王汝佳 吳士平 陳偉

(哈爾濱工業(yè)大學材料科學與工程學院,哈爾濱 150001）

機械波在金屬凝固過程中傳播的定量計算一直是一個難題,主要原因就是在這個過程中的熔體結(jié)構(gòu)非常復雜.本研究考慮到熔體的變溫、非均勻和粘彈性的特點,采用Kelvin粘彈性介質(zhì)模型,建立了具有粘熱損失特性的熱粘彈性波動方程,通過隱式有限差分方法對波動方程進行求解,并以ZL203A合金熔體為研究對象,探究了熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律.結(jié)果表明:熱粘彈波從合金熔體的低溫區(qū)向高溫區(qū)傳播時,非均勻的溫度場對波的傳播有較大影響;相反,當波從合金熔體的高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時,非均勻的溫度場對波的傳播幾乎沒有影響.熱粘彈波在合金熔體中的衰減系數(shù)隨頻率的增大呈線性增大,而隨溫度的升高先增大后減小,在熔體的枝晶搭接溫度附近達到最大值.

1 引 言

將機械振動應用于合金凝固過程中能起到細化晶粒、增加鑄件致密度、除氣除雜、增強補縮等作用[1?6],因此,機械振動在合金凝固領域已經(jīng)得到了廣泛的應用和研究.在合金凝固過程中施加機械振動,其實質(zhì)是周期性的外力在熔體中產(chǎn)生了波動,波動在熔體中傳播并與熔體發(fā)生相互作用,從而產(chǎn)生各種聲效應并影響合金的凝固組織和性能[7].因此,研究機械波在合金熔體中的傳播能夠指導機械振動在合金凝固過程中的應用.由于合金熔體的高溫和不透明等特點,實驗研究受到了極大的限制,數(shù)值模擬成為了揭示波在合金熔體中傳播規(guī)律的一個重要手段[7].其中機械波在合金凝固過程中傳播的定量計算一直是一個難題,主要原因就是凝固過程中合金熔體的結(jié)構(gòu)非常復雜.凝固過程中的熔體溫度場不均勻,且溫度場在不斷地變化,隨著溫度的變化,熔體中發(fā)生了固液相變.因此,在波的傳播問題中,凝固過程中的合金熔體是一個典型的變溫變結(jié)構(gòu)的非均勻粘彈性體[8].波在該類介質(zhì)中的傳播問題非常復雜.為了實現(xiàn)定量計算,目前的研究都將其進行了簡化:忽略復雜的微觀結(jié)構(gòu),將具有固液兩相的混合介質(zhì)處理成單一的連續(xù)介質(zhì);將熔體假設成簡單的彈性體或牛頓流體;忽略熱力耦合作用造成的熱損失.基于以上簡化,Kong和Cang[9]采用ANSYS FLUENT軟件模擬了功率超聲在鋼液中產(chǎn)生的聲流效應;Jiang等[10]利用ANSYS FLUENT中的二次開發(fā)功能,模擬了超聲施加在鋁合金半連鑄過程中的聲-流-熱耦合過程;Shao等[11]采用COMSOL軟件對AZ80合金的超聲空化和聲流效應進行了數(shù)值模擬.簡化處理的缺點是只能計算波在溫度比較高的熔體中的傳播,對于波在固液兩相區(qū)的半固態(tài)熔體中傳播的計算偏差較大.

同時,波在傳播過程中,介質(zhì)會產(chǎn)生周期性的壓縮和膨脹,壓縮區(qū)溫度升高,膨脹區(qū)溫度降低,導致介質(zhì)中的溫度場分布不均勻,從而產(chǎn)生熱傳導,這將導致波的衰減.這個波是和熱耦合在一起的,若介質(zhì)是彈性的,叫作熱彈波;若介質(zhì)是粘彈性的,那么這個波就叫作熱粘彈波[12].Nowinski和Boley[13]指出熱力耦合的作用是將施加給物體的機械能轉(zhuǎn)化為熱流,而后消耗掉.因此耦合項造成的能量耗散是不可逆的.Bruno等[14]認為,耦合效應的物理實質(zhì)是對熱彈性波的阻尼.范緒箕和陳國光[15]指出,耦合作用使應變(應力、溫度等)在波前的突變迅速衰減,這是熱力耦合波動方程中耦合項的重要特征之一.Takeuti和Tanigawa[16]認為,對于金屬材料,耦合項的影響比動力項的影響更大.因此在波動方程中考慮熱力耦合作用是非常重要的,而目前的大部分波動計算中均未考慮熱力耦合效應.

