王旭鵬, 張 艷, 吉曉民, 馬尚君, 佟瑞庭

(1.西安理工大學(xué) 工業(yè)設(shè)計系，西安 710048;2.西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動與控制工程實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

接觸碰撞現(xiàn)象在機(jī)械系統(tǒng)中是非常普遍的[1]，比如相鄰連接件之間的鉸鏈連接處，因相對運(yùn)動、加工、裝配及其使用過程的摩擦磨損等原因?qū)е麓嬖陂g隙，而間隙正是接觸碰撞的根源[2]。接觸碰撞勢必會引起機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)性能、精度、可靠性及壽命等技術(shù)指標(biāo)的下降[3]。

要研究接觸碰撞現(xiàn)象及其對機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，首先應(yīng)建立可用來準(zhǔn)確描述接觸碰撞效應(yīng)的接觸碰撞力模型。為此，從20世紀(jì)70年代開始，國內(nèi)外研究者建立了一系列接觸碰撞力模型。作為研究接觸碰撞現(xiàn)象的奠基者，Hertz最先提出了一種非線性接觸碰撞力模型[4]，但是，Hertz接觸理論的應(yīng)用條件為：接觸體具有非協(xié)調(diào)幾何外形，且接觸面為平面。因此，Hertz接觸碰撞力模型具有一定的局限性。Ciavarella等[5]在對Persson接觸模型改進(jìn)的基礎(chǔ)上，提出了另外一種適用于接觸半徑非常小且接觸半角足夠大工況下的接觸碰撞力模型，但該模型同樣具有局限性，僅適用于小間隙的接觸碰撞。Liu等[6]基于彈性基礎(chǔ)模型，提出了一種改進(jìn)的接觸碰撞力計算模型，并通過與有限元計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)模型具有更好的適應(yīng)性；但是，上述模型均沒有考慮碰撞過程的能量損耗。

首個考慮碰撞過程阻尼損耗的法向碰撞力模型為Kelvin-Voigt模型[7]，該模型用一組平行的線性彈簧阻尼單元描述法向碰撞特性，其中用線性阻尼器來衡量碰撞過程的能量損耗，但模型中阻尼器系數(shù)是非零常數(shù)，導(dǎo)致在碰撞剛開始時，出現(xiàn)了變形量為零而接觸碰撞力大于零的現(xiàn)象，與實(shí)際情況不符。為了能夠克服Kelvin-Voigt線性彈簧阻尼模型的局限性，Hunt等[8]、Lankarani等[9]、Gonthier等[10]、秦志英等[11]、Flores等[12]提出了一系列改進(jìn)的模型；但是，上述各種碰撞力模型均基于Hertz基礎(chǔ)理論建立，僅適用于大間隙、小載荷，且恢復(fù)系數(shù)接近1的工況[13,21-23]。白爭鋒等[14]在改進(jìn)彈性基礎(chǔ)模型基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的非線性法向碰撞力混合模型，并基于該模型進(jìn)行了相關(guān)分析研究[15]；王旭鵬等基于文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上提出了一種考慮鉸鏈軸向尺寸，且計算過程不需要恢復(fù)系數(shù)的、近似的法向碰撞力模型，并結(jié)合數(shù)值仿真以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比驗(yàn)證了模型的有效性[16]；之后，該團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步對文獻(xiàn)[16]中的模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了另外一種法向碰撞力模型，并通過不同間隙、初始碰撞速度及不同恢復(fù)系數(shù)下的對比分析，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)模型在不同工況下均比L-N模型具有更高的精度[17]。

本文基于初始碰撞速度和材料屈服強(qiáng)度，建立了一種變恢復(fù)系數(shù)，進(jìn)而建立了一種改進(jìn)的接觸碰撞力模型，以軸-軸承、球-球、球-圓柱以及平面曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例，通過大量數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測試，對改進(jìn)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 接觸碰撞建模

準(zhǔn)確的描述接觸碰撞現(xiàn)象，是建立接觸碰撞力和進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)中接觸碰撞分析的基礎(chǔ)所在。如圖1所示，機(jī)械系統(tǒng)中的接觸碰撞現(xiàn)象可分為2種情況：外碰撞、內(nèi)碰撞。

(a) 外接觸

(b) 內(nèi)接觸

由圖1可知

ΔR=R1-R2

(1)

式中，R1、R2為接觸碰撞體的半徑。

碰撞體中心點(diǎn)的偏心向量為

(2)

對應(yīng)的偏心距離為

(3)

發(fā)生碰撞時，碰撞體間的彈性變形量為

(4)

當(dāng)δ≥0時，表示碰撞體間發(fā)生接觸和碰撞現(xiàn)象。

2 改進(jìn)的接觸碰撞力模型

當(dāng)發(fā)生接觸碰撞時，將在接觸面產(chǎn)生接觸力；建立準(zhǔn)確的接觸力模型，對于研究接觸碰撞效應(yīng)，以及其對機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)特性的影響起到至關(guān)重要的作用。

目前，在進(jìn)行接觸碰撞分析時，使用最廣泛的是L-N模型，但該模型更適用于大間隙、小載荷且恢復(fù)系數(shù)接近1的工況；Wang等進(jìn)一步提出了改進(jìn)的接觸力模型，該模型不受間隙和載荷的影響，且在較小的恢復(fù)系數(shù)下也有較高的精度。需要指出的是：上述模型均假設(shè)接觸碰撞過程恢復(fù)系數(shù)是固定不變的；但事實(shí)上，材料屈服強(qiáng)度和初始碰撞速度對恢復(fù)系數(shù)影響較大[18-19]，Stammers等通過實(shí)驗(yàn)測試發(fā)現(xiàn)恢復(fù)系數(shù)與初始碰撞速度存在如下關(guān)系

