基于改進的GARCH模型對VaR風險研究

張健

摘 要：當前，GARCH模型普遍地被應(yīng)用在金融資產(chǎn)序列波動性的預(yù)測，以及在險價值VaR的計算及市場風險管理中。針對股票市場的特點，采用將交易量與價格極差加入傳統(tǒng)的GARCH模型中的方法對上證綜合指數(shù)進行研究，發(fā)現(xiàn)不僅可以改善部分GARCH模型的擬合和預(yù)測結(jié)果，而且對于金融市場中標的資產(chǎn)的GARCH效應(yīng)的解釋能力逐漸降低，甚至有些資產(chǎn)標的物GARCH效應(yīng)直接消失了，其中交易量和價格極差作為重要代理變量在關(guān)于收益率波動持續(xù)性方面表現(xiàn)出良好的解釋作用，同時計算向前一步預(yù)測的在險價值VaR并對計算出的結(jié)果進行檢驗。實證研究表明，改進后的GARCH模型預(yù)測的VaR值相比于傳統(tǒng)的GARCH模型計算結(jié)果更加準確，降低了VaR失效的概率，使得預(yù)測得到的VaR值與實際結(jié)果更加接近。

關(guān)鍵詞：多元GARCH模型;交易量;價格極差;VaR

中圖分類號：F830 ? ? ? ?文獻標志碼：A ? ? ?文章編號：1673-291X（2019）03-0078-06

經(jīng)過長時間的研究發(fā)現(xiàn)，金融證券市場一般發(fā)生劇烈的震動之后，其后的波動依然是劇烈的震動，與之相同的是在較小變動之后，一般其后的變動也是較小的變動。一般將金融市場中這類能持續(xù)一段時間波動性變動的現(xiàn)象稱為波動的持續(xù)性[1]。Engle第一次提出ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型，但是在該模型實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)需要滯后多階才能較好描述收益率異方差性[2]。因此在隨后的時間里，Bollerslev在這一理論的基礎(chǔ)上提出GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型，能夠?qū)ψC券市場波動特征做出了更好的擬合。理論解釋方面，Parkinson[3]以及Garman和Klass[4]等在研究中提出，用資產(chǎn)價格在一個時間段內(nèi)最高價與最低價之差，可以更加有效估計金融資產(chǎn)波動率。Clark[5]及Tauchen等[6]提出投資者的多次交易使得交易量與兩方面信息流相關(guān)，一種是當前信息，另一種是已經(jīng)存在的信息。還有Gallo通過對金融證券的實證研究之后發(fā)現(xiàn)，將交易量加入傳統(tǒng)模型中，可以對GARCH效應(yīng)起到更好的解釋作用[7]。近幾年，人們開始對利用價格極差來建立波動率的模型產(chǎn)生了濃厚興趣。Alizadeh提出了一種利用極差估計波動率的方法，并在實證中發(fā)現(xiàn)相比于傳統(tǒng)方法，極差模型得到更好的估計效果。隨著金融證券市場的發(fā)展與我們的日常生活聯(lián)系越來越緊密，在險價值VaR也越來越被人們認可[8]。其中，Timotheos ?Angelidisa運用ARCH族模型計算五個股票指數(shù)的日風險價值，發(fā)現(xiàn)t分布能夠更好地預(yù)測在險價值VaR[9]。Mehmet Orhana利用兩個不同發(fā)展階段的金融市場的數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行處理時發(fā)現(xiàn)，利用參數(shù)方法計算在險價值VaR時，在t分布下建模效果相比較與在標準正態(tài)分布假設(shè)下的建模效果要更好[10]。其中，在國內(nèi)金融市場里面，孫便霞等利用價格極差，在傳統(tǒng)的GARCH模型基礎(chǔ)上構(gòu)造出一種新的模型可以更好地刻畫波動率變化非對稱性的特點[11]。鄭文通首先對產(chǎn)生的背景、計算方法和在金融領(lǐng)域的應(yīng)用進行了概括性研究，其主要目的在于強調(diào)我國引入模型進行風險管理的必要性[12]。楊繼平和袁璐提出了具有Markov結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的非參數(shù)GARCH研究中國股市，在此基礎(chǔ)上對深證與上海兩個股市的VaR值進行計算同時進行評價[13]。本文基于以上研究，利用上海交易所的主板數(shù)據(jù)將交易量與價格極差同時加入GARCH模型，在學生t分布下計算在險價值VaR，最后進行檢驗與回測。

