田寶國，盧 翰，叢 凱

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺 264001)

1914年，英國工程師F.W.Lanchester提出Lanchester方程[1]，首次使用數(shù)學(xué)方法定量分析戰(zhàn)爭結(jié)果與作戰(zhàn)雙方兵力規(guī)模和火力強(qiáng)弱的關(guān)系。現(xiàn)在有許多學(xué)者針對該類方程的線性率和平方率進(jìn)行研究[2-4]，并針對不同情況對方程進(jìn)行補(bǔ)充與拓展[5-11]。但是，隨著武器裝備和戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)法的更新，戰(zhàn)場的環(huán)境也更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的Lanchester作戰(zhàn)模型已經(jīng)不適用于現(xiàn)代戰(zhàn)爭。于是人們在之前研究的基礎(chǔ)上提出空間Lanchetser作戰(zhàn)模型?？紤]到在實(shí)際作戰(zhàn)中部隊(duì)在空間中的移動和部隊(duì)間的相互作用，Protopoprecu等[12-13]提出空間Lanchester偏微分方程模型，同時Cosner等[14]采用具有非線性相互作用的拋物線微分方程對該模型進(jìn)行理論分析?？紤]到具體的空間情況，Spradlin等[15]將Lanchester方程的直接瞄準(zhǔn)和間接瞄準(zhǔn)進(jìn)行拓展研究，并提出三維時空Lanchetser作戰(zhàn)模型。對于三方作戰(zhàn)的研究目前處于起步階段[16]，只是根據(jù)傳統(tǒng)Lanchester作戰(zhàn)模型拓展到三方作戰(zhàn)階段，并沒有考慮到空間因素對三方作戰(zhàn)結(jié)果的影響。同時，在當(dāng)今世界出現(xiàn)三方作戰(zhàn)的情況比如波斯尼亞內(nèi)戰(zhàn)、伊拉克內(nèi)戰(zhàn)和敘利亞動亂[17]，基本上都是在比較復(fù)雜的山地與城市中，此時部隊(duì)移動模式將對作戰(zhàn)結(jié)果造成影響。本文對三方作戰(zhàn)中部隊(duì)移動模式進(jìn)行分類分析并對其時空動力學(xué)進(jìn)行研究。

1 短距移動模式

1.1 短距移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型

建立一個規(guī)模為M×N的平面二維網(wǎng)格，采取周期邊界條件，在網(wǎng)格中存在A,B,C三方兵力，分別用紅，黃，藍(lán)三種顏色表示，在每一個網(wǎng)格中只能存在一種兵力，空格φ表示此處沒有任何一方的兵力，用灰色表示。A,B,C三方和空格φ之間的關(guān)系如下所示：

(1)

(2)

其中，式(1)中μ為交戰(zhàn)率，表示兩個存在不同方兵力的網(wǎng)格間的發(fā)生交戰(zhàn)并且一方占領(lǐng)另一方的網(wǎng)格的概率，體現(xiàn)了交戰(zhàn)方的作戰(zhàn)與支援能力。在實(shí)際作戰(zhàn)中指不同部隊(duì)間發(fā)現(xiàn)并交火的可能性。式(2)中σ為轉(zhuǎn)移率，表示存在兵力的網(wǎng)格向空網(wǎng)格的轉(zhuǎn)移概率，體現(xiàn)了交戰(zhàn)方的個體流動性。在實(shí)際作戰(zhàn)中指部隊(duì)在區(qū)域中移動的概率。

采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法，具體步驟如下：

步驟1：在整個網(wǎng)格中隨機(jī)選擇一個存在兵力的網(wǎng)格；

步驟2：判別已經(jīng)選擇的網(wǎng)格的上下左右四個方向的網(wǎng)格狀態(tài)；

步驟3：隨機(jī)選擇一個方向的網(wǎng)格，按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；

步驟4：重復(fù)步驟1直至仿真結(jié)束。

圖1 在交戰(zhàn)率為μ時A與B的交戰(zhàn)反應(yīng)

