基于壓縮感知理論的缺失數(shù)據(jù)集下線損預(yù)測模型

劉東升，代盛國，商學(xué)斌，顧潔，金之儉，王穎琛，李煜

(1.廣州供電局有限公司，廣東 廣州 510620；2.云南電網(wǎng)有限責任公司西雙版納供電局，云南 景洪 666100；3.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240)

線損預(yù)測為找出電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和用電管理等方面所存在的問題提供依據(jù)，進而指導(dǎo)開展降損管理工作[1-2]。線損預(yù)測的準確性密切關(guān)系著降損措施實施的有效性。

現(xiàn)代電網(wǎng)中，智能電表采集得到的數(shù)據(jù)集成在信息平臺上，構(gòu)成電網(wǎng)運行實時數(shù)據(jù)集[3-4]。當智能電表出現(xiàn)各種軟硬件問題、數(shù)據(jù)傳輸過程中采集信號突然中斷以及量測補全的情況下所得到的電網(wǎng)運行實時數(shù)據(jù)集為不完備數(shù)據(jù)集[5]。

目前，電力系統(tǒng)中高頻采集的線損數(shù)據(jù)面臨的數(shù)據(jù)缺失情況較為嚴重，以96點采集為例，由于采集系統(tǒng)和數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)本身問題導(dǎo)致某些數(shù)據(jù)不夠，丟點數(shù)嚴重時會達40以上。

不完備數(shù)據(jù)集對于線損的預(yù)測精度會產(chǎn)生一定的影響。在缺失數(shù)據(jù)集下，常采用對原始數(shù)據(jù)集進行數(shù)據(jù)補全后再進行線損預(yù)測的方法[6]，因而數(shù)據(jù)補全的恢復(fù)效果決定了線損預(yù)測的精度高低。

傳統(tǒng)的缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)方法一般有基于統(tǒng)計的簡單數(shù)據(jù)補全和復(fù)雜的估算方法補全[7]。傳統(tǒng)缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)方法如差值法等運算機理較簡單，運算量小，在處理少量數(shù)據(jù)缺失和較小數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)補全方面用時短且恢復(fù)效果好；但在處理大量數(shù)據(jù)缺失和大數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)補全時，由于其運算機理單一，無法對已有的數(shù)據(jù)進行分析后修補缺失數(shù)據(jù)，不能體現(xiàn)缺失數(shù)據(jù)集的變化趨勢[8]。

當前，大數(shù)據(jù)技術(shù)已經(jīng)在電力系統(tǒng)中得到了初步應(yīng)用[9-11]，壓縮感知理論是近年來提出的可突破奈奎斯特采樣頻率的新型采樣理論，該方法能高精度地恢復(fù)原始數(shù)據(jù)信息，實現(xiàn)數(shù)據(jù)補全與重建[12-14]。

目前電力系統(tǒng)中應(yīng)用壓縮感知理論進行處理的主要是電壓等呈現(xiàn)明顯周期性的電力信號。電網(wǎng)線損的特點是：每日整點線損時間序列呈現(xiàn)非平穩(wěn)性；每日線損時間序列隨著用電負荷的變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。因此，對于壓縮感知理論在線損處理方面的應(yīng)用仍需要單獨研究。

本文基于壓縮感知理論對線損預(yù)測的缺失數(shù)據(jù)進行填補，利用改進的基于自適應(yīng)噪聲的完整集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[15-16](complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise，CEEMDAN)建立線損預(yù)測模型，并應(yīng)用算例對其可行性進行驗證。

1 基于壓縮感知理論的缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)方法

1.1 壓縮感知理論

依據(jù)壓縮感知原理，設(shè)原始信號為x∈RN(其中N為原始信號數(shù)據(jù)總數(shù))，選取某字典矩陣ψ將原始信號稀疏化，經(jīng)過壓縮可以得到觀測信號y∈RM(M

y=φx.

(1)

設(shè)用于稀疏化的字典矩陣ψ∈RN×N，則稀疏化后的信號矩陣

θ=ψx.

(2)

進而可得

y=φψ-1θ=Aθ.