一、改進的GARCH模型與研究方法

（一）交易量與GARCH模型

根據(jù)混合分布假設(shè)，金融資產(chǎn)在某一時期內(nèi)的綜合收益率分布是大量個別分布混合組合而成的。金融資產(chǎn)價格的每一次變動都是由于流向市場的信息流所導致的，交易才產(chǎn)生價格變動[14]，假設(shè)我們用Rt表示每次交易所發(fā)生的收益率累加，即：

式中，？啄it是t日第i筆交易的收益率，nt是當天的交易量，表示t日到達市場的信息量。假設(shè)？啄it獨立同分布，并且服從N（0，？滓2），因為？啄it與nt是隨機變量，所以Rt服從以nt為混合變量的正態(tài)分布的混合分布。因為？啄it～N（0，？滓2），且獨立分布。所以，當nt足夠大時，那么根據(jù)中心極限定理可以得到：

假設(shè)nt是一個自回歸過程，那么就可以表示為：

上式為具有AR形式的GARCH結(jié)構(gòu)，與ARMA形式的GARCH條件方差相比只是存在形式上的差距，這一時間段到達的信息數(shù)量與金融資產(chǎn)收益率波動性有關(guān)。某一個時間段信息量越大，對不同的投資者而言就會有更多不同的決策選擇，那么參與投資的投資者就會更多，更多的投資者有意愿去參與投資。因此，可以把交易量作為GARCH模型中的代理變量。

（二）價格極差與GARCH模型

投資者通常會根據(jù)最高價、最低價、收盤價等信息，尤其是可以反映當日股價變動信息的K線圖，來判斷和計算收益率變動情況。但是，在建立模型時并沒有綜合考慮到收盤價以及價格極差對于對數(shù)收益率的影響。通過實證發(fā)現(xiàn)，在GARCH模型引入價格極差，可以對金融資產(chǎn)價格波動率更加有效地進行估計。

通常假定金融資產(chǎn)的價格Pt服從幾何布朗運動，把從t-1至t之間的時間段等分為n份，其中n×？駐t=1，當n足夠大的時候，則可以認為？駐t是很小的時間間隔，那么對數(shù)收益率就可以表示為：

在上述關(guān)于金融資產(chǎn)價格的假定下，可以近似地認為{rt，i，i=1，2，3…，n}是相互獨立的，將方差設(shè)定為D，那么，Var（rt|It-1）=n×D，It是關(guān)于金融價格的信息集合，那么在給定了信息集合It-1的情況下，金融資產(chǎn)收益率在t時刻的方差可以看成t-1至t中間無數(shù)很小時間間隔收益率方差之和。金融資產(chǎn)價格對數(shù)ln（Pt）是從t-1至t的時間段內(nèi)資產(chǎn)標的物最高價減去最低價可以表示為：

Feller在1951年推導的價格差與波動率的關(guān)系是E（Rt|It）=1.5958，在1980年時，Paikinson對于該公式進行了改進，在數(shù)學公式上證明了最高價減去最低價的波動率代理變量的有效性比基于收盤價的傳統(tǒng)的度量方式大大提高。盡管僅僅依靠當天最高價和最低價無法計算出當日波動率，當天交易價格波動范圍能夠從當日最高價和最低價之間的價格極差反映出來。如果假設(shè)n=1，那么Paikinson的公式就變成？雖然在有效性上會有所下降，但是這一公式依然能夠說明價格極差可以作為波動率的代理變量。