圖2 在轉(zhuǎn)移率為σ時A與φ的交換反應(yīng)

圖3 交戰(zhàn)反應(yīng)與交換反應(yīng)

1.2 交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

設(shè)定網(wǎng)格兵力的初始分布為均勻分布M=100，N=100，A,B,C三方和空格φ的比例大約為1∶1∶1∶1，交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ為可調(diào)參量，通過調(diào)整交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ，觀察斑圖的動態(tài)演化情況和各方的戰(zhàn)斗、擴(kuò)散情況，并記錄在 15 000代時三方兵力的具體情況。

由于三方作戰(zhàn)與傳統(tǒng)作戰(zhàn)有一定的不同，在作戰(zhàn)結(jié)果方面會出現(xiàn)以下情況：(1)三方穩(wěn)定共存，即在一定的時間內(nèi)作戰(zhàn)三方都無法被消滅。(2)兩方相對穩(wěn)定共存，即在一定的時間內(nèi)剩余兩方但兩方的剩余兵力不等。(3)兩方穩(wěn)定共存，即在一定的時間內(nèi)剩余兩方且兩方剩余兵力相等。(4)僅存在一方。其中兩方相對穩(wěn)定共存會隨著仿真的繼續(xù)會轉(zhuǎn)化為兩方共存且兵力相等情況或者僅存一方情況。

通過50次仿真模擬得到數(shù)據(jù)取均值后得出短距移動模式下交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線為圖4所示，由圖可知在交戰(zhàn)率μ≤1且轉(zhuǎn)移率σ≥9時三方共存，由于此時交戰(zhàn)率較低且轉(zhuǎn)移率較高，使得部隊(duì)更加趨于不同網(wǎng)格間的流動而不是不同兵力間的作戰(zhàn)，故在 15 000代時三方共存。

圖5為當(dāng)μ=0.5，σ=9.5時三方兵力的密度時間曲線。從圖中可以看出，隨著時間的推移，三方的兵力出現(xiàn)此消彼長，交替性增長和衰減的情況，彼此間相互抗衡，說明此時三方形成了穩(wěn)定共存狀態(tài)。

圖4 短距移動模式交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

圖5 短距移動模式μ=0.5，σ=9.5密度時間曲線

圖6為當(dāng)μ=3，σ=7時三方兵力的密度時間曲線。從圖中可以看出，隨著時間的推移，在8 000代時一方已經(jīng)被完全消滅，此時只剩余兩方，再經(jīng)過時間的推移，剩余兩方的兵力出現(xiàn)交替性增長和衰減情況彼此間相互抗衡，說明此時為剩余兩方且穩(wěn)定共存的狀態(tài)。

圖6 短距移動模式μ=3，σ=7密度時間曲線

圖7為當(dāng)μ=4，σ=4時三方兵力的密度時間曲線。從圖中可以看出，隨著時間的推移，在 14 000代時一方已經(jīng)被完全消滅，此時只剩余兩方但兩方的兵力不相等，再經(jīng)過時間的推移到仿真結(jié)束前，剩余兩方的兵力出現(xiàn)交替性增長和衰減情況彼此間保持相對平衡的狀態(tài)，此時為剩余兩方且相對穩(wěn)定的狀態(tài)，對處于該狀態(tài)的兩方進(jìn)行繼續(xù)仿真得到兩種狀態(tài)一種問為剩余兩方且穩(wěn)定共存狀態(tài)另一種為剩余一方狀態(tài)。

圖7 短距移動模式μ=4，σ=4密度時間曲線

圖8為當(dāng)μ=7，σ=3三方兵力的密度時間曲線。從圖中可以看出，隨著時間的推移，在7 500代時一方已經(jīng)被完全消滅，此時只剩余兩方但兩方的兵力不相等，在13 500代時另一方也被完全消滅，此時只剩余一方直到仿真結(jié)束。

