普朗克內(nèi)插法的詳細(xì)過(guò)程

吳思遠(yuǎn) 王笑君

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

學(xué)習(xí)黑體輻射時(shí)，教材往往由于篇幅原因而簡(jiǎn)略給出成功詮釋實(shí)驗(yàn)的普朗克黑體輻射公式．但是，作為物理教師應(yīng)該跳出教材框架，對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)研究，了解知識(shí)發(fā)展的歷史過(guò)程，以及在這個(gè)過(guò)程物理學(xué)家是如何研究思考的，進(jìn)而能夠利用這些材料輔助教學(xué)．在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)家研究的過(guò)程，領(lǐng)會(huì)科學(xué)研究方法，養(yǎng)成科學(xué)思維習(xí)慣；并且在這個(gè)過(guò)程能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到科學(xué)的本質(zhì)，形成正確的科學(xué)態(tài)度、科學(xué)世界觀和價(jià)值觀[1]．

1 普朗克的學(xué)習(xí)經(jīng)歷

回顧普朗克的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，有助于我們了解普朗克的研究思想，并為理解普朗克為什么能夠走到使用內(nèi)插法得到黑體輻射公式這一步作鋪墊．

普朗克在1877年作出轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)的物理學(xué)專(zhuān)業(yè)的決定．在轉(zhuǎn)學(xué)前，他在慕尼黑大學(xué)的老師約利(P.Jolly)勸說(shuō)他，物理這一學(xué)術(shù)領(lǐng)域已經(jīng)基本完善了，留下來(lái)研究數(shù)學(xué)吧．普朗克沒(méi)有選擇留下．后來(lái)他在《科學(xué)自傳》中解釋決定離開(kāi)的原因：“通過(guò)我們思考研究后用最簡(jiǎn)單的語(yǔ)言闡釋自然界的客觀存在是最吸引我的，而且我認(rèn)為最崇高的科學(xué)研究任務(wù)是探索適用于描述自然現(xiàn)象的規(guī)律．”[2]

在柏林大學(xué)初始的時(shí)間里，普朗克修讀了著名物理學(xué)家基爾霍夫(Kirchhoff，1824—1887)和亥姆霍茲(Helmholtz，1821—1894)的課程．在學(xué)習(xí)一段時(shí)間后，普朗克表示他們的課堂不夠吸引他，因此，普朗克選擇自學(xué)研讀感興趣的知識(shí)．在一次偶然中，他了解到克勞修斯的著作，被他深入淺出通俗易懂的語(yǔ)言所吸引了．普朗克著迷于克勞修斯提出的熵的概念和其他熱力學(xué)觀念，從此以后普朗克全身心地投入于研究熱力學(xué)當(dāng)中．并且他堅(jiān)信熵這個(gè)概念在物理學(xué)上會(huì)有重要的地位．這個(gè)想法一直影響著他的科學(xué)研究工作，包括后來(lái)處理黑體輻射問(wèn)題的思路．

2 黑體輻射的研究成果

在1894年時(shí)，普朗克將他的研究重心轉(zhuǎn)向當(dāng)時(shí)德國(guó)科學(xué)研究工作熱點(diǎn)之一的黑體輻射研究．普朗克開(kāi)始從事黑體輻射研究時(shí)，在實(shí)驗(yàn)和理論方面都有許多杰出的物理學(xué)家從事這方面的研究．

基爾霍夫在理論上做出了階段性的工作，提出了基爾霍夫定律和“絕對(duì)黑體”概念．將黑體輻射問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閷ふ乙粋€(gè)與物質(zhì)無(wú)關(guān)的普適函數(shù)F(ν,T)．在此之后又知道黑體輻射的普適函數(shù)可以用平衡輻射時(shí)的能量密度ρ(ν,T)來(lái)表示[3]

式中c為真空中的光速．接下來(lái)的工作就是要探尋能量密度函數(shù)．在探尋能量密度函數(shù)上維恩作出了杰出的貢獻(xiàn)，給出了能量密度函數(shù)的基本形式

(1)

式中A是常量，其中φ的函數(shù)形式尚不能最終確定．

在1896 年，維恩為了能夠得到確定的能量密度函數(shù)，在推導(dǎo)時(shí)作出了3個(gè)假設(shè)．

第一，假設(shè)溫度T的黑體輻射可以與同溫度的理想氣體比擬，并且引用麥克斯韋速度分布律．

第三，假定輻射能量密度與相應(yīng)的分子數(shù)成比例[3]．

最終得出能量密度函數(shù)，也稱為維恩公式

(2)

式中a和b是常數(shù)．

3 普朗克對(duì)維恩定律的改進(jìn)

普朗克完全知道維恩于1896年得到的公式，而且這個(gè)公式極好地反映了當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果．但是維恩在推導(dǎo)公式時(shí)所作的假設(shè)不符合普朗克的口味，是因?yàn)槠绽士嗽诤荛L(zhǎng)一段時(shí)期里都不相信玻爾茲曼的分子動(dòng)理論觀點(diǎn)．比起那種困難而又帶有近似性質(zhì)的分子動(dòng)理論來(lái)說(shuō)，他更喜歡純熱力學(xué)的嚴(yán)密理論．

