高長(zhǎng)江

[摘要]與“大數(shù)”相關(guān)的理論可以稱為“大數(shù)論”，本文介紹了“大數(shù)”的含義，應(yīng)用于“大數(shù)據(jù)”的運(yùn)算，提出了大數(shù)理論內(nèi)容——四個(gè)大數(shù)原理，還對(duì)其應(yīng)用發(fā)展前景進(jìn)行了探討。

[關(guān)鍵詞]數(shù)論;大數(shù)據(jù);大數(shù)論

一、大數(shù)和大數(shù)論

定義：大數(shù)是很大的數(shù)值的數(shù)，可以接近無窮大。與“大數(shù)，，相關(guān)的理論可以稱為“大數(shù)論”?！按髷?shù)”即很大數(shù)值的數(shù)，大數(shù)不是無窮大，可以接近無窮大。在實(shí)際應(yīng)用中，“大數(shù)”是一個(gè)有意義的數(shù)字。大數(shù)實(shí)際舉例：人腦神經(jīng)元的數(shù)量、互聯(lián)網(wǎng)信息的數(shù)量、銀河系恒星的數(shù)量等。

二、大數(shù)的表示和層級(jí)

（一）無窮大符號(hào)是∞，大數(shù)可以用∝表示

如果用∝表示大數(shù)個(gè)體，比如某個(gè)人腦神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，則大數(shù)群體可以用矩陣來表示。

其中∝_##表示大數(shù)個(gè)體，大數(shù)群體矩陣見圖1。

在數(shù)學(xué)分析中，有無窮大量和無窮小量的概念。

若自變量x無限接近x0（或|x|無限增大）時(shí)，函數(shù)值f|x|無限增大，則稱f（x）為x→0（或x→∞）時(shí)的無窮大量。無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。無窮大量一定是無界量，無界量不一定是無窮大量。

無論多么大的常數(shù)都不是無窮大量。而大常數(shù)則為大數(shù)的典型例子。

對(duì)應(yīng)于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，大數(shù)可隨時(shí)間變化。許多大數(shù)可以拆分表示為大常數(shù)與變量的和。即：∝_t等于C_∝加f（t）。

（二）大數(shù)的層級(jí)

1.大數(shù)的層級(jí)

大數(shù)個(gè)體定義為一級(jí)大數(shù)，大數(shù)群體為二級(jí)大數(shù)，以及三級(jí)、四級(jí)……大數(shù)。各級(jí)大數(shù)用∝_一、∝_二、∝_三……表示。

2.大數(shù)內(nèi)部的層級(jí)

大數(shù)內(nèi)部也可以由許多大數(shù)組成，也構(gòu)成相應(yīng)的層級(jí)。各級(jí)大數(shù)用∝_內(nèi)一、∝_內(nèi)二、∝_內(nèi)三……表示。大數(shù)的層級(jí)是相對(duì)的層級(jí)，表現(xiàn)出數(shù)據(jù)間的相對(duì)層級(jí)關(guān)系。

三、大數(shù)運(yùn)算的原理

大數(shù)運(yùn)算，是指很大的數(shù)值的數(shù)進(jìn)行的一系列運(yùn)算。在數(shù)學(xué)中，數(shù)值的大小沒有上限，可是在計(jì)算機(jī)中，由于字長(zhǎng)限制，計(jì)算機(jī)所能夠表示的范圍有限，對(duì)于較小的數(shù)運(yùn)算時(shí)，這些數(shù)值沒超出計(jì)算機(jī)表示范圍，可以運(yùn)算。但在實(shí)際的應(yīng)用中，參與運(yùn)算的數(shù)會(huì)超過計(jì)算機(jī)的基本數(shù)據(jù)類型表示范圍。比如天文學(xué)上，某星球與我們100萬光年距離，如果將其化簡(jiǎn)為公里，或是米時(shí)將是一很大的數(shù)，因此計(jì)算機(jī)無法進(jìn)行直接計(jì)算。

在某些領(lǐng)域內(nèi)，甚至可以出現(xiàn)幾百萬位的數(shù)據(jù)運(yùn)算。在計(jì)算機(jī)中無法直接表示，大數(shù)運(yùn)算是通過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的線性表，將大數(shù)拆分后存儲(chǔ)其中。大數(shù)除法，可類比人類手算，添位比較取商，中間結(jié)果與除數(shù)相減所得到的差參與下一輪的運(yùn)算，直到結(jié)束。利用數(shù)組連續(xù)性，將大數(shù)每一位上數(shù)字單獨(dú)取出放人對(duì)應(yīng)數(shù)組格內(nèi)，然后再對(duì)每一位做單獨(dú)加減乘運(yùn)算。這類似于小學(xué)學(xué)習(xí)加減乘所列出的式子。

