鄧攀 劉正楠 耿滔

摘要：為了研究具有精細結(jié)構(gòu)的圓對稱愛里光束的傳輸特性，通過減小與光斑寬度相關(guān)的參數(shù)w，使初始光場具有與波長相近的精細結(jié)構(gòu)。在此特定情況下，用瑞利一索末菲衍射理論對圓對稱愛里光束的傳輸特性進行數(shù)值計算。研究結(jié)果表明：隨著參數(shù)w的減小，圓對稱愛里光束的精細結(jié)構(gòu)增加，使得代表高頻成分的離軸光場影響逐漸增大并參與聚焦行為，焦點光強峰值增大，焦點主光斑的半高全寬減小，突然自聚焦能力得到顯著提升;當(dāng)w減小到某一閾值后，由于持續(xù)增加的高頻分量進入到倏逝波，焦點光強峰值減小，焦點主光斑的半高全寬增大，突然自聚焦性能下降。

關(guān)鍵詞：圓對稱愛里光束;精細結(jié)構(gòu);衍射理論;突然自聚焦

中圖分類號：0436.1 文獻標(biāo)志碼：A

引言

愛里光束（Airy beam，AB）早在2007年被提出，由于其具有無衍射、自加速、自修復(fù)等特性，極大地激發(fā)了相關(guān)領(lǐng)域科研工作者的研究熱情。2010年，基于徑向?qū)ΨQ性的圓對稱愛里光束（circular Airy beam，CAB）被提出，201 1年CAB在實驗上得以實。隨之進一步提升CAB自聚焦能力的研究成為人們關(guān)注的熱點。文獻【6】將操作波長從可見光移到了太赫茲波段，利用超表面獲得了太赫茲波段的CAB，使得光束的自聚焦光斑接近了波長尺寸。這種方法不可避免地使得CAB的初始光場分布具有了與波長尺度相當(dāng)?shù)木毥Y(jié)構(gòu)。

在CAB傳輸特性的理論研究方面，已獲得了許多研究成果，但這些研究都默認(rèn)CAB光場結(jié)構(gòu)是遠大于波長的，未考慮精細結(jié)構(gòu)帶來的影響。相關(guān)資料顯示，目前還未有具有精細結(jié)構(gòu)的CAB傳輸特性的理論研究報道。因此，本文針對這一問題進行了理論研究，以期能更深入地認(rèn)識CAB的突然自聚焦特性，進一步提升其可應(yīng)用性。

1CAB傳輸原理

CAB的初始光場分布表達式為

由于研究者還未能找到滿足柱坐標(biāo)下亥姆赫茲方程或傍軸亥姆赫茲方程的愛里函數(shù)解，因此對于CAB的描述還無法給出直角坐標(biāo)下的解析表達式。目前，對于CAB的傳輸特性研究，一般采用數(shù)值計算衍射積分的方法，所以選取合適的衍射積分方法對于能否得到正確的計算結(jié)果至關(guān)重要。常用的衍射積分方法有三種，分別是：2討論分析

圖2為使用三種衍射積分得到的光軸上的強度分布，其中λ=632.8nm、Io為入射面初始光強的最大值。從圖2（a）中可以看出，三種衍射積分的計算曲線重合，此時自聚焦焦距為fAi=3 579 mm。這一結(jié)果與預(yù)期符合，因為在可見光波段初始CAB光場的結(jié)構(gòu)遠遠大于波長，且fAi≥rw，滿足傍軸近似的條件，因此這三種衍射積分給出了完全相同的計算結(jié)果。由此可見，當(dāng)初始CAB光場的結(jié)構(gòu)遠遠大于波長時，三種衍射積分都能給出正確的結(jié)果。雖然菲涅耳積分需要附加滿足傍軸近似的條件，但當(dāng)初始CAB光場的結(jié)構(gòu)遠遠大于波長時，由于其頻譜缺乏高頻分量，無法獲得緊聚焦光束，因此傍軸近似條件自動能得到滿足。圖2（b）給出了使用三種衍射積分得到的焦點處的光強分布，與圖2（a）類似，三種計算曲線同樣重合，此時焦點主光斑的半高全寬（the full width at half-maximum，F(xiàn)WHM）約為0.35mm。

