彭 博

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 四川 成都 611756)

1 研究背景

裂隙與缺陷廣泛存在于巖土和水利工程當(dāng)中，與邊坡失穩(wěn)、壩體垮塌以及結(jié)構(gòu)的使用壽命息息相關(guān)[1-4]，尤其是在水利巖土工程中的深埋地下結(jié)構(gòu)，裂隙與軟弱夾層在高應(yīng)力作用下將成為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的關(guān)鍵因素[5-6]，因此，對(duì)于巖土及水利工程中的裂紋擴(kuò)展演化規(guī)律一直是學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)問題。

對(duì)于工程中的巖體來說，抗拉強(qiáng)度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于抗壓強(qiáng)度[7]，含裂紋的巖體在受拉情況下更容易導(dǎo)致災(zāi)難性的后果，因此研究裂紋在拉應(yīng)力下的裂紋擴(kuò)展演化規(guī)律顯得很有必要，針對(duì)于此，國內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了大量的室內(nèi)試驗(yàn)與數(shù)值模擬研究。試驗(yàn)方面：喻勇等[8]對(duì)彈性模量以及泊松比對(duì)巴西圓盤抗拉強(qiáng)度的影響進(jìn)行了室內(nèi)試驗(yàn)的分析；于慶磊等[9]對(duì)含中心穿透型裂紋的巴西圓盤進(jìn)行了室內(nèi)試驗(yàn)，研究了不同角度預(yù)制裂紋在軸壓下的裂紋擴(kuò)展演化規(guī)律；張緒濤等[10]利用改進(jìn)的拉伸試驗(yàn)裝置對(duì)砂巖、灰?guī)r和花崗巖的抗拉強(qiáng)度進(jìn)行了測定。數(shù)值模擬方面：魯國富等[11]對(duì)蒙皮材料試件進(jìn)行了雙軸拉伸數(shù)值模擬研究；黎坤運(yùn)等[12]利用擴(kuò)展有限元對(duì)含不同角度穿透型裂紋進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到了裂紋擴(kuò)展規(guī)律。然而上述研究僅僅針對(duì)二維裂紋或者三維穿透型裂紋，在實(shí)際情況中，裂隙往往以三維形態(tài)存在于巖體中，因此，對(duì)三維內(nèi)裂紋在軸拉情況下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律的研究意義重大。

本文利用Franc3D軟件，對(duì)于含不同角度預(yù)制內(nèi)裂紋的標(biāo)準(zhǔn)立方體試件進(jìn)行了單軸拉伸數(shù)值模擬研究，并將數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了模擬的合理性，同時(shí)給出了裂紋前緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律，為相應(yīng)的工程實(shí)際提供了一定的參考。

2 計(jì)算理論

2.1 M積分計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子

J積分可以表示為以下形式[13]：

(1)

式中：δij為克羅狄克符號(hào);q為賦值函數(shù);Γ為計(jì)算積分域。

應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ，KⅡ，KⅢ，與J積分的關(guān)系可以表示為以下形式：

(2)

式中：KⅠ、KⅡ、KⅢ分別為Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子；E為彈性模量；ν為泊松比。

應(yīng)力、應(yīng)變及位移關(guān)系可以表述為：

(3)

(4)

(5)

Ki=Ki(1)+Ki(2)

(6)

其中應(yīng)力、應(yīng)變以及位移上的(1)與(2)為兩種獨(dú)立的線彈性狀態(tài)，將公式(6)代入公式(2)，可得：

J=J(1)+J(2)+M(1,2)

(7)

其中：

(8)

(9)

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

(14)

因此利用M積分便可計(jì)算出3個(gè)應(yīng)力強(qiáng)度因子，本文所使用的Franc3D軟件正是利用這樣的原理，計(jì)算出裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子的分布，同時(shí)可以依據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子判斷出裂紋擴(kuò)展的方向。

2.2 最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則(MTS)

裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則采用最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則(MTS)，裂紋將沿著最大周向應(yīng)力σθmax方向進(jìn)行擴(kuò)展，而環(huán)向應(yīng)力可以表示為：

(15)

(16)

3 計(jì)算模型與計(jì)算參數(shù)