因此，我們同時將交易量與價格極差作為重要的代理變量同時加入傳統(tǒng)的GARCH模型中，具體形式如下：

式中，Vt代表交易量，Rt代表價格極差，其中引入？酌Vt和？綴Rt，可以根據(jù)模型的實際形式進行調(diào)整，系數(shù)？墜和？茁之和代表著收益率波動的持續(xù)性，如果引入交易量和價格極差后，？墜和？茁之和與滯后項的階數(shù)發(fā)生變化，那么就可以說明交易量和價格極差在解釋條件方差的許多特性。

二、在險價值VaR的計算及回測

（一）VaR計算方法改進

VaR作為一種風險管理的辦法，評價有效性的標準是：金融資產(chǎn)的實際損失與VaR預(yù)期損失是否相符。在計算在險價值VaR時，依據(jù)金融資產(chǎn)收益率假定服從的概率分布，計算出的主要統(tǒng)計特征如：方差協(xié)方差、期望值等。GARCH模型通過對條件方差的估計，在正態(tài)分布，t分布，GED分布三種不同分布下，一定的置信水平和持有期間，計算出具有時變性的VaR，提高了在險價值VaR對金融資產(chǎn)價格變化的敏感性。在上文中我們把價格極差和交易量作為代理變量加入GARCH模型，改善了對條件方差的預(yù)測以及估計，使條件方差不僅包含了收盤價這個重要信息，更包含了在交易當日時間內(nèi)價格波動的上限與下限以及交易信息對于收益率的影響。

在假定金融資產(chǎn)價格Pt服從幾何布朗運動的前提下，在信息集合It-1，收益率rt被認為服從正態(tài)分布，期望值為ut，方差為？。那么在t時刻，設(shè)股票持有期為1天，選擇置信區(qū)間為c，則從t至t+1時刻金融資產(chǎn)的在險價值VaR：

式中，z1-c表示在標準正態(tài)分布條件下置信水平為1-c所對應(yīng)的分位數(shù)。在我國的股票市場中通常利用GARCH（1，1）模型就可以較好地刻畫金融資產(chǎn)波動變化的大部分特點。因此，對于t+1時刻的波動率的預(yù)測是ht+1|t=a0+？墜1e+？茁1h1;那么在t+1時刻VaR值則表示為：

那么對于改進之后的GARCH（1，1）模型，對于下一期t+1時刻的波動率預(yù)測為ht+1|t=a0+？墜1e？茁1h1+？酌Vt+？綴Rt，收益率期望值u1的預(yù)測不變，那么在險價值VaR在t+1時刻的估計值是：

對于這種VaR計算方法，可以通過回測檢驗進行評價，評價引入交易量信息以及價格極差之后的GARCH模型是否提高條件方差估計精度。

（二）在險價值VaR回測

回測檢驗，也被稱為事后檢驗，即用一段時期的實際損失與預(yù)期損失相比較，觀察兩者是否一致。VaR回測檢驗可以為各類金融機構(gòu)的管理者提供關(guān)于VaR風險管理系統(tǒng)的信息，可以讓管理者發(fā)現(xiàn)回測系統(tǒng)存在問題以及可以改進的方向。

目前，在險價值VaR的檢驗有幾種主要的方法：一是指標評價工具，比如MRB均值相對偏差、RMSRB均值平方根相對偏差以及各種變形;二是假設(shè)檢驗工具，如Kupiec[15]經(jīng)典以及各種特殊條件下的似然比檢驗;三是比較評價工具，Lopez根據(jù)不同需要構(gòu)造合適的損失函數(shù)。本文將價格極差與交易量作為重要的影響因子引入到傳統(tǒng)的GARCH模型中，并計算和檢驗這種改進是否提高了VaR的準確性。因此，在簡單GARCH模型與改進后的GARCH模型計算出VaR進行比較時，首先需要考慮的是準確性。所以，本文釆用假設(shè)檢驗工具，利用Kupiec似然比檢驗法進行回測檢驗。