針對以上問題,本研究考慮了合金熔體的粘彈性特點,將熔體看作Kelvin粘彈性介質(zhì),同時考慮到熱力耦合作用,在本構(gòu)方程中加入了熱應力項,并在熱傳導微分方程中加入了熱力耦合項,利用動量守恒、能量守恒原理建立了熱粘彈波的波動方程組.然后采用隱式有限差分法對一維平面熱粘彈波進行了求解,在計算中考慮了介質(zhì)的變溫和非均勻的特點,采用了ZL203A合金熔體的熱力學參數(shù)作為計算參數(shù),對熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播進行了數(shù)值模擬研究.

2 熱粘彈波的控制方程

本文基于如下假設建立熱粘彈波的波動方程組.

1）介質(zhì)滿足連續(xù)性假設條件;

2）介質(zhì)滿足各向同性假設;

3）介質(zhì)發(fā)生的變形為小變形,應變和位移梯度滿足線性關系;

4）熱傳導滿足傅里葉熱傳導定律;

5）非熱力耦合的粘彈性介質(zhì)的應力-應變本構(gòu)關系滿足Kelvin模型.

波在傳播過程中,由于波動的應力會在介質(zhì)中產(chǎn)生形變,同時對微元體做功,因此在熱傳導微分方程中應該加上應力做功項.通過對熱力學中的態(tài)函數(shù)分析,認為主要由介質(zhì)的體積形變來產(chǎn)生力與熱的耦合作用[16],因此該應力做功項可以簡化為.當介質(zhì)溫度變化時,介質(zhì)若不能自由變形,那么介質(zhì)中將會產(chǎn)生熱應力,這個力主要是因為介質(zhì)的不自由壓縮或膨脹引起的,因此在應力-應變本構(gòu)方程中還需要加上由于溫度變化引起的熱應力.根據(jù)以上分析,結(jié)合動量守恒定律、能量守恒定律、Kelvin介質(zhì)的熱粘彈性本構(gòu)方程和幾何方程,一維熱粘彈平面波的波動方程組可表示為

當剪切彈性模量為零時,介質(zhì)中只能產(chǎn)生縱波,此時方程(1）退變?yōu)榱黧w中的聲波方程;當聲粘滯系數(shù)為零時,介質(zhì)中的波不發(fā)生衰減,此時方程(1）退變成為完全彈性介質(zhì)中的熱彈性波動方程.方程(1）的求解難點在于能量守恒方程和本構(gòu)方程中的熱力耦合項,它要求對溫度場和應力場進行耦合求解.

3 波動方程的數(shù)值求解

對波動方程組(2）在空間方向上采用中心差分,時間上采用向后差分.差分方程中的計算參數(shù)都是溫度的函數(shù),因此可以根據(jù)節(jié)點的溫度來確定節(jié)點的參數(shù)值.由于在波動傳播過程中,熱力耦合效應造成的溫度變化相較于初始溫度非常小,所以本研究忽略熱力耦合效應造成的溫差對計算參數(shù)的影響,差分方程中所有節(jié)點的計算參數(shù)值按照初始溫度場的分布給出.