（一）大數(shù)加法

∝_如加∝₂等于∝₃。即：兩個(gè)或多個(gè)大數(shù)的和仍是一個(gè)大數(shù)。

（二）大數(shù)減法

兩個(gè)大數(shù)的差可以是一個(gè)大數(shù)，也可以不是一個(gè)大數(shù)。

（三）大數(shù)乘法

∝_乖乘∝_鏢等于∝₃。即：兩個(gè)或多個(gè)大數(shù)的積仍是一個(gè)大數(shù)。低級(jí)大數(shù)的積可以得到高一級(jí)大數(shù)。

（四）大數(shù)除法和大數(shù)倒數(shù)

大數(shù)除法：兩個(gè)大數(shù)的商可以是一個(gè)大數(shù)，也可以不是一個(gè)大數(shù)。可以定義大數(shù)倒數(shù)為“小數(shù)”，可以接近。。

（五）大數(shù)乘方開方

大數(shù)乘方開方可以是一個(gè)大數(shù)，也可以不是一個(gè)大數(shù)。

在高等數(shù)學(xué)中，規(guī)定：x為實(shí)數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，x除以0等于正無窮;當(dāng)x<0時(shí)，x除以0等于負(fù)無窮;當(dāng)x=0時(shí)，x÷0無意義。

+∞與實(shí)數(shù)加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算，結(jié)果永遠(yuǎn)是+∞;-∞與實(shí)數(shù)加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算，結(jié)果永遠(yuǎn)是-∞。（0乘以±∞無意義）

四、智能的層級(jí)和大數(shù)據(jù)的運(yùn)算

（一）大數(shù)群體的層級(jí)以及大數(shù)內(nèi)部的層級(jí)

尤其在與高度復(fù)雜化的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)時(shí)，則會(huì)伴隨著智能的產(chǎn)生。比如人腦智能的形成，以及社會(huì)人群對(duì)應(yīng)的群體智能。智能的層級(jí)和智能管理（輻射）層級(jí)，從人腦解剖知識(shí)可知，人腦處理的信息，從分子層面到組織層面，再到神經(jīng)系統(tǒng)層面。而管理則是現(xiàn)實(shí)世界在人腦中的映像管理，即人腦實(shí)現(xiàn)了對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的宏觀管理。

由此可見，人腦實(shí)現(xiàn)了微觀到宏觀的信息過渡和統(tǒng)一，這正是人腦智能的根源所在。

（二）大數(shù)據(jù)的運(yùn)算

大數(shù)據(jù)的運(yùn)算，尤其是互聯(lián)網(wǎng)大數(shù)據(jù)運(yùn)算，由此產(chǎn)生的“云計(jì)算”“云服務(wù)”。在現(xiàn)實(shí)社會(huì)和生活中的應(yīng)用越來越深入和廣泛。

五、大數(shù)理論

（一）大數(shù)定律

概率論史上的第一個(gè)極限定理，屬于伯努利，后人稱為“大數(shù)定律”。概率論中詞論，隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值，向隨機(jī)變量各數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值，收斂的定律。

大數(shù)定律有多個(gè)表現(xiàn)形式。高等數(shù)學(xué)中常用的三個(gè)重要定律：切比雪夫大數(shù)定理，伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律。

與“大數(shù)”相關(guān)的理論可以稱為“大數(shù)論”?！按髷?shù)論”包含了多方面的領(lǐng)域。

大數(shù)在趨向于無限的遞增過程中，以及對(duì)應(yīng)不同的實(shí)體特征，會(huì)產(chǎn)生不同的遞增效應(yīng)，由此提出四個(gè)大數(shù)原理——累計(jì)/累積原理、極限原理、層級(jí)原理、交叉原理。

（二）數(shù)字“大數(shù)”原理

1.累計(jì)原理

大數(shù)表現(xiàn)為統(tǒng)計(jì)L的累計(jì)結(jié)果，是某集合內(nèi)部元素累計(jì)結(jié)果，數(shù)量大小的度量。

