；由新疆昌吉州教研中心組織實施的MM子課題(《TEC教學(xué)》)獲新疆維吾爾自治區(qū)哲學(xué)社會科學(xué)優(yōu)秀成果一等獎．

它分別于1994年和2001年兩次通過了由江蘇省教委委托的、以王梓坤院士為首的鑒定小組鑒定，并給予高度評價(《中國教育報》1994年12月31日)．從此，開始在全國推廣，由無錫市區(qū)高中階段擴大到初中、小學(xué)、大學(xué)和成人教育等各級種類學(xué)校．它已被載入中國哲學(xué)社會科學(xué)發(fā)展史冊[1]；當(dāng)然也已載入我國數(shù)學(xué)教育的史冊．

王梓坤院士對MM方式給予高度重視，他說：MM數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)方法系國內(nèi)首創(chuàng)，是數(shù)學(xué)界的重要創(chuàng)新．它不僅有充足的理論依據(jù)，而且在相當(dāng)廣泛的范圍內(nèi)取得了很好的實際效果．北師大數(shù)學(xué)系教授，原《數(shù)學(xué)通報》主編劉紹學(xué)先生也給予高度評價，他說：“MM教學(xué)方法給了我很深的印象，可以說是一見如故，……我認為MM教學(xué)法的主張和傅種孫先生的實際教學(xué)的作為是一致的：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)．”

師范院校是教師的發(fā)源地，許多數(shù)學(xué)教育專業(yè)的研究生在其導(dǎo)師的指導(dǎo)下，以MM方式為選題完成學(xué)位論文，這從中國知網(wǎng)發(fā)布的我國優(yōu)秀碩士學(xué)位論文中可見一斑．

中國社科院科技哲學(xué)室資深研究員林夏水先生在他的“MM方式的生命力”[2]一文中著重從數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)方法論的一致性角度, 探討了M M方式的生命力．他指出，MM方式既是一種新的數(shù)學(xué)教育方式，也是一種新的數(shù)學(xué)教育觀．設(shè)計者獨創(chuàng)性地把抽象的數(shù)學(xué)觀有機地融入了數(shù)學(xué)教育．MM方式實現(xiàn)了數(shù)學(xué)的全面貫通．

2 MM方式基本理念的貫通

MM方式源于教學(xué)又高于教學(xué)，它實現(xiàn)了數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)哲學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀的貫通，數(shù)學(xué)與人文科學(xué)的貫通，數(shù)學(xué)與認知科學(xué)和思維科學(xué)的貫通．

數(shù)學(xué)方法論屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)范疇，數(shù)學(xué)觀是對數(shù)學(xué)總體的看法，例如，數(shù)學(xué)發(fā)展觀、數(shù)學(xué)性質(zhì)觀、數(shù)學(xué)真理觀、數(shù)學(xué)文化觀、數(shù)學(xué)美學(xué)觀、數(shù)學(xué)認知觀等都是對數(shù)學(xué)的看法．?dāng)?shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)觀具有一致性．其含義有二，(1) 數(shù)學(xué)觀決定數(shù)學(xué)方法論; (2) 數(shù)學(xué)方法論蘊涵或反映著數(shù)學(xué)觀．它們在MM方式中是通過基本操作在數(shù)學(xué)教學(xué)中具體實現(xiàn)的．西南大學(xué)魏曉虹用圖表直觀地說明了MM方式的8個操作變量蘊含了不同的數(shù)學(xué)觀[3]．

比如，數(shù)學(xué)的返璞歸真教育，反映了一種樸素的辯證唯物主義思想，它既是一種數(shù)學(xué)觀，又是一種數(shù)學(xué)方法論．按照辯證唯物論的反映論觀點，數(shù)學(xué)在本體上具有兩重性，就其內(nèi)容而言，具有明確的客觀意義，是思維對于客觀實在的能動反映，任何數(shù)學(xué)模型都有它的現(xiàn)實原型；就其形式結(jié)構(gòu)而言，數(shù)學(xué)并非客觀世界中的真實存在，而只是創(chuàng)造性思維，亦即理性的創(chuàng)造物．在此意義上說，數(shù)學(xué)既是人們所發(fā)現(xiàn)的，也是人們所發(fā)明的．?dāng)?shù)學(xué)的返璞歸真教育，同時也是數(shù)學(xué)的美育，蘊含了數(shù)學(xué)美學(xué)的觀點．通過數(shù)學(xué)教學(xué)中的返璞歸真教育，就要使學(xué)生潛移默化地受到這些基本觀念和基本理念的教育．

