試論超級(jí)球在受限空間的力學(xué)規(guī)律

王亞軍

摘 要：在超級(jí)球的運(yùn)動(dòng)過程中，會(huì)與碰撞物體形成機(jī)械能守恒體系。本文將對(duì)超級(jí)球在受限空間中的力學(xué)規(guī)律進(jìn)行研究，首先分析其運(yùn)動(dòng)碰撞過程，包括運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律和水平向速率關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，采用試驗(yàn)研究方法，利用光滑模板構(gòu)建受限空間，使用計(jì)算機(jī)軟件對(duì)其運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，分析其力學(xué)規(guī)律。

關(guān)鍵詞：超級(jí)球;受限空間;力學(xué)規(guī)律

0 前言

多數(shù)球類運(yùn)動(dòng)都是按一定角度出球，撞擊到堅(jiān)硬平面后彈回，其撞擊角度著球是否能夠返回到操作者手中。在球的運(yùn)動(dòng)和碰撞過程中，涉及到非線性動(dòng)力系統(tǒng)問題，目前相關(guān)研究較多，但多數(shù)屬于一維模擬分析，缺少二維受限空間的碰撞運(yùn)動(dòng)模型分析。有必要對(duì)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行深入分析，為乒乓球、網(wǎng)球等運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練提供更多的理論依據(jù)。

1 超級(jí)球的碰撞過程分析

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律

超級(jí)球是一種彈性優(yōu)良的固態(tài)橡膠球，與其他固體發(fā)生碰撞后，近似遵循系統(tǒng)機(jī)械守恒定律及角動(dòng)量定理。其中，機(jī)械能守恒系統(tǒng)是由超級(jí)球、碰撞物體以及地球共同組成的，在超級(jí)球與固體碰撞時(shí)，接觸面無滑動(dòng)，因此無摩擦生熱現(xiàn)象。同時(shí)，超級(jí)球碰撞中的形變恢復(fù)時(shí)間非常短，形變產(chǎn)生熱量也可忽略不計(jì)，所以近似遵循機(jī)械能守恒定律。在超級(jí)球與固體平面的碰撞過程中，受靜摩擦力矩作用，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)角加速度，碰撞后，超級(jí)球運(yùn)動(dòng)可以看作是質(zhì)心平動(dòng)與以一條直徑為軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)[1]。

1.2 水平向速率關(guān)系

采用地球參考系，設(shè)水平向右為x軸的正方向，設(shè)豎直向上為y軸的正方向，根據(jù)右手螺旋法則確定z軸方向。在超級(jí)球與水平放置的固體平板發(fā)生碰撞后，需要研究x軸方向的速率關(guān)系，為研究超級(jí)球在受限空間中的力學(xué)規(guī)律提供試驗(yàn)理論基礎(chǔ)。在其碰撞中，可采用過超級(jí)球與固體平板接觸點(diǎn)，且與Z軸平行直線作為超級(jí)球瞬時(shí)軸。研究超級(jí)球定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用質(zhì)心軸，為角動(dòng)量定理的使用提供方便[2]。

將超級(jí)球碰撞前后速度分別表示為v1和v2，碰撞前后速度與y軸所成銳角分別為θ1和θ2，碰撞前后的動(dòng)能分別為Ek1和Ek2。在熱能損耗忽略不計(jì)的情況下，有Ek1=Ek2，即1/2mv12=1/2mv22+1/2Jw2，1/2mv1x2+1/2mv1y2=1/2mv2x2+1/2mv2y2+1/2Jw2。由于超級(jí)球碰撞過程中y軸上的動(dòng)量近似守恒，因此有|v1y|=|v2y|，帶入后可以得到1/2mv1x2=1/2mv2x2+1/2Jw2，其中，質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=2/5mr2，則有v2x2=v1x2-2/5r2w2。超級(jí)球與板之間的碰撞壓力為N，摩擦力大小隨時(shí)間變化，記為fμ。根據(jù)角動(dòng)量定律，在一個(gè)函數(shù)區(qū)間T/2內(nèi)，超級(jí)球碰撞獲得的角速度為w=5μN(yùn)0T/（4πmr）。帶入到上述公式中可得出v2x2=v1x2-10μ2v12cosθ1。該公式可以作為試驗(yàn)觀測超級(jí)球碰撞運(yùn)動(dòng)水平速度的理論基礎(chǔ)。