保持其他參數(shù)不變，當(dāng)波長從可見光增長到太赫茲波時，雖然初始CAB光場的分布未發(fā)生變化，但波長的增加使得其具有了與波長尺度相當(dāng)?shù)木毥Y(jié)構(gòu)。圖3給出了2=0.35 mm時，使用三種衍射積分得到的光軸上的強度分布。從圖3（a）中可以看到，三種衍射積分的計算結(jié)果不再相同，其中使用菲涅耳衍射積分的計算結(jié)果與其他兩種相比差別較大。為了判斷計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，圖3（a）同時給出了時域有限差分（finite-difference time-domain，F(xiàn)DTD）的數(shù)值仿真結(jié)果，通過比較發(fā)現(xiàn)其與瑞利一索末菲衍射積分的計算結(jié)果基本吻合。此時，使用FDTD、菲涅耳衍射積分、菲涅耳一基爾霍夫衍射積分和瑞利一索末菲衍射積分計算的自聚焦焦距.fAi分別約為5.53 mm、6.45mm、5.59mm和5.62mm。圖3（b）給出了三種衍射積分在各自焦點處的光強分布，同時給出了FDTD的仿真結(jié)果以便進行比較。從圖3（b）可以看出，仍然是瑞利一索末菲衍射積分的結(jié)果與FDTD的仿真結(jié)果吻合得最好。事實上，對于瑞利一索末菲積分和基爾霍夫理論的優(yōu)劣之爭一直都有爭議存在，本文研究的結(jié)果是瑞利一索末菲積分的計算結(jié)果更加準(zhǔn)確。因此在接下來的分析計算中，我們將使用瑞利一索末菲積分。

對于初始CAB光場結(jié)構(gòu)遠遠大于波長的情況，已有成熟的理論和實驗報道，因此本文主要討論與其不同的、具有精細結(jié)構(gòu)的CAB光場。如前所述，初始CAB的光場分布會隨著參數(shù)w的變小而變得越來越密，因此可以通過減小w獲得光場的精細結(jié)構(gòu)，圖4給出了不同w對應(yīng)的沿x軸的光場分布情況，此時ro=0.2mm，a=0.03。

此外，當(dāng)λ=10.6um、ro=0.2 mm、a=0.03時，研究CAB焦距.fAi隨w變化而改變的情況，w變化范圍為0.010 0～0.050 0mm，如圖5所示。由圖可見：隨著w的減小，自聚焦焦距fAi單調(diào)遞減;當(dāng)w>0.017 5 mm時，fAi與使用式（2）估算的fest基本吻合;當(dāng)w≤0.017 5mm時，兩者的相對差值急劇增大。由于式（2）是基于傍軸近似得到的，因此可以認(rèn)為：當(dāng)w>0.017 5mm時，初始CAB光場缺乏精細結(jié)構(gòu)，其頻譜中的高頻分量較少，近軸光場占據(jù)絕對主導(dǎo)地位，離軸光場的影響可忽略不計;當(dāng)w≤0.017 5mm后，隨著w的減小，初始CAB光場的精細結(jié)構(gòu)逐漸增加，使得高頻分量在頻譜中的比重增長，導(dǎo)致離軸光場的成分增加，對光束傳輸特性的影響已不可忽略，此時傍軸近似不再適用。

同時我們也給出了焦點處光強最大值Imax與入射面初始光強最大值Io的比值隨w的變化。從圖6（a）中可以看到：當(dāng)w<0.017 5 mm時，焦點光強峰值隨著w的增大而急劇增大，在w=0.017 5mm時達到最大值;當(dāng)0.017 5 mm0.017 5 mm時，F(xiàn)WHM隨w的增加而增大。

從上述分析可知：當(dāng)w>0.030 0mm時，由于初始CAB光場缺乏精細結(jié)構(gòu)，近軸光場占據(jù)絕對主導(dǎo)地位，此時焦點光強峰值隨著w的減小而緩慢增強;當(dāng)0.017 5 mm≤w≤0.030 0mm時，隨著w的減小，初始CAB光場的精細結(jié)構(gòu)增加，由高頻分量產(chǎn)生的離軸光場開始顯現(xiàn)作用，光束的自聚集特性得到增強，不僅使得焦點光強的最大值增加，且FWHM隨著λ的增長逐漸減小;當(dāng)w<0.017 5mm以后，隨著w的減小，繼續(xù)增加的高頻分量開始進入倏逝波波段，越來越多的光場能量不能傳輸?shù)竭h場，使得焦點的能量急速降低，光源使用效率下降，光斑大小也無法進一步減小。

3結(jié)論

本文分析比較了三種常用衍射積分的適用性問題，發(fā)現(xiàn)瑞利一索末菲衍射積分最適合用來計算具有精細結(jié)構(gòu)的CAB的衍射光場，因此使用瑞利一索末菲衍射積分分析了具有精細結(jié)構(gòu)的CAB的傳輸特性。研究結(jié)果表明：當(dāng)w逐漸減小時，初始CAB光場開始具有了與波長相當(dāng)?shù)木殭C構(gòu)，代表高頻分量的離軸光場逐漸增加并參與聚焦行為，所以自聚焦能力隨著w的減小而增強;但隨著w的進一步減小，初始CAB光場的結(jié)構(gòu)開始小于波長，越來越多的高頻分量變成了倏逝波，無法傳播到遠場，使得焦點的能量急速減小，焦點光斑也無法進一步減小，自聚焦能力下降。由于實驗條件的局限性，本文未能夠通過具體實驗來驗證數(shù)值計算的準(zhǔn)確性，還有待進行進一步的研究。