MM方式提倡“邏輯推理與合情推理”并重，“歸納與演繹”并重，“綜合與分析”并重，“發(fā)現(xiàn)與質(zhì)疑”并重等，真正做到“既教證明又教猜想”，不斷引導(dǎo)學(xué)生一步一步地達到數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)與發(fā)明．這里所謂的“并重”，也都不是絕對的．比如說，直覺與頓悟中難道就沒有邏輯推理和演繹的成分在內(nèi)？原則上說，都應(yīng)是“你中有我和我中有你”．

南懷瑾先生說過，直覺思維中不見得就沒有邏輯思維，恰恰相反，它可能包含了幾百萬、幾千萬甚至幾萬億個邏輯思維的細胞；這也可能就是龐伽萊所說的邏輯與機遇中的“觀念原子的組合”．打一個不一定確當(dāng)?shù)谋扔鳎绻覀儼岩粋€個邏輯推理看作是一種微型電子器件的組件，就像電路中的晶體管、二極管、三極管、電阻、電容和電感等組件及布線的話，那么直覺思維就是一塊集成電路板，它具有“組塊”的作用，所謂組塊就是“能夠迅速接通長期記憶中的信息的索引項”[4]．因此它是一種集約式的思維(intensive thinking)方式．這就是MM方式反復(fù)強調(diào)的思維科學(xué)的貫通．

3 MM方式從小學(xué)到大學(xué)的貫通

如所知，MM實驗首先是在無錫市區(qū)高中階段實施的，它的針對性是顯而易見的，就是要把師生從題海戰(zhàn)術(shù)的羈絆中解放出來．MM方式盡管致力于學(xué)生素質(zhì)的全面提高，但在應(yīng)試中也是打了勝仗的．因為一般解題方法、即解題方法論正是來自于對學(xué)生解題的觀察，解題正是MM方式的拿手好戲．

徐利治教授說：“由于數(shù)學(xué)方法論的原則性高，所以它的應(yīng)用廣泛而深入．” 以下我們給出一些MM方式在大、中小學(xué)研究與推廣應(yīng)用的例子．

MM方式中學(xué)方面的例子早就見之于我國《數(shù)學(xué)通報》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》《中學(xué)數(shù)學(xué)》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》和臺灣的《數(shù)學(xué)傳播》季刊的報導(dǎo)和宣傳，這里不再贅述．

在我國首開從小學(xué)到大學(xué)進行MM方式系統(tǒng)實驗的地區(qū)是甘肅省的天水市．2002年，由天水師院數(shù)學(xué)系、天水市教科所和天水?dāng)?shù)學(xué)會聯(lián)合成立了天水市MM方式課題組，在天水市全面進行MM方式實驗研究．天水師院等被全國數(shù)學(xué)科學(xué)方法論研究中心確定為MM教育方式實驗基地和中小學(xué)MM教育方式實驗基地．

我國較早地開展MM方式實驗研究的大專院校有湖北省襄陽高等師范?？茖W(xué)校(即現(xiàn)在的襄樊學(xué)院)．1993年在該校召開了我國第3屆波利亞數(shù)學(xué)教育思想、數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育研討會(簡稱PM3，下類同)．濮陽教育學(xué)院(即現(xiàn)在的濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院)于1998年正式拉開了“數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)教學(xué)”實驗研究的序幕．武漢教育學(xué)院(即現(xiàn)在的江漢大學(xué))、天津師大、山東省教育學(xué)院、天水師院在取得了一定的研究成果后，也相繼在武漢、天津、濟南、天水等地召開了PM4、PM5、PM6等．

