統(tǒng)計(jì)常見典型考題賞析

■張文偉

題型一：簡單隨機(jī)抽樣

（1）抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況。（2）一個抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便，二是號簽是否易攪勻。一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較少時可用抽簽法。

例1某班級有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，其中一次抽樣結(jié)果是抽到了4名男生、6名女生，則下列命題正確的是（ ）。

A．這次抽樣可能采用的是簡單隨機(jī)抽樣

B．這次抽樣一定沒有采用系統(tǒng)抽樣

C．這次抽樣中每個女生被抽到的概率大于每個男生被抽到的概率

D.這次抽樣中每個女生被抽到的概率小于每個男生被抽到的概率

解：這次抽樣可以采用的是簡單隨機(jī)抽樣，A正確。這次抽樣可以采用系統(tǒng)抽樣，男生編號為1～20，女生編號為21～50，間隔為5，依次抽取1號，6號，…，46號即可，B錯誤。這次抽樣中每個女生被抽到的概率等于每個男生被抽到的概率（等可能抽樣），C和D錯誤。應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)1：總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成。利用隨機(jī)數(shù)表（如表1）選取5個個體，選取的方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（ ）。

表1

提示：選出的5個個體的編號依次是08，02，14，07，01。應(yīng)選D。

題型二：系統(tǒng)抽樣

系統(tǒng)抽樣的步驟：①先將總體的N個個體編號。②確定分段間隔k（k∈N*），對編號進(jìn)行分段，當(dāng)（n是樣本容量）是整數(shù)時，?、墼诘?段用簡單隨機(jī)抽樣確定第1個個體編號l（l≤k）。④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號（l+k），再加上k得到第3個個體編號（l+2k），依次進(jìn)行下去，直到獲取整個樣本。

例2為規(guī)范學(xué)校辦學(xué)，省教育廳督察組對某所高中進(jìn)行了抽樣調(diào)查。抽到的班級一共有52名學(xué)生，現(xiàn)將該班學(xué)生隨機(jī)編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號，33號，46號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一位同學(xué)的編號應(yīng)是（ ）。

A．13 B．19 C．20 D．51

解：由系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，可知抽樣的間隔為，故抽取的樣本的編號分別為7，7+13，7+13×2，7+13×3，即7，20，33，46。應(yīng)選C。

跟蹤練習(xí)2：將參加夏令營的600名學(xué)生按001，002，…，600進(jìn)行編號。采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號碼為003。這600名學(xué)生分別住在3個營區(qū)，從001到300在第一營區(qū)，從301到495在第二營區(qū)，從496到600在第三營區(qū)，這3個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為（ ）。

提示：由題意及系統(tǒng)抽樣的定義可知，將這600名學(xué)生按編號依次分成50組，每組各有12名學(xué)生，第k（k∈N*）組抽中的號碼是3+12（k—1）。令3+12（k—1）≤300，得k≤，因此第一營區(qū)被抽中的人數(shù)是25。令300＜3+12（k—1）≤495，得，因此第二營區(qū)被抽中的人數(shù)是42—25=17，由此可得第三營區(qū)被抽中的人數(shù)為50—25—17=8。應(yīng)選B。

題型三：分層抽樣

分層抽樣的常見求法：①依據(jù)各層總數(shù)與樣本數(shù)之比，求出抽樣比。②直方圖中縱軸表示由某層總體個數(shù)（或樣本數(shù)）求出該層的樣本數(shù)（或總體個數(shù)）。③利用抽樣比，求出各層的樣本數(shù)。

例3甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測。若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn)，則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總件數(shù)為____。

解：分層抽樣中各層的抽樣比相同。若樣本中甲設(shè)備生產(chǎn)的有50件，則乙設(shè)備生產(chǎn)的有30件。在4800件產(chǎn)品中，甲、乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為5:3，所以乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的總件數(shù)為

跟蹤練習(xí)3：某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項(xiàng)社會實(shí)踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查。已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4:5:5:6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取的學(xué)生人數(shù)為____。

提示：由分層抽樣的特點(diǎn)，可知從一年級本科生中應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為300=60。

題型四：頻率分布直方圖

解決頻率分布直方圖問題要注意的幾點(diǎn)：①直方圖中各小長方形的面積之和為1。，每組樣本的頻率，即小長方形的面積。③直方圖中每組樣本的頻數(shù)=頻率×總體數(shù)。

例4在樣本的頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個小長方形的面積和的，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為（ ）。

解：設(shè)中間一個小長方形的面積為x，則其他8個小長方形的面積為x。由x+，解得，所以中間一組的頻數(shù)為應(yīng)選B。

跟蹤練習(xí)4：某校為了解高一年級全體學(xué)生的體能情況，抽取了部分學(xué)生進(jìn)行1m i n跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖1所示），圖中從左到右各小長方形的面積之比為2:4:17:15:9:3，第二小組的頻數(shù)為12。

圖1

（1）第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?

（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，則該校高一年級全體學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?