(3)

式中A為測量矩陣，且必須滿足有限等距性質(zhì)。

有限等距性質(zhì)定義如下：對任意稀疏度為k的信號和常數(shù)δk∈(0,1)，如果滿足

則稱矩陣滿足有限等距性質(zhì)。

此外，有限等距性質(zhì)的等價條件為觀測矩陣φ∈RM×N和字典矩陣ψ∈RN×N不相關(guān)。當兩個矩陣互相表示所需的向量越少，就表明兩者之間的相關(guān)性越強。數(shù)學(xué)表達式為：

(1≤i≤M,1≤j≤N).

(5)

式中：φi為矩陣φ的第i行；ψj為矩陣ψ的第j行；μ為相關(guān)性函數(shù)。

由壓縮感知原理可知，數(shù)據(jù)補全效果與稀疏化字典矩陣的選取、矩陣重構(gòu)算法的選取這兩大因素有關(guān)[18-20]。稀疏化字典矩陣的選取原則為使得稀疏化后的原始矩陣在某個域上稀疏度最大化，矩陣重構(gòu)算法的選取原則為重構(gòu)效果穩(wěn)定且高效。以下著重介紹具有代表性的矩陣稀疏變換方法和矩陣重構(gòu)算法。

1.2 矩陣稀疏變換方法

電網(wǎng)中所采集的電網(wǎng)運行數(shù)據(jù)一般為離散信號，線損數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時間序列為一維離散信號。常用的針對離散信號的稀疏變換有：離散正余弦變換(discrete cosine transform，DCT)、離散小波變換、快速傅里葉變換(fast Fourier transforma tion，F(xiàn)FT)、過完備原子分解等，其中FFT和DCT對于本文所涉及的線損時間序列信號的稀疏變換效果較好。

1.2.1 FFT

FFT在離散傅里葉變換(discrete Fourier transform，DFT)的算法基礎(chǔ)上進行了改進，優(yōu)化了DFT運算量大和運算時間長的問題。對于一維離散信號x=(f(0),f(2),…,f(n),…,f(N-1))，其DFT為

(6)

DFT的逆變換為

(7)

式中WN=e-j2π/N。

當f(k)含N個離散點時，需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。所以N越來越大時，DFT運算的復(fù)雜度也相應(yīng)增大。FFT利用了WN的周期性和對稱性，按時間抽取變換形式把N個點的DFT計算過程轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗械牡^程，降低了運算復(fù)雜度。

1.2.2 DCT

對于一維離散信號x=(f(0),f(2),…,f(n),…,f(N-1))，其DCT為

(8)

DCT的逆變換為

(9)

式中u為測線方向的波數(shù)。當測線方向為x軸正方向時，設(shè)離散數(shù)據(jù)的采樣間隔為dx，則有：

(10)

(11)

1.3 重構(gòu)算法

基于壓縮感知理論的信號重構(gòu)算法常見的有貪婪算法和凸松弛算法兩大類。常用的貪婪算法有匹配追蹤(matching pursuit，MP)算法、分段正交匹配追蹤算法和正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)算法；常用的凸松弛算法有Dantzig選擇器法和基追蹤(basis pursuit，BP)算法。以下分別選取貪婪算法和凸松弛算法中兩個具有代表性的信號重構(gòu)算法予以介紹。

1.3.1 OMP算法

OMP算法是MP算法的一種，屬于貪婪迭代算法大類。該方法運用了MP算法中的原子選擇準則，通過遞歸方法對選中的原子集合進行正交化，以保證迭代最后得到最優(yōu)解。OMP算法改進了MP算法為達到收斂可能需要的迭代次數(shù)過多且最后可能達到的是次優(yōu)解的問題[21]。

OMP算法的輸入有原始信號x∈RN、觀測矩陣φ∈RM×N、觀測信號y∈RM和原始信號稀疏度k，輸出為重構(gòu)信號x′∈RN。由于OMP算法的運用前提為輸入的信號必須是k稀疏的，迭代次數(shù)n取決于輸入信號的稀疏度k，所以若原始信號并非稀疏信號，則需要將原始信號轉(zhuǎn)化為其他域的稀疏信號再作為輸入信號輸入。

1.3.2 BP算法

BP算法是常用的信號重構(gòu)算法，屬于凸松弛算法大類。該算法去除信號中的高斯白噪聲，從而完成信號的重構(gòu)。根據(jù)壓縮感知原理，BP算法的目的是求出式(1)所示的欠定方程的解。求解的最直接方法為在0-范數(shù)下，求解如式(12)的最優(yōu)解[16]：

(12)

式(12)的求解問題涉及非確定性多項式難題，求解該類方程需要根據(jù)1-范數(shù)在一定條件下和最小0-范數(shù)的等價性求解，則式(12)可轉(zhuǎn)化為

(13)

在有噪聲存在的情況下，觀測模型變?yōu)?/p>

Y=y+r=φx+r.