1999年，廣東湛江海洋大學(xué)鄺雪松和廣西師范大學(xué)廖運章就對MM方式進行了比較研究，撰文指出：MM方式從認識論的意義上看，它繼承了波利亞將數(shù)學(xué)方法論用于數(shù)學(xué)教學(xué)的思想，解決了波利亞未具體解決的“如何把數(shù)學(xué)方法論用于數(shù)學(xué)教學(xué)”的問題；與數(shù)學(xué)教育建構(gòu)學(xué)識相比，它既有完整的理論體系又有可操作性，而且是通過實驗證實了的，但建構(gòu)學(xué)說只是一個原則的表述，離具體的教學(xué)應(yīng)用尚需時日；與大眾數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)問題解決相比，這些學(xué)說分別是從減內(nèi)容、降要求上以及打破數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)方面，提出處理教材(選擇教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容編排)的主張，過分強調(diào)數(shù)學(xué)的某一側(cè)面可能對教學(xué)產(chǎn)生負面影響，但MM方式雖著重于教學(xué)目標(biāo)與方式的改革，很明顯，它也為教學(xué)內(nèi)容的選擇、編排、教學(xué)法加工處理提供了全面合理的標(biāo)準(zhǔn)和原則．……針對當(dāng)時而論，MM方式主要是在中學(xué)實施的實驗，建議把該方式向幾個方面拓展，一是向高師院校拓展，并與中學(xué)合作開展MM實驗；二是向大學(xué)理工科、經(jīng)濟類學(xué)科、管理學(xué)科、人文學(xué)科等非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域拓展；三是向成、職教拓展[5]．爾后的發(fā)展證明，MM方式的推廣應(yīng)用正是沿著這種思路進行的．

如今，高校類別已由教育學(xué)院、師專發(fā)展到師范大學(xué)，理工科大學(xué)和綜合性大學(xué)．他們用MM方式設(shè)計高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，出版了許多專著和研究論文．下面結(jié)合成、職教系統(tǒng)中進行的實驗，就其單位與個人再列舉一些如下：

棗莊學(xué)院從1990年至今在高師MM方式教學(xué)法的實踐與探索中積累了寶貴的經(jīng)驗．高師院校用MM方式指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育改革的子課題稱為MM(HT)(注指高師)教育方式．其中有MM方式與高師解析幾何教學(xué)的研究，有側(cè)重于MM方式在數(shù)列極限教學(xué)中的應(yīng)用，側(cè)重于用MM方式進行概率統(tǒng)計教學(xué)的研究，有MM方式下進行常微分方程教學(xué)的實驗研究，也有著重研究“MM方式與現(xiàn)代教育技術(shù)”的．隴東學(xué)院陳安寧教授對中學(xué)新課標(biāo)與MM教育方式的比較研究有獨到見解．杭州師范學(xué)院葉立軍，用數(shù)學(xué)方法論的觀點給出了高初結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及其教學(xué)對策．滁州學(xué)院、譚玉明，用方法論觀點分析了大學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的困難所在，指出高等代數(shù)教學(xué)中運用MM方式改進教學(xué)方法是必要的和可行的．天津師范大學(xué)高職學(xué)院孫穎，在高職微積分教學(xué)中，使學(xué)生認識到微積分是人類智慧最偉大的成就之一，充分挖掘微積分科學(xué)的科學(xué)技術(shù)功能與文化教育功能，提高了學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和社會文化修養(yǎng)，同時也形成和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)．

南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院朱鳳琴在“大學(xué)數(shù)學(xué)的MM教育實踐及其認識”中指出：大學(xué)教師雖然具有扎實的數(shù)學(xué)功底，但如果不熟悉數(shù)學(xué)史，不熟悉數(shù)學(xué)方法論，就很難洞察與體會數(shù)學(xué)科學(xué)的真與美．實踐MM教育方式需要教師自覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論和教育教學(xué)理論，把數(shù)學(xué)思想方法同教學(xué)內(nèi)容有機融合起來，把學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)同教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計密切聯(lián)系起來，使課堂教學(xué)始終保持一種問題驅(qū)動、求知求美的氣氛．朱老師以“微分中值定理的MM教學(xué)設(shè)計”為例，給出了MM方式用于工科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的案例．