建立標(biāo)準(zhǔn)立方體模型，試樣設(shè)計(jì)圖與模型網(wǎng)格圖如圖1所示。其中試件尺寸為標(biāo)準(zhǔn)立方體試件尺寸，長×寬×高為50 mm×50 mm×100 mm，插入三維內(nèi)裂紋取文獻(xiàn)[11]室內(nèi)物理試驗(yàn)中的實(shí)際尺寸，即2a×2b=20 mm×10 mm的橢圓形三維內(nèi)裂紋，材料的彈性模量為E=17.92 GPa，泊松比μ=0.192，密度ρ=2.3 g/cm3。

計(jì)算邊界條件為：模型底部施加固定3個(gè)方向的位移約束，模型上部施加固定x與z方向的位移約束，同時(shí)y方向施加應(yīng)力邊界。

計(jì)算工況一共設(shè)定為5組工況，分別為預(yù)制裂紋與水平方向夾角α呈0°、15°、30°、45°、60°情況，由Franc3D軟件依據(jù)最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則計(jì)算出裂紋的擴(kuò)展。

圖1 計(jì)算模型圖

4 計(jì)算結(jié)果分析

4.1 不同工況下的裂紋擴(kuò)展

預(yù)制裂紋角度分別為0°、15°、30°、45°和60°工況下的裂紋擴(kuò)展過程數(shù)值模擬結(jié)果見圖2。

由圖2可見：當(dāng)預(yù)制裂紋角度為0°時(shí)，裂紋面承受拉應(yīng)力，此時(shí)裂紋尖端Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子最大，而Ⅱ、Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子幾乎為0(見4.2節(jié)應(yīng)力強(qiáng)度因子分析)，預(yù)制裂紋呈現(xiàn)自相似擴(kuò)展的規(guī)律，即裂紋沿著原來裂紋面進(jìn)行擴(kuò)展，最終裂紋貫穿裂紋面，試件破壞；當(dāng)預(yù)制裂紋角度為15°時(shí)，預(yù)制裂紋尖端裂紋呈現(xiàn)“翼裂紋”狀擴(kuò)展，即裂紋前緣的擴(kuò)展方向與原預(yù)制裂紋方向呈現(xiàn)一個(gè)較小的夾角。翼裂紋擴(kuò)展與原預(yù)制裂紋方向呈18°夾角，最終裂紋擴(kuò)展逐漸趨向于垂直最大主應(yīng)力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞；當(dāng)預(yù)制裂紋角度為30°時(shí)，預(yù)制裂紋擴(kuò)展形態(tài)與15°較為類似，即裂紋尖端呈現(xiàn)“翼裂紋”狀擴(kuò)展，而翼裂紋與原預(yù)制裂紋尖端呈現(xiàn)49°夾角，與預(yù)制裂紋角度為15°試件相比較大，最終裂紋擴(kuò)展逐漸趨向于垂直最大主應(yīng)力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞；當(dāng)預(yù)制裂紋角度為45°時(shí)，預(yù)制裂紋尖端仍然呈現(xiàn)“翼裂紋”狀擴(kuò)展，翼裂紋與原預(yù)制裂紋尖端呈現(xiàn)64°夾角，最終裂紋擴(kuò)展逐漸趨向于垂直最大主應(yīng)力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞；當(dāng)預(yù)制裂紋角度為60°時(shí)，翼裂紋與原預(yù)制裂紋方向角度更大，為80°，最終裂紋擴(kuò)展逐漸趨向于垂直最大主應(yīng)力方向，隨后裂紋貫穿試件表面，試件破壞。

4.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

為直觀描述裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨預(yù)制裂紋角度的變化規(guī)律，定義相對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子不同計(jì)算方案下的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度│Ki│/│Kmax│為相對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子，從而可以得到裂紋尖端的相對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋尖端相對(duì)位置的變化規(guī)律，預(yù)制裂紋的前緣相對(duì)位置定義為以裂紋右端為起點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周回到起點(diǎn)一周長定義為1，如圖3所示。