參數(shù)方法計算VaR值是在確定一個置信水平c的條件下得出的，如果金融資產(chǎn)標的物的收益率落在概率分布中VaR值的右側(cè)，即實際收益小于最大可能遭受的損失VaR值，則認為估計出的在險價值VaR是有效的;如果收益率落在概率分布中VaR的左側(cè)，即實際收益大于最大可能遭受的VaR，那么VaR失效。設(shè)樣本容量為N，通過對金融資產(chǎn)的每個收益率與VaR預(yù)測值進行比較，統(tǒng)計失敗的樣本數(shù)目為n，得出失敗的概率P=n/N。在VaR有效的情況下，失敗的概率為1-c。Kupiec在統(tǒng)計上對上述問題進行了規(guī)范定義，設(shè)定原假設(shè)為H0：P=P*=1-c，那么備擇假設(shè)為H1：P≠P*。在樣本數(shù)目為N的每個樣本進行檢驗時，可以認為每個數(shù)據(jù)之間是相互獨立的，失?。磳嶋H收益率大于最大可能遭受損失）的概率為P，與之相對應(yīng)成功的概率為1-P。這種檢驗被看作為服從二項分布的貝努力試驗，失敗次數(shù)為n的概率表示為：

其中，c=1-P*，在原假設(shè)是真的情形下，LR服從自由度為1的？字2分布。在給定的樣本數(shù)N的情況下，VaR失效（即實際收益大于最大可能遭受的VaR）次數(shù)n為非拒絕區(qū)域。

三、實證分析

（一）數(shù)據(jù)選取

在計算在險價值VaR時，本文選取了上證綜合指數(shù)一共2 630數(shù)據(jù)，其中包含了收盤價、交易量、最高價和最低價，數(shù)據(jù)源于雅虎財經(jīng)。

（二）數(shù)據(jù)處理

在金融實證研究中，一般并不直接對價格序列進行建模，股票市場的收盤價和交易量是一階單整的，因而釆用取對數(shù)的方法對金融資產(chǎn)價格序列的數(shù)據(jù)進行處理，獲得對數(shù)收益率，如下所示：

當日最高價減去最低價稱之為價格極差，同樣也要經(jīng)過自然對數(shù)處理，具體如下式所示：

其中，Pt，h為一天之內(nèi)最高價，Pt，j是一天之內(nèi)最低價。從收益率與價格極差的具體計算公式中能夠看出，二者在計算形式上具有相似性，都是兩個價格自然對數(shù)之差。交易量我們?yōu)榱吮苊庥捎谡叩纫恍┮蛩赜绊懀詫⒔灰琢恳策M行處理。針對中國股市的特點，我們采用交易量增長率Vt，來刻畫每日交易量vt的變化：

（三）數(shù)據(jù)分析

上證綜合指數(shù)價格指數(shù)分析（見圖1），上證綜合指數(shù)價格收益率分析（見下頁圖2）。從圖1和圖2中可以概括出收益率的變動具有兩個顯著特征：一是波動聚集性，即波動具有慣性，較大的波動和較小的波動往往都是成群出現(xiàn)的;二是杠桿效應(yīng)，也就是股票收益率序列向上波動和向下波動的幅度并不一致。也就是說，股票收益率對市場中的“壞”消息和“好”消息沖擊的反應(yīng)是不同的。

（四）數(shù)據(jù)統(tǒng)計描述分析

為了對數(shù)據(jù)的收益率，價格極差與交易量增長率有更直觀的認識采用描述統(tǒng)計的方法，從均值、標準差、最大值、最小值、中值、偏度、峰度、J-B統(tǒng)計量等方面對數(shù)據(jù)進行初步分析（見表1）。