還有錦州醫(yī)學(xué)院畜牧獸醫(yī)學(xué)院李占波，非線性教學(xué)設(shè)計下MM教育方式的課件設(shè)計．

廣州大學(xué)理學(xué)院陳湛本撰寫的“函數(shù)級數(shù)展開的數(shù)學(xué)方法論”，講述了蘊含在函數(shù)級數(shù)展開中的豐富的數(shù)學(xué)方法論思想，這是MM方式用于綜合性大學(xué)理科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的例子．

天津大學(xué)管理學(xué)院運懷立等，在“論MM教育方式與當(dāng)代數(shù)學(xué)教育”中進一步指出了MM方式在理論與操作系統(tǒng)上的類公理化的特征，它可操作但又不模式化，它植根于千百萬數(shù)學(xué)教師教學(xué)經(jīng)驗的凝結(jié)與升華，給人一種“似曾相識燕歸來”之感，由它可以推論出一系列的教學(xué)方法、模式、研究課題等，新疆昌吉州吳勤文的“TEC教學(xué)”，天津洪雙義、楊世明的“GH教育方式”，成都王富英的“ZT教學(xué)”和棗莊師院、濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院、天水師院的MM(HT)教育方式等，都是由MM方式發(fā)展出來的．

內(nèi)蒙古師范大學(xué)李偉軍，運用解題方法論的觀點給出了我國近二十年來數(shù)學(xué)解題研究的進展概貌．我國的教育工作者在這方面開展了大量的解題教育研究，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志發(fā)表的大批論文屬于這一類，其實質(zhì)是MM方式中一般解題方法的研究．

長沙大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系李宗鐸和向昭紅在“MM 方式”指導(dǎo)下，提出了五步教學(xué)法: 創(chuàng)設(shè)情境，自覺學(xué)習(xí)-突出過程, 激勵探索-面向全體, 發(fā)展個性-手腦并用, 強化活動-聯(lián)系實際, 注重實踐．長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院把MM方式研究作為長沙理工大學(xué)十三五專業(yè)綜合改革試點項目．以韓艷英老師運用MM教育方式設(shè)計一堂《高等代數(shù)》課為例，說明在高等代數(shù)的教學(xué)中，有很多內(nèi)容的教學(xué)可以采用“創(chuàng)設(shè)情景→實驗探索→猜想論證→應(yīng)用拓展”的教學(xué)模式．這種課堂教學(xué)一改傳統(tǒng)的大學(xué)講授式教學(xué)方法，這也正切合我們現(xiàn)代大學(xué)教育的需求．

襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息技術(shù)系，汪家軍探討了內(nèi)化理論與MM 教育方式在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的統(tǒng)一．提出數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是知識和智力的內(nèi)化與數(shù)學(xué)思維定勢的固化，以內(nèi)化理論為指導(dǎo)實行MM 教育方式, 表象上可變課堂為學(xué)堂提高教學(xué)效率, 本質(zhì)上則可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力于動態(tài)失衡與平衡的轉(zhuǎn)化之中．[6-20]

30年前就在職業(yè)高中進行MM實驗的無錫市輕工職中的史立新老師今年已76歲，他說：“MM方式在全面提高教育質(zhì)量, 提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的同時, 也提高了我自身的業(yè)務(wù)水平與科研能力，科研成果越來越多．1989年至今, 我在《數(shù)學(xué)通報》上就發(fā)表了10多篇論文．”

天津市寶坻中等專業(yè)學(xué)校的劉建國老師，堅持實踐MM方式12年.他講道：通過數(shù)學(xué)教育提高中職生的文化素養(yǎng)是職教人才培養(yǎng)戰(zhàn)略的需要．MM方式實踐以來他任教班級數(shù)學(xué)素養(yǎng)明顯高于同類班學(xué)生.由劉建國老師負責(zé)的天津市級課題《MM 教育方式在中專數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用》，于2016 年順利結(jié)題．