(5)

為了引入材料屈服強(qiáng)度對恢復(fù)系數(shù)的影響，在Stammers恢復(fù)系數(shù)模型的基礎(chǔ)上，本文提出了一種改進(jìn)的變恢復(fù)系數(shù)模型

(6)

式中，K*為與材料屈服強(qiáng)度相關(guān)的系數(shù)；依據(jù)文獻(xiàn)[24]中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合，可得K*表達(dá)式如下

(7)

式中，σB1、σB2為接觸碰撞材料的屈服強(qiáng)度。

基于(6)、(7)所示的變恢復(fù)系數(shù)，結(jié)合文獻(xiàn)[17]提出的改進(jìn)模型，本文提出了另外一種改進(jìn)的接觸碰撞模型，其表達(dá)式如下

(8)

(9)

式中，L為碰撞體軸向長度，E*為碰撞材料的等效彈性模量，可由下式獲得

(10)

式中，E1,2和v1,2分別為碰撞材料的彈性模量和泊松比。

3 接觸碰撞分析

3.1 算例1：軸-軸承

圖2所示為軸-軸承模型，假設(shè)軸承固定，軸以0.5 m/s初始速度與軸承發(fā)生碰撞；為了便于和L-N模型進(jìn)行對比分析，假設(shè)L-N模型分析時恢復(fù)系數(shù)分別為0.7、0.8和0.9。

圖2 軸-軸承接觸碰撞模型

圖3所示為數(shù)值模擬結(jié)果，分析可知：① 在軸、軸承間接觸碰撞和恢復(fù)過程，改進(jìn)模型模擬結(jié)果與L-N模型恢復(fù)系數(shù)為0.9時的結(jié)果更為相似，這主要是由于L-N模型更適用于恢復(fù)系數(shù)較大的工況；② 改進(jìn)模型的最大變形量為5.12 μm，小于L-N模型對應(yīng)結(jié)果5.65 μm，但改進(jìn)模型最大接觸力為2 204.5 N，大于L-N模型對應(yīng)結(jié)果2 038.2 N，這主要是因?yàn)楦倪M(jìn)模型接觸剛度在碰撞過程是非線性變化的，而L-N模型則為定值。

圖3 數(shù)值模擬結(jié)果：變形-接觸碰撞力

3.2 算例2：球-球

圖4所示為完全相同的2個鋼球發(fā)生接觸碰撞的單擺型實(shí)驗(yàn)裝置，在初始狀態(tài)，鋼球1處于豎直靜止?fàn)顟B(tài)，鋼球2以初始角度為θ0、初始速度為0在重力作用下運(yùn)動；碰撞后，兩個鋼球相對豎直位置的角度分別為θ1和θ2；2個鋼球材料參數(shù)一致，分別為：彈性模量210 GPa，泊松比0.3，屈服強(qiáng)度518.4 MPa。

圖4 球-球接觸碰撞模型

為了準(zhǔn)確地對數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，驗(yàn)證改進(jìn)模型的有效性，借助牛頓沖擊理論的恢復(fù)系數(shù)模型，對數(shù)值和實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果進(jìn)行對比分析，該模型可表示為

(11)

圖5和表1所示為不同初始速度下，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測試恢復(fù)系數(shù)及二者相對誤差。分析可知，數(shù)值模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果基本吻合，二者間相對誤差均小于10%，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文新模型的正確性。

圖5 碰撞恢復(fù)系數(shù)結(jié)果

Fig.5 Results of restitution coefficient based on experimental and numerical

(12)

式中，ρ為碰撞體材料的密度。

表1 數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測試的恢復(fù)系數(shù)及二者相對誤差

3.3 算例3：曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

圖6所示為平面曲柄滑塊機(jī)構(gòu)[20]。假設(shè)連桿與滑塊間鉸鏈處存在規(guī)則徑向間隙，其余各處均為理想約束。表2所示為機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)和質(zhì)量特性參數(shù)，數(shù)值模擬參數(shù)如表3所示。

假設(shè)連桿與滑塊間干摩擦鉸鏈處徑向間隙分別為0.1 mm、0.5 mm及1 mm，曲柄轉(zhuǎn)速恒定為200 r/min；同時，忽略桿件彈性變形影響；數(shù)值模擬時，間隙鉸鏈處摩擦力采用修正的庫倫摩擦力表示；圖7所示為數(shù)值模擬和參考文獻(xiàn)[20]對應(yīng)實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果。

圖6 含間隙鉸鏈曲柄滑塊機(jī)構(gòu)模型

(a) c=0.1 mm

(b) c=0.1 mm

(e) c=0.5 mm

(f) c=0.5 mm

(g) c=1 mm

(h) c=1 mm

由圖7可知：(1)基于本文變恢復(fù)系數(shù)接觸碰撞力模型的數(shù)值模擬結(jié)果，與文獻(xiàn)[20]對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果在趨勢性和量級上均吻合較好，再次驗(yàn)證本文接觸碰撞力模型的準(zhǔn)確性和有效性；(2)間隙鉸鏈處接觸碰撞現(xiàn)象對滑塊加速度影響顯著，較理想無間隙加速度曲線出現(xiàn)了明顯的振蕩；(3)隨著間隙值的增大，振蕩幅值依次增大，但振蕩的頻率逐漸降低。

4 結(jié) 論