王衛(wèi)東，豆 晨，張永志，鄭 怡，趙云峰

(1.長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710054；2.陜西省地震局，陜西 西安 710068 3.中國地震局第二監(jiān)測中心，陜西 西安 710054)

洛倫茲吸引子揭示了典型低維混沌的復(fù)雜性和 基本特征，從1963年引入混沌領(lǐng)域的研究，已成為非線性動力系統(tǒng)分析的重要數(shù)學(xué)工具.近幾十年，隨著理論的進步，通過研究復(fù)雜系統(tǒng)潛在吸引子的自相似分形結(jié)構(gòu)，對各類混沌系統(tǒng)已有大量的實際應(yīng)用研究.受多重因素的影響，地下水水位變化往往呈現(xiàn)出非線性特征，水位時間序列的關(guān)聯(lián)維通過提供與描述非線性動力系統(tǒng)所需的最小變量數(shù)量相關(guān)的信息來表征系統(tǒng)的非線性，已應(yīng)用于地下水位預(yù)測、滑坡預(yù)判等方面[1-6].本次研究中，我們分析了西影井水位時間序列的混沌動力學(xué)參數(shù)，研究了西影井水位關(guān)聯(lián)分維數(shù)的時間變化特征及其與周邊地震活動的關(guān)系.

1 重構(gòu)相空間與關(guān)聯(lián)維計算

Grassberger-Procaccia(GP)算法用于從由隨某變量隨機分布的數(shù)據(jù)點在重構(gòu)相空間中通過關(guān)聯(lián)積分來確定關(guān)聯(lián)維.根據(jù)Taken嵌入定理，可以從水位變化的單變量時間序列xi重構(gòu)n維相位空間[7-9]：

其中τ是時間延遲，m是嵌入維.其關(guān)聯(lián)積分為：

式中H(a)為Heaviside函數(shù)，‖‖為歐氏距離，凡距離小于r的向量稱為關(guān)聯(lián)向量.若Cm(r)在r一定范圍內(nèi)滿足：

則指數(shù)D(m)集即為關(guān)聯(lián)維數(shù)，兩邊取對數(shù)，再取極限得：

當m足夠大時，D(m)不再隨m發(fā)生變化，就可以得到水位的飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)，即吸引子分維數(shù)D2，此時，D2對應(yīng)的m為最小嵌入維數(shù).當r較小時，用最小二乘法取雙對數(shù)擬合D(m)與Cm(r)的直線部分，其斜率即為D(m)的估算值.

2 西影井水位時間序列的相空間重構(gòu)及其與地震活動的關(guān)系

井深2000m的西影井，處于長安——臨潼斷裂帶，該斷裂帶歷史上發(fā)生過多次中強地震，現(xiàn)代地震活動以中小地震為主，此斷裂位于渭河盆地內(nèi)，該盆地歷史地震活動強烈，有多次強震發(fā)生，當代多發(fā)中小地震(如圖1所示).

圖1 觀測點位置與渭河盆地斷裂和震中分布圖(1992-2002，ML≥4.0)Fig.1 Theplace of Xiying well and the distribution of faults and epicenters in Weihe basin(1992-2002，ML≥4.0)

西影井觀測層位為深層承壓水，有自動水位記錄，其變化特征與區(qū)域地震活動已有一些研究[10-12]，2004年后的記錄曲線顯示西影井水位持續(xù)上漲，其特征也異于以往，顯示其受到地下水回灌的影響.因此選擇1992至2002年西影井水位數(shù)據(jù)進行分析(圖2).由圖2可見，西影井水位在此時間段內(nèi)基本形態(tài)為下降型，表現(xiàn)為水位的近線性下降，我們?nèi)∷蝗站档牟罘謺r間序列進行分析，可有效消除此下降趨勢的影響.選擇時間窗長度為半年，滑動步長為三個月，采用GP算法計算西影井水位日均值差分時間序列的飽和關(guān)聯(lián)維.圖3為西影井水位的lnCm(r)-ln(r)關(guān)系圖，可見，不同嵌入維m下，lnCm(r)-ln(r)曲線中，均存在無標度區(qū)，即線性相關(guān)區(qū)域，表明西影井水位日均值差分時間序列存在分形特征.圖4為關(guān)聯(lián)維數(shù)D(m)隨嵌入維數(shù)m的變化曲線，可見，當m≥8時，曲線變化趨于平緩，即關(guān)聯(lián)維達到飽和，可以得到其飽和關(guān)聯(lián)維，同時得到其最小嵌入維數(shù)為8，圖5為西影井水位日均值差分時間序列飽和關(guān)聯(lián)維的時變曲線圖.