將方程組(5）進行整理,并代入初、邊界條件,得到波動方程的隱式差分表達式:

4 熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播規(guī)律

4.1 計算參數(shù)

本研究以ZL203A合金熔體的熱力學參數(shù)作為數(shù)值模擬的計算參數(shù),其中Kelvin介質(zhì)模型中的剪切彈性模量()和剪切粘滯系數(shù)()可以從文獻[17]中獲得,密度()、熱焓()、熱傳導系數(shù)()和熱膨脹系數(shù)()可以從Procast數(shù)據(jù)庫中獲得.在ZL203A固相線處的泊松比為0.372(來自于材料性能模擬軟件-Jmatpro),根據(jù)體積彈性模量、剪切彈性模量和泊松比的關系,知,.由于體積彈性模量隨溫度的變化不大[18],所以在ZL203A合金的固液區(qū)間假設其為常數(shù).熔體的體積粘滯系數(shù)和剪切粘滯系數(shù)之比近似為常數(shù)[19],根據(jù)Bansal[20]的研究結(jié)果可知,鋁溶液的近似為 1.34,因此可以根據(jù)已知的求得.本研究中所用到的計算參數(shù)隨溫度的變化關系如圖1所示.

圖1 數(shù)值模擬中采用的計算參數(shù)Fig.1.Parameters used in numerical simulation.

4.2 熱粘彈波在不同介質(zhì)模型中的傳播規(guī)律

如前所述,Kelvin粘彈性介質(zhì)模型可以通過介質(zhì)參數(shù)的變化演變成完全彈性介質(zhì).因此本研究通過變換參數(shù),考慮波在不同介質(zhì)模型中的傳播規(guī)律.在波動方程 (1）中,將粘滯系數(shù)設為零,該方程組演變成了熱彈性波動方程組.由于Kelvin介質(zhì)的相速度和彈性模量、粘滯系數(shù)、頻率滿足關系(7）[21],當波的振動頻率不變,介質(zhì)模型退化為完全彈性介質(zhì)模型后,波的傳播速度也將發(fā)生變化,為了保持波速不變,以便于比較,在將粘滯系數(shù)設置為零后,還需要將彈性模量按照(7）式進行修改.

頻率為 20kHz,速度振幅相同的振動在 600℃的均勻熔體中的傳播過程如圖2所示.由于粘滯系數(shù)的存在,Kelvin熱粘彈波的階躍被抹平了,如圖2中的波前所示,彈性波的波前梯度變化比較清晰,而粘彈波的波前被拉得很寬.在相同波長和相同溫度場條件下,熱粘彈波的衰減非常快,而在完全彈性介質(zhì)中無衰減.從圖2中還可以看出,熱粘彈波場中的溫度變化比位移超前約.

4.3 熱粘彈波在變溫均勻介質(zhì)中的傳播

頻率為20kHz,速度振幅相同的振動在不同溫度的均勻熔體中的傳播過程如圖3所示.熱粘彈波在高溫介質(zhì)中的波長小,衰減快,傳播距離短.當熔體完全處于液相時,波衰減最快,傳播距離只有 0.1m,而在固液區(qū)傳播距離大于 2m.波在介質(zhì)中的衰減主要有熱損失、粘滯衰減和散射.本文所建立的模型并未考慮介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu),因此在均勻介質(zhì)中不產(chǎn)生散射,這里的衰減主要是粘滯衰減和熱損失.從該結(jié)果可以推斷,超聲在液相中的粘滯衰減和熱損失要大于高溫固相.

4.4 熱粘彈波在變溫非均勻介質(zhì)中的傳播

在變溫非均勻介質(zhì)中波傳播的數(shù)值模擬,需要將各個節(jié)點的計算參數(shù)按實時的溫度值給出,這個溫度是在不斷變化的,但由于波的傳播速度較大,引起介質(zhì)的溫度變化也較小,因此可以將變溫介質(zhì)看成是瞬態(tài)恒溫介質(zhì)來給計算參數(shù)賦值.介質(zhì)中的一維溫度場為550℃到650℃的線性分布,振源位于550℃的一端.

圖2 熱粘彈波在彈性介質(zhì)和 Kelvin介質(zhì)中的位移和溫差的分布Fig.2.Distribution of displacement and temperature difference of thermoviscoelastic wave in elastic medium and Kelvin medium.

圖3 熱粘彈波在變溫均勻介質(zhì)中的位移和溫差的分布Fig.3.Distribution of displacement and temperature difference of thermoviscoelastic wave in homogeneous medium with variable temperature.