(14)

(15)

2 數(shù)據(jù)缺失條件下線損預(yù)測模型實現(xiàn)

現(xiàn)有的線損預(yù)測方法多采用單一模型對線損序列總體進行預(yù)測，未能針對非平穩(wěn)線損序列各分量特征進行細粒度分析，影響預(yù)測準確度。本文采用K-means聚類方法對歷史數(shù)據(jù)進行聚類，對負荷進行分類，在各聚類內(nèi)部進行數(shù)據(jù)恢復(fù)及線損預(yù)測，以提高計算精度。

線損預(yù)測的精度受訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的完備程度影響較大，因此當線損數(shù)據(jù)出現(xiàn)缺失時，需要先完成數(shù)據(jù)的恢復(fù)與補全。傳統(tǒng)的基于統(tǒng)計的數(shù)據(jù)補全方法在大數(shù)據(jù)集和數(shù)據(jù)大量缺失的情況下難以實現(xiàn)良好的數(shù)據(jù)補全效果。本文利用大數(shù)據(jù)理論中的壓縮感知理論，選取適當?shù)男盘栂∈枳儞Q矩陣和重構(gòu)算法，在完成歷史數(shù)據(jù)聚類之后，對于各類歷史數(shù)據(jù)分別進行數(shù)據(jù)恢復(fù)與補全，結(jié)合完備數(shù)據(jù)集下提出的預(yù)測模型，利用恢復(fù)后的歷史數(shù)據(jù)進行線損預(yù)測。

綜上，本文提出一種數(shù)據(jù)缺失條件下的線損預(yù)測模型，實現(xiàn)方法如下：

a)根據(jù)電網(wǎng)歷史數(shù)據(jù)中的總負荷、負荷率和峰谷差率3個特征量，采用K-means聚類方法對ND日歷史負荷數(shù)據(jù)的各特征量按輪廓系數(shù)最大的原則進行聚類，將歷史數(shù)據(jù)分為w類，含n1，n2，…，nw個相似日，且ND=n1+n2+…+nw。通過待預(yù)測日Di的3項特征量預(yù)測值確定待預(yù)測日所屬類型。

b)將第t類別的歷史線損數(shù)據(jù)按24個整點構(gòu)成1條時間序列矩陣T=[t1[1],t1[2],…,t1[24]，t2[1],t2[2],…,t2[24]，…，tnw[1],tnw[2],…,tnw[24]]，通過CEEMDAN將此線損時間序列分解為p個本征模態(tài)分量FIM1，F(xiàn)IM2，…，F(xiàn)IMp以及余量R。

c)選取適當?shù)淖值渚仃?，將分解好的p個固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)分量FIM1，F(xiàn)IM2，…，F(xiàn)IMp以及余量R分別進行稀疏化變換。字典矩陣的選取原則為使稀疏化變換后的矩陣稀疏度最大。

d)選取適當?shù)闹貥?gòu)算法，對變換后的IMF分量稀疏矩陣進行基于壓縮感知理論的數(shù)據(jù)補全。重構(gòu)算法的選取原則為使數(shù)據(jù)恢復(fù)效果穩(wěn)定且高效。

e)對修復(fù)完的IMF分量矩陣進行稀疏化變換的逆變換，使得其恢復(fù)時域上的完備IMF分量序列。

f)將時域上的各IMF分量序列按相似日各整點再分為24條IMF分量。整理后各整點j(j=1,2,…,24)的IMF分量FIM1[j]，F(xiàn)IM2[j]，…，F(xiàn)IMp[j]分別作為Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入訓(xùn)練樣本，根據(jù)絕對誤差最小的原則選取最佳的隱含層層數(shù)，建立預(yù)測Elman網(wǎng)絡(luò)[17]。

g)各模態(tài)分量預(yù)測值FIM1[j]′,FIM2[j]′，…，F(xiàn)IMp[j]′累加后得到待預(yù)測日該整點的線損預(yù)測值，即待預(yù)測日第j時刻的線損預(yù)測值X[j]=FIM1[j]′+FIM2[j]′+…+FIMp[j]′+R[j]′.數(shù)據(jù)缺失下的線損預(yù)測建模流程如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)缺失下的線損預(yù)測建模流程Fig. 1 Flow chart of prediction modeling for line loss under data-missing condition