2 超級(jí)球在受限空間中的力學(xué)規(guī)律研究

2.1 試驗(yàn)方法

在本次試驗(yàn)過程中，二維受限空間是由兩個(gè)成一定夾角的光滑木板組成的，其中一塊木板水平放置。超級(jí)球?yàn)楦邚椥韵禂?shù)高分子橡膠球，在其運(yùn)動(dòng)過程中，使用Epson錄像機(jī)進(jìn)行橫向拍攝，利用Tracker軟件確定超級(jí)球運(yùn)動(dòng)中的相對(duì)位置。在試驗(yàn)過程中，分別調(diào)整兩個(gè)光滑木板之間的夾角，將其設(shè)置為90°/80°/70°/60°/50°/40°/30°/20°/10°/0°，其中0°為兩個(gè)木板平行放置的情況。超級(jí)球的入射方向統(tǒng)一設(shè)置為與水平木板法線成45°角的方向，控制超級(jí)球初速度方向，讓其無旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，且每次僅在某xOy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

2.2 結(jié)論分析

采用上述試驗(yàn)方法，對(duì)超級(jí)球在量光滑木板間的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行研究，并采用上述速率關(guān)系公式，判斷結(jié)果的正確性。在采用錄像機(jī)記錄超級(jí)球運(yùn)動(dòng)過程后，利用軟件進(jìn)行處理，得到超級(jí)球在兩木板成不同夾角條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡。假設(shè)人的手臂活動(dòng)范圍為20cm×20cm，從結(jié)果來看，當(dāng)兩個(gè)光滑模板之間的夾角大于等于70°、小于等于90°時(shí)，超級(jí)球會(huì)與兩個(gè)木板各發(fā)生一次碰撞，然后按照近似于扇形的路徑返回操作者手中。當(dāng)兩個(gè)光滑模板之間的夾角為大于等于0°、小于等于60°時(shí)，超級(jí)球會(huì)與水平模板發(fā)生2次碰撞，與豎直木板發(fā)生1次碰撞。超級(jí)球的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作兩個(gè)左上角重合的雙V結(jié)構(gòu)。此時(shí)，只有當(dāng)兩個(gè)木板間的夾角為大于等于0°、小于等于30°時(shí)，超級(jí)球才能回到操作者手中。

在兩個(gè)木板間的夾角為大于等于40°、小于等于60°的情況下，超級(jí)球無法回到操作者手中。由此可以判斷出，超級(jí)球碰撞次數(shù)從2次變?yōu)?次的兩板夾角出現(xiàn)在60°～70°范圍內(nèi)。在試驗(yàn)過程中，超級(jí)球碰撞縱向位置會(huì)出現(xiàn)一定偏差，這主要時(shí)拍攝視覺誤差導(dǎo)致的。在兩木板的夾角為0°時(shí)，超級(jí)球與水平木板發(fā)生第一碰撞前后，橫向位移與時(shí)間變化曲線的斜率分別對(duì)應(yīng)著超級(jí)球碰撞前后x軸方向速率。其中，實(shí)測vx1為2.2401，實(shí)測vx2為1.3966，滿足理論計(jì)算公式vx2

3 結(jié)束語

綜上所述，超級(jí)球在二維受限空間內(nèi)，與兩個(gè)板的碰撞次數(shù)與板間夾角有關(guān)，進(jìn)而影響其運(yùn)動(dòng)路徑和能否回到操作者手中。根據(jù)本次試驗(yàn)研究，在兩板間夾角為0°～30°和70°～90°時(shí)，超級(jí)球均能回到操作者手中。利用水平向速率關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)算，該試驗(yàn)結(jié)果較為可靠，在超級(jí)球碰撞過程中，能夠滿足機(jī)械能守恒定律及角動(dòng)量定理。

參考文獻(xiàn)：

[1]王雪蓮，付淑芳，孟慶國.“超級(jí)球”在水平板上一次碰撞彈回現(xiàn)象的研究[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2017，30（06）：92-97.

[2]梁澤宇，吳秀文，申坤，郝會(huì)穎.超級(jí)球在受限空間的力學(xué)規(guī)律研究[J].物理與工程，2017，27（S1）：238-244.