江西省南康中學(xué) 許鈐川

縱觀今年的高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷試題，雖然知識(shí)點(diǎn)覆蓋比較全面，但整體難度并不大，并無所謂的“偏題”“怪題”。大部分題目考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟練程度，但第16題更多地考查了學(xué)生的邏輯推理能力和思維靈活性，檢驗(yàn)考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高低。其橫向入口較寬,縱向難度較大,靈活性、綜合性都很強(qiáng)。下文是筆者對(duì)這道試題解法的一點(diǎn)探究,意在拋磚引玉,切磋交流.

題目：已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是 。

分析：有些考生可能會(huì)想到三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，想要化簡合并，以求最值，但卻失敗。為什么失敗？因?yàn)樗麄兿萑肓艘环N思維定勢(shì)，認(rèn)為這就是一個(gè)三角函數(shù)的題目，要用相關(guān)的三角函數(shù)知識(shí)去求解，結(jié)果深入不下去。而有些學(xué)生看出了端倪，這個(gè)題目只是借用了三角函數(shù)這樣一個(gè)載體，或者說是一個(gè)障眼法。直接求導(dǎo)求解，最終成功。這個(gè)例子很好地告訴了我們“靈活”二字在高考當(dāng)中的重要性。下面我們來說幾種關(guān)于這道題的較為靈活的解決方法：

方法一：求導(dǎo)法

首先說的是常規(guī)求導(dǎo)法，即求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，求出極值，極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值。

解：因?yàn)閒（x）的周期為2π,所以可以在一個(gè)周期[0,2π)內(nèi)討論。

方法二：均值不等式

均值不等式也是高中常用的方法，在這個(gè)題目中也可以使用。雖然比較難想到，但對(duì)于成績較好或者參加過奧賽的學(xué)生來說也不失為一種好方法。

方法三：萬能公式法

若熟悉萬能公式,還可以用如下方法：

當(dāng) t=0 時(shí)，g（t）=0；

方法四：琴生不等式

如果學(xué)習(xí)了奧賽知識(shí)，了解了琴生不等式，用來做此題，也不失為一種很好的方法。

所以f（x）=2sinx＋sin2x=sinx＋sinx＋sin（π-2x）

綜上，本題雖小，但入口寬，解法具有開放性、探究性，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)理念和教材的設(shè)計(jì)意圖。簡樸中顯特色，平凡中見真諦。提高了考生的觀察思辨能力，提升了本題的考查功能與選拔功能，很有開發(fā)價(jià)值，無疑是一道經(jīng)典之作。