2.極限原理

大數(shù)Qc的極限是無窮大m，“小數(shù)”的極限是。。

3.層級(jí)原理

層級(jí)原理對(duì)應(yīng)于大數(shù)的層級(jí)。

4.交叉原理

交叉原理對(duì)應(yīng)于大數(shù)加減法等運(yùn)算。

（三）大數(shù)對(duì)應(yīng)實(shí)體原理

1.大數(shù)理論的累積原理

大數(shù)理論的累積原理是：大數(shù)對(duì)應(yīng)的大量實(shí)體聚集或?qū)嶓w某項(xiàng)參數(shù)指標(biāo)超幅度變化等，由此產(chǎn)生的大量累積效應(yīng)。

哲學(xué)上講的量變引起質(zhì)變。而大數(shù)的量變是一種超量的變化，因此可以引起相應(yīng)實(shí)體的實(shí)質(zhì)性的、甚至是超常規(guī)的質(zhì)變?！靶?shù)”則對(duì)應(yīng)于實(shí)體的近乎無限分解，物質(zhì)世界的近乎無限分解必然使宏觀物質(zhì)世界進(jìn)入微觀物質(zhì)世界，量子效應(yīng)就顯現(xiàn)出來。

2.大數(shù)理論的極限原理

大數(shù)在某些實(shí)際效應(yīng)中，會(huì)有一個(gè)極值點(diǎn)，形成了該實(shí)體的極限特征。“小數(shù)”在某些實(shí)際效應(yīng)中，會(huì)有一個(gè)極值點(diǎn)，甚至可以成為極限0（該極限0往往是相對(duì)極限）。

（1）速度的上限是光速C，即30萬公里/秒;速度在宏觀上下限為0（宏觀相對(duì)速度）。

（2）溫度的上限是普朗克溫度，1.417乘以10³²K（宇宙大爆炸第一瞬間溫度）。下限是絕對(duì)零度OK（開爾文），即零下273.15攝氏度。

3.大數(shù)理論的層級(jí)原理

大數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)體內(nèi)部以及多個(gè)大數(shù)的組合，可以形成系統(tǒng)，并與一定的層級(jí)相對(duì)應(yīng)。尤其在與高度復(fù)雜化的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)時(shí)，則會(huì)伴隨著智能的產(chǎn)生。

（1）大數(shù)內(nèi)部的層級(jí)比如互聯(lián)網(wǎng)可以由區(qū)域網(wǎng)絡(luò)組成。

（2）大數(shù)群體的層級(jí)比如各星系系統(tǒng)構(gòu)成的總星系。

（3）復(fù)雜的人腦系統(tǒng)就產(chǎn)生了智能。

4.大數(shù)理論的交叉原理

兩個(gè)或多個(gè)大數(shù)的相互交叉會(huì)彼此增強(qiáng)或沖抵，即可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)，也可能產(chǎn)生一個(gè)小數(shù)。交叉原理可用大數(shù)加減法等來解釋。

（1）交叉原理產(chǎn)生小數(shù)的一個(gè)例子，人眼觀測(cè)太陽或月亮的大小。太陽或月亮的實(shí)際大小是大數(shù)，而兩者與地球的距離也是大數(shù)，兩者相互交叉，則是人眼觀測(cè)到的視覺大小。

（2）“大數(shù)”在RSA加密方面的應(yīng)用，RSA加密算法要用到足夠大的素?cái)?shù)，這樣加密才能得到保障。

上述四個(gè)大數(shù)原理及其實(shí)體例子，也就是探討了大數(shù)理論的一些實(shí)際應(yīng)用。宏觀宇宙的近乎無限以及微觀物質(zhì)的近乎無限可分，是大數(shù)普遍存在的物質(zhì)基礎(chǔ)和理論來源，現(xiàn)實(shí)世界以大數(shù)的模式存在、演化和發(fā)展。

六、“大數(shù)論”應(yīng)用發(fā)展前景

大數(shù)據(jù)的運(yùn)算，尤其是互聯(lián)網(wǎng)大數(shù)據(jù)運(yùn)算，由此產(chǎn)生的 “云計(jì)算”“云服務(wù)”，在現(xiàn)實(shí)社會(huì)和生活中的應(yīng)用越來越深入和廣泛。大數(shù)論在智能原理、極限分析、數(shù)據(jù)加密、信息統(tǒng)計(jì)分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，值得更為深入的研究和發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1][英]邁爾·舍恩伯格.大數(shù)據(jù)時(shí)代[M].杭州：浙江人民出版社，2013.

[2]主昌銳.大數(shù)論[M].臺(tái)北：徐氏基金會(huì)，1970.

[3]主金榮，陳勤，丁宏.大數(shù)模乘算法的分析與研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2004（24）.