如圖4所示,正弦熱粘彈性波在非均勻介質(zhì)中傳播時,波動影響區(qū)域的質(zhì)點位移都隨時間成正弦變化,但在空間上,波的振幅隨傳播距離的增加而衰減.當介質(zhì)處于壓縮狀態(tài)時,介質(zhì)中的溫度升高;處于拉伸狀態(tài)時,溫度降低.雖然熱粘彈波會對溫度場造成影響,但圖4表明,由熱損失和粘滯衰減引起的熔體溫度變化非常小,幾乎可以忽略不計.許多研究表明,熔體中施加超聲后會對熔體的溫度場造成非常大的影響,使熔體溫度場變均勻,金屬凝固時間變短[22].圖4的結(jié)果表明,熔體溫度場的劇烈變化很難由熔體對超聲的吸收引起.該結(jié)果間接證明了,超聲對熔體溫度場的改變主要由聲流對熔體的攪拌作用引起.

圖4 熱粘彈波在非均勻介質(zhì)中的傳播 (a)位移隨時間和空間的變化；(b)溫差隨時間和空間的變化Fig.4.Propagation of thermoviscoelastic waves in inhomogeneous medium: (a) Displacement changes with time and space;(b) temperature difference changes with time and space.

圖5 熱粘彈波在不同的均勻溫度場中的位移分布Fig.5.Distribution of displacement of thermoviscoelastic wave in different uniform temperature field.

圖6 熱粘彈波在不同的非均勻溫度場中的位移和溫差的分布 (a)波從低溫區(qū)域向高溫區(qū)域傳播；(b)波從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳播Fig.6.Distribution of displacement and temperature difference of thermoviscoelastic wave in different inhomogeneous temperature field:(a)Propagation from low temperature region to high temperature region;(b)propagation from high temperature region to low temperature region.

不均勻的溫度場對波動會產(chǎn)生非常大的影響,在如圖5所示的線性溫度場中,熱粘彈波在初始時傳播速度快,衰減較小.熱粘彈波在非均勻溫度場中傳播相當于在層狀介質(zhì)中傳播,每層的波阻抗不同,因此波在遇到界面時會發(fā)生折射和反射,在傳播過程中不斷遇到界面,散射衰減加重,傳播距離縮短.

如圖6所示,當波從合金熔體的高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時,非均勻溫度場的分布對波傳播的規(guī)律有非常大的影響,波入射處的溫度場梯度越小,波的衰減越小,傳播的距離越遠;當波從合金熔體的高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時,溫度場的不同分布對波傳播幾乎沒有影響.造成此現(xiàn)象的原因和波在不同溫度區(qū)的衰減系數(shù)不同有關.波在高溫區(qū)的衰減系數(shù)比低溫區(qū)大很多,所以在高溫區(qū),溫度場的分布對波造成的影響不如衰減系數(shù)的影響大,波還未來得及對不同分布的溫度場產(chǎn)生響應,波已經(jīng)完全衰減了,所以不同溫度場下位移和溫差的分布差異較小.

4.5 頻率和溫度對熱粘彈波衰減的影響

波的衰減系數(shù)如公式(8）所示.

根據(jù)公式(8）,對波在不同溫度分布的介質(zhì)中的衰減系數(shù)隨頻率的變化關系進行了統(tǒng)計.如圖7所示,不論是均勻溫度場還是非均勻溫度場,熱粘彈波的衰減系數(shù)都隨頻率的增大而增大,而且都和頻率成線性關系.衰減最大的是在非均勻高溫區(qū)中傳播的波,衰減最小的是在均勻低溫區(qū)中傳播的波.隨著熱粘彈波頻率的增大,熱粘彈波在熔體中的衰減愈嚴重,傳播距離愈短.由于本研究中的衰減包括粘滯衰減,這是一個不可逆的熱力學過程,頻率越高,在相同的時間里內(nèi)摩擦的次數(shù)越多,因此消耗的機械能越多,表現(xiàn)為衰減越快.

圖7 不同溫度場下熱粘彈波的衰減系數(shù)與頻率的關系Fig.7.Relationship between attenuation coefficient and frequency of thermoviscoelastic wave in different temperature fields.