因此，普朗克希望通過(guò)熱力學(xué)方法使用更少的假設(shè)得到相同的方程．在這個(gè)問(wèn)題上普朗克認(rèn)為熵是關(guān)鍵所在．在給定體積具有一定能量的空腔中，平衡輻射能量分布是各種可能分布中最穩(wěn)定的，其熵值最大．空腔輻射平衡時(shí)的能量密度函數(shù)可以通過(guò)熵S與振子平均能量U之間的函數(shù)關(guān)系得到．

首先，普朗克運(yùn)用經(jīng)典電磁理論對(duì)封閉在一個(gè)具有理想反射壁的空腔里的電磁輻射進(jìn)行研究，采用赫茲振子模型，由運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)[4]導(dǎo)出能量密度ρ(ν,T)與振子平均能量U的關(guān)系式

(3)

接著，普朗克為了找到振子的熵S與它平均能量U的關(guān)系，利用了維恩公式(2)與能量密度公式(3)，得出振子平均能量的表達(dá)式

(4)

(5)

(6)

(7)

得出這個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系后，普朗克堅(jiān)信他走在正確的道路上．后來(lái)他提到：“黑體輻射研究就是在尋找一條普適的物理定律，并且越是普適的物理定律就應(yīng)該越簡(jiǎn)單……所以當(dāng)我得出量R與振子的平均能量成正比時(shí)，就知道了它是解決能量密度函數(shù)的關(guān)鍵．”[5]

最終，對(duì)式(5)積分可得熵與振子平均能量之間的關(guān)系

(8)

在普朗克的上述論證中，似乎存在著利用維恩公式定義振子的熵，而后又用這個(gè)熵定義式得出維恩公式的循環(huán)推論．實(shí)際上普朗克的做法只是把維恩公式作為關(guān)于能量密度函數(shù)的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)，從這個(gè)公式所提供的信息來(lái)建構(gòu)一個(gè)振子熵的定義式作為一個(gè)基本假設(shè)，然后由系統(tǒng)熵變出發(fā)，給輻射規(guī)律一個(gè)嚴(yán)格的理論論證．普朗克在1899年5月18日提交論文展示了他的研究成果，并表示確信從他的假設(shè)中推導(dǎo)出的輻射定律是正確的[5]．

4 普朗克由內(nèi)插法得到輻射公式

普朗克在通過(guò)簡(jiǎn)單的假設(shè)重新推導(dǎo)出維恩公式后，與實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家保持緊密聯(lián)系，及時(shí)了解最新的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展．在1899年底，普朗克了解到盧默爾(O.R.Lummer，1860—1925)等實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)了在把波長(zhǎng)范圍擴(kuò)大后維恩公式對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在偏差[7]，于是開(kāi)始重新思考研究維恩公式．

與此同時(shí)，瑞利(Rayleigh，1842—1912)在知道維恩公式在長(zhǎng)波方向偏離的實(shí)驗(yàn)結(jié)果后，使用麥克斯韋-玻爾茲曼的能均分定理對(duì)黑體輻射進(jìn)行研究[8]．在1900年6月，瑞利發(fā)表題為《關(guān)于完全輻射定律的評(píng)論》的文章，在文章中瑞利根據(jù)能均分定理提出了自己的輻射公式，即有名的瑞利公式[6]

ρ=Cν2T

(9)

式中C是常量．

U=const·T

(10)

(11)

(12)

在總結(jié)式(7)和式(12)時(shí)可知函數(shù)R有兩個(gè)簡(jiǎn)單的極限情況：在小能量時(shí)，函數(shù)與能量一次方成正比；在大能量時(shí)，函數(shù)與能量的二次方成正比．為了得到普適的情況，選擇函數(shù)R等于能量的一次方和能量的二次方之和[3]

R=C1U+C2U2

(13)

(14)

(15)

由式(15)積分后即可以得到振子平均能量的表達(dá)式

(16)

(17)

再將式(17)代入式(3)，即可得到輻射能量密度公式

(18)

在得出黑體輻射公式后，普朗克就將公式交給魯本斯與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作比較．兩天過(guò)后，魯本斯親自來(lái)到普朗克家里告訴他公式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致．緊接著普朗克將他的研究工作寫(xiě)成報(bào)告，并于1900年10月19日在德國(guó)物理學(xué)會(huì)上進(jìn)行匯報(bào)．自此過(guò)后，普朗克的黑體輻射公式經(jīng)受住了考驗(yàn)，被更多精密的實(shí)驗(yàn)證實(shí)是正確的．

5 總結(jié)

通過(guò)上述的歷史探索，給出普朗克內(nèi)插法的詳細(xì)過(guò)程，進(jìn)而彌補(bǔ)教材上只有結(jié)果，沒(méi)有研究過(guò)程的遺憾．使教師能夠在教學(xué)中融入物理學(xué)史，進(jìn)而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)普朗克內(nèi)湊出黑體輻射公式并不是像通常理解的那樣理所當(dāng)然，而是經(jīng)歷了科學(xué)家們曲折反復(fù)的研究才完成的．同時(shí)使學(xué)生感受科學(xué)家的實(shí)際創(chuàng)造過(guò)程和領(lǐng)會(huì)其研究思想，有利于促進(jìn)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的物理思維，并且大大激發(fā)學(xué)生對(duì)更深?yuàn)W的物理知識(shí)的探究熱情．