圖2 西影井地下水位觀測曲線Fig.2 The observation curve of water level in Xiying well

圖3 西影井水位lnCm(r)-ln(r)曲線Fig.3 Relationship between lnCm(r)and ln(r)for waterlevel of Xiying well

圖4 西影井水位關(guān)聯(lián)維D(m)隨嵌入維m的變化曲線Fig.4 Relationship between D(m)and m for water level of Xiying well

圖5 西影井水位差分時間序列飽和關(guān)聯(lián)維時變曲線圖Fig.5 Temporal curve of saturated correlative dimension for difference time series of water level of Xiying well

由圖5可見，西影井水位水位日均值差分時間序列飽和關(guān)聯(lián)維從1992年后呈拉鋸式上升，1994年3月達到最高值2.1，而后逐漸下降，1997年3月后加速下降，1997年底達到最低值0.45，而后逐漸回升.西安及鄰區(qū)地震活動的M—T圖(圖6)顯示，1998年1月5 日發(fā)生了涇陽 5.2 級地震(34°25′N， 108°57′E)，其余時間未發(fā)生4級以上地震.可見，西影井水位分維變化與周邊地震活動聯(lián)系密切，表現(xiàn)為：在地震發(fā)生前的應(yīng)力積累階段(1994年前)，飽和關(guān)聯(lián)維逐漸增大;在地震發(fā)生前的應(yīng)力緩慢釋放階段(1994年至1997年3月)，受到地震應(yīng)力釋放的影響，地震孕育區(qū)的應(yīng)力場發(fā)生擾動變化，地下水環(huán)境受到影響，其自相似性也隨之改變，故西影井水位飽和關(guān)聯(lián)維處于降維階段;在地震發(fā)生前的應(yīng)力快速釋放階段(1997年3月至1998年1月5日)，隨著應(yīng)力加速釋放，震源區(qū)介質(zhì)微小破裂增加，介質(zhì)的非均勻性增大，地下水環(huán)境受到嚴重干擾，其原有的自相似性也不復(fù)存在，故西影井水位飽和關(guān)聯(lián)維處于加速降維階段，直至1998年1月5日發(fā)生了涇陽5.2級地震發(fā)生;在地震發(fā)生后的應(yīng)力恢復(fù)階段(1998年1月5日后)，應(yīng)力場逐漸恢復(fù)穩(wěn)定，地下水系統(tǒng)也逐漸恢復(fù)到原有的自相似結(jié)構(gòu)，于此對應(yīng)，西影井水位飽和關(guān)聯(lián)維也逐漸恢復(fù)至平均值附近.與西安及鄰區(qū)地震B(yǎng)enioff應(yīng)變曲線(如圖7所示)相比較，可見，西影井水位飽和關(guān)聯(lián)維隨時間變化的升降維過程與西安及鄰區(qū)地震B(yǎng)enioff應(yīng)變的時變特征變化趨勢較為一致，說明在中強地震孕育過程中所引起的區(qū)域應(yīng)力場變化可能導(dǎo)致了西影井地下水分維特征的變化.區(qū)域應(yīng)力場發(fā)生變化導(dǎo)致地下水系統(tǒng)的變形和巖石孔隙水壓力的變化，因而導(dǎo)致地下水和地震活動呈現(xiàn)出相似特征[13].

圖6 西安及鄰區(qū)地震M—T圖Fig.6 M-T diagram of earthquakes in Xi’an and its adjacent area

圖7 西安及鄰區(qū)地震累積Benioff應(yīng)變圖Fig.7 Cumulative strain of earthquakes in Xi’an and its adjacent area

與此類似，以往對地震活動性資料的研究結(jié)果表明，1996年2月3日麗江7.0級地震在發(fā)震前3年開始出現(xiàn)連續(xù)性降維，直至發(fā)震，震后逐漸恢復(fù)正常，1988年11月6日瀾滄-耿馬7.6級地震也在震前出現(xiàn)了近2年的持續(xù)降維，1998年11月19日寧蒗6.2級地震在發(fā)震前6年開始出現(xiàn)波浪式降維直至發(fā)震，2001年10月27日永勝6.0地震也出現(xiàn)了4年的持續(xù)降維過程發(fā)震和震后恢復(fù)過程[14-16].可見，強震前出現(xiàn)地震頻次降維是較為普遍的特征，本文的研究結(jié)果表明中強震前也可能存在類似的降維過程，而且其表現(xiàn)不只反映在地震活動頻次上，也可能引起其它與地震孕育過程密切聯(lián)系的物理參量(如地下水位時間序列)的降維過程，這種關(guān)聯(lián)性有助于捕捉未來該地區(qū)中強地震發(fā)生的前兆信息[13].

3 討論與結(jié)論

本文根據(jù)混沌理論，采用重構(gòu)相空間的GP算法，計算分析了西影井水位日均值差分時間序列在1992-2002年間的混沌動力學(xué)特征，結(jié)果顯示其最小嵌入維數(shù)為8，存在飽關(guān)聯(lián)維，進而選擇時間窗長度為半年，滑動步長為三個月，計算得到了西影井水位日均值差分時間序列飽和關(guān)聯(lián)維隨時間變化曲線.結(jié)果表明，西影井水位日均值差分時間序列飽和關(guān)聯(lián)維的變化與西安及鄰區(qū)地震活動引起的區(qū)域應(yīng)力應(yīng)變場的變化和地震孕育過程密切相關(guān)，在1998年1月5日涇陽5.2級地震前后，西影井水位飽和關(guān)聯(lián)維經(jīng)歷了明顯的升維——下降——加速下降——回升的過程，這種分維變化特征可能表征了地震孕育和爆發(fā)的過程可看作混沌系統(tǒng)在打破其原有有序結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上逐漸產(chǎn)生出新的有序的過程，可能與該區(qū)域中強地震孕育所引起的區(qū)域應(yīng)力場變化相關(guān)，可用來捕捉未來該地區(qū)中強地震發(fā)生的前兆信息，為該地區(qū)中強地震的預(yù)報提供有價值的信息.