無錫科技職業(yè)學(xué)院王玉蘭，闡述了MM 教育方式在運籌學(xué)課程中的成功借鑒．她指出，運籌學(xué)實施MM 教育方式不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方式和方法．同時，該方法對教師的教育觀、課堂設(shè)計等也提出了更高的要求．她以圖論中的“哥尼斯堡七橋問題”的教學(xué)設(shè)計為例，逐個地論述了MM方式基本操作表中6個可控變量的具體操作，較好地實現(xiàn)了MM方式指標(biāo)體系中的評估標(biāo)準(zhǔn)[22]．

文獻[3]以“MM教育方式及其對幼兒園數(shù)學(xué)教育的啟示”為題，呼吁人們把它應(yīng)用于幼兒園的數(shù)學(xué)教育之中，并指出，MM 教育方式內(nèi)涵豐富，它所蘊含的數(shù)學(xué)觀及其價值觀對當(dāng)今幼兒園數(shù)學(xué)教育有重要的啟示作用．

4 MM方式下初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的貫通

數(shù)學(xué)教學(xué)上通數(shù)學(xué)科學(xué)，下達課堂教學(xué)．首先在教育中數(shù)學(xué)應(yīng)該被當(dāng)作一個整體來看待，要強調(diào)數(shù)學(xué)各個分支學(xué)科之間的聯(lián)系；注意數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的聯(lián)系．而這兩點是相輔相成的，數(shù)學(xué)的整體觀念的建立可以幫助理解數(shù)學(xué)，加強數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力；反之，綜合應(yīng)用能力的加強可以幫助我們加深對數(shù)學(xué)的整體性的認識．

作為一個中、小學(xué)數(shù)學(xué)教師，不僅應(yīng)該通曉初等數(shù)學(xué)，而且也應(yīng)該了解其高等數(shù)學(xué)背景，以搞清楚它的來龍去脈，知道它們在數(shù)學(xué)科學(xué)中的地位與作用，掌握數(shù)學(xué)教學(xué)的主動權(quán)．

早在1984年9月11日，蘇步青先生給作者之一的信中說到：“我從今年一月到四月花了25小時給高中部分數(shù)學(xué)教師講‘等周問題’，效果尚稱良好．今年年底或明年初將為初中部分數(shù)學(xué)教師講‘多面體與歐拉公式’．目的無非是想提高中學(xué)教師的教學(xué)質(zhì)量，做到深入淺出，引導(dǎo)學(xué)生懂得一些古典的數(shù)學(xué)問題(例如，任意角的三等分的不可能問題)的真正意義，免得誤會以至于把許多時間浪費在這類問題的上面．”徐利治教授在晚年更是把一半以上的時間與精力花費在數(shù)學(xué)教育上．

中外數(shù)學(xué)家關(guān)心與支持中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的事例不勝枚舉．英國大數(shù)學(xué)家哈代(Hardy)就倡導(dǎo)要高初聯(lián)系，把高等數(shù)學(xué)知識滲透到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中去．波利亞被稱為20世紀的一代數(shù)學(xué)宗師是無可非議的，但是他在數(shù)學(xué)教育方面所作出的貢獻要遠遠超過他對數(shù)學(xué)科學(xué)本身的貢獻．這里必須要提及的是菲利克斯·克萊因(Felix Christian Klein，1849～1925)．在他看來，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角(高等數(shù)學(xué))來審視理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單，有許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解．他的名著《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》，對我國從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教育的廣大讀者具有較好的啟示作用，其觀點蘊含著真理．

MM方式就是按照這樣的要求來做的，它促使數(shù)學(xué)教師站到學(xué)科教育的最前沿，通過“教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)”這樣一種途徑，等于為他們的繼續(xù)教育和在職提高創(chuàng)建了一所自組織自開放的自我培訓(xùn)學(xué)校．我國著名數(shù)學(xué)家劉紹學(xué)教授指出：“多虧我的研究經(jīng)歷，它在很多情形下幫助我理解或設(shè)計出書上的定理是如何在人們的手中試驗、摸索和制作出來的．當(dāng)學(xué)生們聽著這樣的講述而面露會心的微笑時，我最認識到自己科研的價值和意義．我確信，許多老師，特別是MM教學(xué)法的實踐者，都會與我有同樣的感受．”