3 算例分析

3.1 算例介紹

FFT能將有一定周期性的時間序列變換為頻域上的稀疏信號，故本算例采用FFT作為矩陣的稀疏變換方法。OMP算法能以很高的概率將單個稀疏信號復(fù)原，并且相比于BP算法速度更快且易于實現(xiàn)，更適用于大數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)修復(fù)，因此本算例選取OMP算法為壓縮感知理論的重構(gòu)算法。

以某10 kV配電網(wǎng)2017年1月1日至9月2日共計246日、每日24個整點的全網(wǎng)線損數(shù)據(jù)和節(jié)點負荷作為歷史數(shù)據(jù)樣本，此樣本可看作大數(shù)據(jù)源。以配電網(wǎng)總負荷、負荷率和峰谷差率作為聚類樣本特征輸入，選擇最大輪廓系數(shù)下的聚類數(shù)作為樣本聚類數(shù)，將歷史數(shù)據(jù)分為兩大類。

該配電網(wǎng)每15 min采集一次線損數(shù)據(jù)，每日共96個數(shù)據(jù)點。選取其中已聚類完的50個相似日共4 800個點構(gòu)成線損時間序列，如圖2所示。

在實際應(yīng)用中，一維信號數(shù)據(jù)量超過100時即可視為大數(shù)據(jù)，故50個相似日構(gòu)成的線損時間序列可以驗證本文提出的方法和模型在大數(shù)據(jù)情況下的適用性。

圖2 50個相似日線損時間序列Fig. 2 Daily line loss time-sequence of 50 similar days

由圖2可知，50個相似日線損時間序列以日為單位呈現(xiàn)一定的周期性，這與電網(wǎng)的線損一般隨負荷波動而變化的性質(zhì)有關(guān)。

模擬第10日到第14日共5日的線損數(shù)據(jù)缺失，即50個相似日線損時間序列的第865點至第1 344點缺失，共缺失480個數(shù)據(jù)點，數(shù)據(jù)缺失率為10%。將數(shù)據(jù)集中的缺失數(shù)據(jù)置0，則含缺失數(shù)據(jù)的50個相似日線損時間序列如圖3所示。

圖3 含缺失數(shù)據(jù)的50個相似日線損時間序列Fig.3 Daily line loss time-sequence of 50 similar days with missing data

3.2 不同數(shù)據(jù)恢復(fù)方法的數(shù)據(jù)修復(fù)效果比較

采用4種不同的數(shù)據(jù)恢復(fù)方法，分別對第3.1節(jié)中含數(shù)據(jù)缺失的50個相似日線損時間序列進行數(shù)據(jù)補全，修復(fù)效果如圖4所示。其中，三次多項式插值法、線性插值法和最小二乘搜索法為傳統(tǒng)的缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)方法。

線性插值及三次多項式差值兩種數(shù)據(jù)修復(fù)方法在數(shù)據(jù)缺失較大時，修復(fù)效果很差，不僅誤差很大，而且沒有反映出缺失數(shù)據(jù)序列隨時間的變化規(guī)律。

最小二乘搜索法可以在一定程度上還原原始數(shù)據(jù)的周期性，但是與原始數(shù)據(jù)有一定的誤差，也無法體現(xiàn)線損隨時間的變化規(guī)律。而且該方法需要依據(jù)經(jīng)驗設(shè)定初始的函數(shù)模型，受人為因素影響較大。

(a)線性插值法

(b)三次多項式插值法

(c)最小二乘搜索法

(d) 本文方法圖4 4種數(shù)據(jù)恢復(fù)方法的數(shù)據(jù)修復(fù)效果Fig.4 Data repairing effect of four methods

本文選取FFT為原始矩陣的稀疏化變換方法，將原始信號變換至頻域上。該原始信號為頻域上的稀疏信號，經(jīng)過測量可得該原始信號頻域上的稀疏度k，即變換后信號在頻域過零點的個數(shù)為1 911。選取OMP算法作為壓縮感知恢復(fù)數(shù)據(jù)的重構(gòu)算法，算法迭代次數(shù)設(shè)為2k，即3 822次。由圖4(d)可知，用該方法恢復(fù)的數(shù)據(jù)雖然和原始數(shù)據(jù)也有一定的誤差，但很好地還原了原始數(shù)據(jù)的變化趨勢和周期性，比最小二乘搜索法的修復(fù)效果更接近原始數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)修復(fù)平均絕對誤差和數(shù)據(jù)缺失率的關(guān)系如圖5所示。由圖5可知，隨著數(shù)據(jù)缺失率增大，平均絕對誤差也隨之增大。由于原始數(shù)據(jù)周期性較好，沒有出現(xiàn)特別的突變點，故恢復(fù)后的效果較好，當數(shù)據(jù)缺失率在50%以下時，平均絕對誤差穩(wěn)定在3%～4%。