提示：（1）頻率分布直方圖是以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小的，因此第二小組的頻率為0.08。又因?yàn)榈诙〗M的頻率=所以樣本容量 =

（2）由頻率分布直方圖可估計(jì)該校高一年級全體學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為

題型五：莖葉圖

由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這與頻率分布直方圖類似。從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，莖葉圖便于記錄和表示。當(dāng)樣本容量較大時，作圖較煩瑣。

例5圖2所示的莖葉圖是某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測試時的成績。

圖2

根據(jù)莖葉圖，得出該班男、女生數(shù)學(xué)成績的四個統(tǒng)計(jì)結(jié)論，其中錯誤的一項(xiàng)是（ ）。

A．15名女生成績的平均分為78

B．17名男生成績的平均分為77

C．女生成績和男生成績的中位數(shù)分別為82，80

D．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比較男生兩極分化比較嚴(yán)重

解：由圖可知15名女生成績的平均分為78，A正確。17名男生成績的平均分為77，B正確。觀察莖葉圖，對男生、女生成績進(jìn)行比較，可知男生兩極分化比較嚴(yán)重，D正確。根據(jù)女生和男生成績數(shù)據(jù)分析可得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為80，C錯誤。應(yīng)選C。

跟蹤練習(xí)5：在某雜志的一篇文章中，每個句子中所含的字?jǐn)?shù)如下：10，28，31，17，23，27，18，15，26，24，20，19，36，27，14，25，15，22，11，24，27，17。在某報紙的一篇文章中，每個句子中所含的字?jǐn)?shù)如下：27，39，33，24，28，19，32，41，33，27，35，12，36，41，27，13，22，23，18，46，32，22。

（1）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示。

（2）將這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，得到什么結(jié)論?

提示：（1）畫出莖葉圖，如圖3所示。

圖3

（2）雜志文章中每個句子的字?jǐn)?shù)集中在10～30之間，中位數(shù)為22.5；而報紙文章中每個句子的字?jǐn)?shù)集中在10～40之間，中位數(shù)為27.5?？梢钥闯鲭s志文章中每個句子的平均字?jǐn)?shù)比報紙文章中每個句子的平均字?jǐn)?shù)要少，說明雜志作為讀物更通俗易懂、簡明扼要。

題型六：樣本的數(shù)字特征

平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的闡述。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述總體的集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動大小。平均數(shù)、方差公式的推廣：若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為方差為

例6為了解某校九年級1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測試1m i n仰臥起坐的成績（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖4所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是（ ）。

圖4

A．該校九年級學(xué)生1m i n仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26．25

B．該校九年級學(xué)生1m i n仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27．5

C．該校九年級學(xué)生1m i n仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)約為320

D．該校九年級學(xué)生1m i n仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為32

解：由頻率分布直方圖可知，中位數(shù)是頻率分布直方圖中的左右面積等分線對應(yīng)的數(shù)值（橫坐標(biāo)），容易判斷中位數(shù)位于第三組，可計(jì)算得到中位數(shù)為26.25。眾數(shù)是最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即眾數(shù)為27.5。1m i n仰臥起坐的次數(shù)超過30的頻率為0.04×5=0.2，所以估計(jì)1m i n仰臥起坐的次數(shù)超過30的人數(shù)為320。1m i n仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.1，所以估計(jì)1m i n仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為160。應(yīng)選D。

跟蹤練習(xí)6：甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績（單位：環(huán)）如表2所示。

表2

則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是____。

題型七：線性回歸方程及其應(yīng)用

求回歸直線方程前應(yīng)通過散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，確定是否有必要根據(jù)公式求回歸直線方程，從而有依據(jù)地進(jìn)行預(yù)測。求線性回歸方程的步驟：①計(jì)算②計(jì)算③計(jì)算系數(shù)b=；④寫出回歸方程

例7在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在曲線附近波動，經(jīng)計(jì)算，則實(shí)數(shù)b的值為____。

解：令t=x2，則曲線方程變?yōu)榫€性回歸方程，即，此時，把的坐標(biāo)代入可得，解得

跟蹤練習(xí)7：某單位為了制訂節(jié)能減排的計(jì)劃，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量y（單位：度）與當(dāng)天氣溫x（單位：℃），并制作了對照表（如表3）。由表中數(shù)據(jù)，得線性回歸方程，當(dāng)某天的氣溫為—5℃時，預(yù)測當(dāng)天的用電量約為____度。

表3

提示：氣溫的平均值10—1）=10，用電量的平均值34+38+64）=40。因?yàn)榛貧w直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以40=—2×10+a，解得a=60，故回歸方程為

為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)某班學(xué)生的兩科成績得到如圖5所示的散點(diǎn)圖（x軸，y軸的單位長度相同），用回歸直線方程?y=b x+a近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖5，以下結(jié)論最有可能成立的是（ ）。

圖5

A.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為1.25

B.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為0.83

C.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，b的值為—0.87

D.線性相關(guān)關(guān)系較弱，無研究價值

提示：由散點(diǎn)圖可以看出兩個變量所構(gòu)成的點(diǎn)在一條直線附近，所以線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以回歸直線方程的斜率為正數(shù)。從散點(diǎn)圖觀察，回歸直線方程的斜率應(yīng)該比直線y=x的斜率要小一些。應(yīng)選B。