4.1 有發(fā)現(xiàn)的設(shè)計必有發(fā)現(xiàn)的經(jīng)歷

“教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)”和“既教猜想又教證明”是MM方式的兩條基本原則．遵循這兩條原則，中、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也大有用武之地．MM方式的出現(xiàn)，一改過去學(xué)生學(xué)習(xí)的被動局面，使他們對數(shù)學(xué)知識的探索規(guī)律產(chǎn)生濃厚興趣，整個教學(xué)過程也就融入發(fā)明發(fā)現(xiàn)的主旋律之中．MM方式一方面徹底改變了學(xué)生學(xué)習(xí)的被動局面，為他們提供了正確的思想方法和學(xué)習(xí)方法；另一方面在方法論的意義上，中學(xué)數(shù)學(xué)不再局限于初等數(shù)學(xué)這一小塊彈丸之地，而與整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域連成一片．這就為學(xué)生吸取數(shù)學(xué)科學(xué)中的現(xiàn)代思想，自我增進現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的文化素養(yǎng)開辟了一塊良好的運動場[23-26]．

怎樣在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)貫徹這兩條基本原則，徐利治教授說過，對一條定理，如果只是在邏輯上能夠證明還不算真懂，還必須在頭腦里留下直觀的印象(不一定都是圖形)才算真正搞清楚．?dāng)?shù)理統(tǒng)計學(xué)中有一條刻畫一致最大功效檢驗函數(shù)φ的“Neyman-Pearson基本引理”，是教學(xué)上的難點．牛家驥教授曾說過，每次講到這里時總覺得教師難講，學(xué)生難懂．因為其中的邏輯結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜．我們從直覺與邏輯這兩個方面對它進行了探討分析，在φ的隨機化檢驗形式下，既給出了奈曼結(jié)構(gòu)充要條件的邏輯框架，也給出了它的直觀的圖像表示[27]．

4.2 居高臨下“高初”聯(lián)系解題

俗話說，“學(xué)如逆水行舟，不進則退”．其實，“教”也是如此．教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不增則減．無錫市教研室李永燦先生(早年畢業(yè)于上海交通大學(xué))曾經(jīng)諄諄告誡在職教師一定要教到老學(xué)到老，否則一位大學(xué)畢業(yè)的數(shù)學(xué)教師在中學(xué)教了三四年書后，就把自己的數(shù)學(xué)水平下降到了一個中學(xué)生的水平了．那么，怎樣才能使自己保持較高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)呢？其有效措施之一就是，遇到能用高一級的方法來處理的初等數(shù)學(xué)問題，盡可能在高觀點下，雙管齊下地解決問題．

數(shù)學(xué)思維到了一定境界，解題過程中有時往往不是用公式和數(shù)字來運算，而是用思想來運算.憑借自己在數(shù)學(xué)上的積累與造詣，有時憑直覺，一下就能看出答案與結(jié)果.比如，用群論中的輪換對稱思想，引入美學(xué)機制進行美的選擇等等.直覺具有洞察力．萊布尼茨說過，人們依靠直覺洞察力，“往往一眼就能看出我們靠推論的力量在花費了許多時間精力以后才能找出的東西”．這種判斷方法也可以說是靈感(思維)的作用吧．但是這種靈感來自潛移默化于長期的數(shù)學(xué)活動的訓(xùn)練和數(shù)學(xué)知識的思考與積累．學(xué)習(xí)并經(jīng)常使用這種思維方式，能使我們學(xué)會從整體的觀點、對稱的觀點、層次結(jié)構(gòu)的觀點去處理問題，就像高明的棋手那樣，不去計較一兵一卒的得失，而著眼于全局的安排，有效地克敵制勝．這種從宏觀上來把握總體規(guī)劃的運籌布算能力，極大地簡化和優(yōu)化了邏輯思維和演繹的結(jié)構(gòu)．使解題過程及其結(jié)果臻善致美.