圖5 數(shù)據(jù)修復(fù)平均絕對誤差和數(shù)據(jù)缺失率的關(guān)系Fig.5 Relationship between MAE of data repairing and data missing rate

3.3 基于不同數(shù)據(jù)恢復(fù)方法的線損預(yù)測結(jié)果比較

取50個相似日線損數(shù)據(jù)中的前4 799個數(shù)據(jù)，分別模擬數(shù)據(jù)缺失率在10%～90%的情形，并對數(shù)據(jù)采用壓縮感知法、最小二乘搜索法及插值法進行數(shù)據(jù)修復(fù)后，結(jié)合完備數(shù)據(jù)集下的預(yù)測模型進行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，輸出第4 800點的線損預(yù)測值。采用3種數(shù)據(jù)恢復(fù)方法所得到的線損預(yù)測值相對誤差絕對值見表1。

表1 3種數(shù)據(jù)恢復(fù)方法的線損預(yù)測值相對誤差絕對值比較
Tab.1 Comparison of relative error absolute values of prediction values of three data repairing methods

數(shù)據(jù)缺失率/%線損預(yù)測值相對誤差絕對值傳統(tǒng)插值法最小二乘搜索法本文方法104.451.430.502011.133.550.153013.486.984.644015.638.347.195015.9510.908.106017.7911.549.527020.2512.679.648021.0113.8910.159027.9725.4423.60

由表1可知，在任何數(shù)據(jù)缺失率下，線損預(yù)測誤差由大到小依次為：傳統(tǒng)插值法、最小二乘搜索法、本文方法。當數(shù)據(jù)缺失率特別大或特別小時，3種方法的預(yù)測效果差別不大。當缺失率特別大時，從已有的數(shù)據(jù)中已經(jīng)很難預(yù)測出缺失數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，因此3種預(yù)測方法均誤差較大；當數(shù)據(jù)缺失率特別小時，已有數(shù)據(jù)較全面，傳統(tǒng)數(shù)據(jù)補全法也能較好地恢復(fù)數(shù)據(jù)，因此基于大數(shù)據(jù)理論的壓縮感知方法優(yōu)勢不明顯。

目前，對線損預(yù)測的精度要求一般為小于2.5%。采用傳統(tǒng)插值法補全數(shù)據(jù)后預(yù)測線損時，數(shù)據(jù)缺失率在10%以下可能仍無法達到該精度要求。采用壓縮感知法補全數(shù)據(jù)后預(yù)測線損時，數(shù)據(jù)缺失率在20%以下即可以達到該精度要求。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于壓縮感知理論的缺失數(shù)據(jù)集下線損預(yù)測模型。壓縮感知理論是近年來基于大數(shù)據(jù)理論的一種新型采樣技術(shù)。相比于傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)恢復(fù)方法，基于壓縮感知理論的數(shù)據(jù)修復(fù)方法在數(shù)據(jù)量較大或數(shù)據(jù)缺失情況較嚴重的情況下，仍能較好地修復(fù)原始數(shù)據(jù)，恢復(fù)原始數(shù)據(jù)的變化趨勢。CEEMDAN能夠以極高的精確度重構(gòu)原信號，解決了集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)在實驗次數(shù)較少的情況下重構(gòu)誤差大的問題。某10 kV配電網(wǎng)算例的驗證結(jié)果表明，在數(shù)據(jù)修復(fù)效果及線損預(yù)測精度方面，本文提出的方法較傳統(tǒng)數(shù)據(jù)恢復(fù)方法更有優(yōu)勢。

本文算例僅考慮了連續(xù)缺失數(shù)據(jù)的情況，未考慮其他情況。本文所提出的線損預(yù)測模型在非連續(xù)缺失數(shù)據(jù)的情況下是否適用，可在今后的研究中進一步驗證。