如圖8所示,熱粘彈波在金屬熔體中的衰減系數(shù)隨溫度升高而先增大后減小,衰減轉(zhuǎn)折點發(fā)生在ZL203A合金的枝晶搭接溫度處.Lavender[23]測量了超聲在0.47%碳鋼的固相區(qū)、兩相區(qū)、液相區(qū)中的衰減系數(shù),也發(fā)現(xiàn)了在固液區(qū)間隨著溫度的升高,超聲衰減先增大后減小的現(xiàn)象,但他并未對此現(xiàn)象作出解釋.通過Al-4.5%Cu的流變實驗,我們可以確定ZL203A的枝晶搭接溫度在635℃(固相線 530℃,液相線 640℃)附近[24],由于本計算的 液 相 線 取 為 650℃,所 以 640℃ 約 是ZL203A合金的枝晶搭接溫度.從圖8的結(jié)果我們可以推斷,當合金熔體從高溫液相開始凝固時,由于粘度的降低,超聲的粘滯損失增大,超聲衰減加劇[25].當熔體中出現(xiàn)固相時,隨著溫度的降低,粘度增加的速度加快,衰減也快速增加,此時的固相顆粒完全分散于金屬液中,還不能抵抗剪切應力,相當于粘度非常大的流體.當枝晶搭接到一起時,形成了多孔介質(zhì),液相被搭接的枝晶分割開,形成不連續(xù)的流體.這時的熔體能夠承受一定的剪切應力,表現(xiàn)出彈性的性質(zhì),溫度越低,固相越多,彈性性質(zhì)越明顯,而超聲波在彈性介質(zhì)中無衰減,所以超聲的衰減系數(shù)又隨溫度的降低而減小.綜上,超聲在合金熔體中衰減系數(shù)最大時的溫度是合金的枝晶搭接溫度.利用該結(jié)論,我們可以采用測量超聲衰減的方法來確定枝晶搭接溫度,進一步指導超聲熔體處理工藝的改進.

圖8 不同頻率下熱粘彈波的衰減系數(shù)與溫度的關系Fig.8.Relationship between attenuation coefficient of thermoviscoelastic wave and temperature in different frequency.

5 結(jié) 論

本研究通過Kelvin粘彈性介質(zhì)模型的熱力耦合波動方程,采用隱式有限差分方法對波動方程進行求解,探究了熱粘彈波在變溫非均勻合金熔體中的傳播規(guī)律.以ZL203A合金熔體為研究對象,通過對相同波長的波在彈性介質(zhì)和粘彈性介質(zhì)中傳播規(guī)律的對比,發(fā)現(xiàn)熱粘彈波的衰減特別快,而熱彈波無衰減;熱粘彈波的階躍會在傳播過程中迅速被抹平變得光滑,而熱彈波的階躍比較明顯.通過熱粘彈波在不同溫度均勻介質(zhì)中的傳播對比,可以發(fā)現(xiàn),熱粘彈波在高溫金屬熔體中的波長較小,衰減較嚴重,傳播距離短.通過對熱粘彈波在具有不同溫度分布的非均勻介質(zhì)中的傳播對比,發(fā)現(xiàn):熱粘彈波在非均勻介質(zhì)中傳播相當于在阻抗不同的層狀介質(zhì)中傳播,相較于在均勻介質(zhì)中的傳播,其衰減更快;熱粘彈波從合金熔體的低溫區(qū)向高溫區(qū)傳播時,非均勻溫度場的分布對波的傳播有較大影響,波入射處的溫度場梯度越小,波的衰減越小,傳播的距離越遠;當波從高溫區(qū)向低溫區(qū)傳播時,非均勻溫度場的分布對波傳播幾乎沒有影響.計算不同頻率的熱粘彈波在不同溫度的均勻介質(zhì)中的衰減系數(shù),結(jié)果表明,熱粘彈波在金屬熔體中的衰減系數(shù)隨頻率的增大呈線性增大,而隨溫度的升高先增大后減小,衰減系數(shù)最大時的溫度是枝晶搭接溫度.