從表1中我們能夠看出偏度、峰度與J-B統(tǒng)計量等一些統(tǒng)計數(shù)據(jù)，也檢驗了樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)性。從J-B統(tǒng)計量的P值可以看出，上證綜合指數(shù)的收益率拒絕了無條件正態(tài)分布的原假設(shè)。

（四）模型分析

通過閱讀文獻[16]，用學生t分布作為收益率的條件分布可以得到更好的擬合效果。我們應(yīng)用GARCH（1，1）模型和改進后的GARCH（1，1）模型，在t分布情況下，進行實證分析（見下頁表2）。

從表2中我們可以發(fā)現(xiàn)，在t分布情況下，改進后的GARCH（1，1）模型中的系數(shù)？墜1+？茁1的值顯著減小，傳統(tǒng)GARCH模型中？墜1+？茁1的值近似于1，而改進之后的GARCH模型？墜1+？茁1的值遠遠小于1，交易量和價格極差系數(shù)的估計值全部為正。在將交易量和價格極差作為重要影響因子加入條件方差方程中之后，交易量和價格極差對于收益波動持續(xù)性表現(xiàn)出良好的解釋作用。以AIC和SC最小信息損失準則為評價標準，那么可以看出改進后的GARCH（1，1）模型可以更好地描述上證綜合指數(shù)的收益率變化情形。

（五）VaR的回測檢驗

在進行Kupiec似然比檢驗之前，首先要對兩種辦法計算出來的VaR與實際收益率相比，計算出失效概率P，具體結(jié)果（見表3）。

在與實際的收益率比較中，統(tǒng)計失效次數(shù)計算的失效概率都小于0.05，沒有超出置信水平，因此可以認為GARCH（1，1）模型與改進后的GARCH（1，1）模型，條件方差擬合良好，預(yù)測的在險價值VaR是有效的。

假定對VaR模型有效性檢驗的置信水平是95，那么根據(jù)Kupiec的似然比計算公式，LR近似服從自由度為1的？字2分布，對上證綜合指數(shù)的失效概率計算對應(yīng)的似然比。

在置信水平為95%情形下，自由度為1的？字2分布對應(yīng)的分位數(shù)為3.841，改進后的GARCH（1，1）模型的VaR對應(yīng)的LR都大于3.841，拒絕了原假設(shè)。在Kupiec似然比檢驗法中，備擇假設(shè)為H1：P≠P*，分為P>P*和P<P*兩種情況，因為改進后的GARCH（1，1）模型失效概率均小于1-c（0.05），所以接受備擇假設(shè)中P<P*情況，即失效概率小于VaR允許的統(tǒng)計概率。

四、結(jié)語

本文選取了上證綜合指數(shù)2 630個數(shù)據(jù)，利用GARCH模型和引入交易量和價格極差的GARCH模型估計出的條件方差，計算在險價值VaR，經(jīng)過回測檢驗，價格極差與交易量作為重要信息引入，降低了VaR失效的概率，使得估計得到的VaR與實際結(jié)果更為接近，結(jié)果更為理想。

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Abstract：Currently，the GARCH model is widely used in the prediction of the volatility of financial asset sequences and the calculation of VaR at risk and market risk management.According to the characteristics of the stock market，using the method of adding the trading volume and price range difference to the traditional GARCH model to study the Shanghai Composite Index，we found that not only the fitting and forecasting results of some GARCH models can be improved，but also the assets of the underlying financial market.The GARCH effects explanatory ability gradually decreases and even some asset objects GARCH effect disappears directly.Among them，the trading volume and price difference show a good explanation for the persistence of the yield volatility.At the same time，the VaR value of the forward one step prediction is calculated and calculated.The results are backtested.The results show that the VaR value predicted by the improved GARCH model is more accurate than the traditional GARCH model，reducing the probability of VaR failure and making the estimated VaR closer to the actual results.

Key words：multivariate GARCH model;trading volume;price difference;VaR