由圖3(a)可見，隨著預(yù)制裂紋與水平方向的角度增大，相對(duì)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子逐漸減小，可見預(yù)制裂紋角度越大，裂紋越難擴(kuò)展，同時(shí)對(duì)于預(yù)制裂紋從相對(duì)位置0到0.5的距離上，相對(duì)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子呈現(xiàn)先增大后減小的規(guī)律，可見預(yù)制裂紋短軸頂點(diǎn)上的相對(duì)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子較其他方向要大，因而試件最終破壞是以裂紋先貫穿試件前后表面，進(jìn)而使試件破壞。由圖3(b)可見，隨著預(yù)制裂紋角度的增大，相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子整體上先增大后減小，預(yù)制裂紋30°與預(yù)制裂紋60°的相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子幾乎一致。值得注意的是，預(yù)制裂紋角度為0°時(shí)相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為0，表明裂紋面處于純拉狀態(tài)，與數(shù)值模擬中裂紋沿原裂紋面擴(kuò)展的規(guī)律較為一致。對(duì)于同一種預(yù)制裂紋角度來說，預(yù)制裂紋的左端與右端(對(duì)應(yīng)的位置為0、0.5和1.0處)相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最大，而預(yù)制裂紋短軸處頂點(diǎn)(對(duì)應(yīng)的位置為0.25和0.75處)相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最小為0。

5 與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

為驗(yàn)證本文數(shù)值模擬的合理性，取李術(shù)才等[14]、張波等[15]和張敦福等[16]的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，不同裂紋角度的裂紋擴(kuò)展形態(tài)與本文的數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比見圖4～6。

圖2 不同角度預(yù)制裂紋試件裂紋擴(kuò)展過程

圖3 裂紋前緣相對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子

圖4 預(yù)制裂紋角度為0°裂紋形態(tài)對(duì)比

圖5 預(yù)制裂紋角度為30°裂紋形態(tài)對(duì)比

圖6 預(yù)制裂紋角度為45°裂紋形態(tài)對(duì)比

由圖4可見，對(duì)于預(yù)制裂紋角度為0°的情況，由于相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為0，裂紋面處于純拉狀態(tài)，則裂紋沿著原裂紋面呈自相似擴(kuò)展，數(shù)值模擬結(jié)果也驗(yàn)證了室內(nèi)試驗(yàn)的結(jié)論。

由圖5和6可見，由于Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的存在，使得裂紋的擴(kuò)展偏離原預(yù)制裂紋面，室內(nèi)試驗(yàn)的斷口呈現(xiàn)出明顯的翼裂紋擴(kuò)展，這與數(shù)值模擬的結(jié)果較為吻合。

6 結(jié) 論

本文利用Franc3D軟件，對(duì)含不同角度(0°、15°、30°、45°和60°)三維內(nèi)裂紋標(biāo)準(zhǔn)立方體試件單軸拉伸下的裂紋擴(kuò)展過程、擴(kuò)展形態(tài)以及應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，并將數(shù)值模擬結(jié)果與相關(guān)參考文獻(xiàn)中的室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，得出了以下結(jié)論:

(1)當(dāng)預(yù)制裂紋角度為0°時(shí)，預(yù)制裂紋呈現(xiàn)自相似擴(kuò)展，當(dāng)預(yù)制裂紋為其他角度時(shí)，預(yù)制裂紋尖端出現(xiàn)翼裂紋擴(kuò)展，預(yù)制裂紋角度為15°、30°、45°和60°時(shí)，翼裂紋分別與原預(yù)制裂紋角度呈18°、49°、64°與80°。

(2)隨著預(yù)制裂紋與水平方向的角度增大，相對(duì)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子逐漸減小，對(duì)于同一預(yù)制裂紋角度來說，預(yù)制裂紋短軸頂點(diǎn)上的相對(duì)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子較其他方向要大。

(3)隨著預(yù)制裂紋角度的增大，相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子整體上先增大后減小，對(duì)于同一種預(yù)制裂紋角度來說，預(yù)制裂紋的左端與右端(對(duì)應(yīng)于位置為0、0.5和1處)相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最大，而預(yù)制裂紋短軸處頂點(diǎn)(對(duì)應(yīng)位置為0.25和0.75處)相對(duì)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最小為0。

(4)將數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明了本文數(shù)值模擬的合理性。