圖8 短距移動模式μ=7，σ=3密度時間曲線

1.3 交戰(zhàn)率μ對穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)短距移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究交戰(zhàn)率μ對穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=11和交戰(zhàn)率μ=1.5轉(zhuǎn)移率σ=11兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在13 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，13 000代和13 100代上述兩種情況的斑圖如圖9。

圖9 轉(zhuǎn)移率σ=11的斑圖

通過觀察圖9，當(dāng)交戰(zhàn)率μ=0.5時，穩(wěn)定斑圖中各個兵力分布較為分散，零散的斑塊較多但不集中，說明此時系統(tǒng)的自組織性較弱，而當(dāng)交戰(zhàn)率μ=1.5時，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個較大的斑塊，零散的斑塊較少，說明此時系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，交戰(zhàn)率越大斑圖的斑塊越趨于集中，系統(tǒng)的自組織性越強(qiáng)。

1.4 轉(zhuǎn)移率σ對穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)短距移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究轉(zhuǎn)移率σ對穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=8和交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=11兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在13000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取13 000代和13 100代上述兩種情況的斑圖如圖9、圖10。

圖10 交戰(zhàn)率μ=1時的.斑圖

通過觀察圖10，當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=8時，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個較大的斑塊，零散的斑塊較少，說明此時系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。而當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=11時，穩(wěn)定斑圖中各個兵力分布較為分散，零散的斑塊較多基本上沒有形成穩(wěn)定的大斑塊，說明此時系統(tǒng)的自組織性較弱。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，轉(zhuǎn)移率越大斑圖的斑塊越趨于分散，斑塊間流動性越強(qiáng)，系統(tǒng)的自組織性越弱。

2 長距移動模式

2.1 Levy飛行

Levy飛行描述了由許多小步長和少量大步長組成的移動模式[19]，在生物的搜索捕食行為中較為顯著。已有研究發(fā)現(xiàn)在海洋中的一些捕食者在大范圍搜捕食物過程中和野外蜜蜂回巢的過程甚至果蠅、麋鹿和信天翁等運(yùn)動都存在Levy飛行方式[20，22]。Levy飛行是一種垂尾分布在大范圍空間的搜索捕食中，Levy飛行是一種比布朗運(yùn)動更有效的搜索策略。在作戰(zhàn)中，使用Levy飛行策略對敵方目標(biāo)進(jìn)行搜索和攻擊可以縮短搜索進(jìn)程提高搜索效率。

Levy飛行的運(yùn)動距離的概率密度為冪率分布即：

L(s)=C·s-h(1

(3)

式中，s為Levy飛行步長，s∈[s0,smax]，s0為最小步長，smax為最大步長，C=(1-h)·s1-h，h為冪指數(shù)，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)h≈2時，為Levy飛行最優(yōu)策略。

本文使用Mantegna算法[22]生成Levy飛行步長，如下所示：

(4)

式中U、V滿足正態(tài)分布：

(5)

標(biāo)準(zhǔn)差σU、σV滿足下式：

(6)

式中，Γ(z)為gamma函數(shù)。

圖11為Levy飛行的飛行軌跡。

圖11 Levy飛行軌跡

2.2 長距移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型

采用與第一章相同的M×N平面網(wǎng)格，A,B,C三方和空格φ之間的相互作用與式(1)式(2)相同，采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法，具體步驟如下：

步驟1：在整個網(wǎng)格中隨機(jī)選擇一個存在兵力的網(wǎng)格；

步驟2：使用蒙特卡洛方法確定下一個網(wǎng)格處于現(xiàn)在網(wǎng)格的方向；按照式(4)計(jì)算Levy飛行步長；

步驟3：根據(jù)計(jì)算的方向和步長確定網(wǎng)格與步驟1確定的網(wǎng)格，按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；

步驟4：重復(fù)步驟1直至仿真結(jié)束。

取網(wǎng)格兵力的初始分布為均勻分布M=100，N=100，A,B,C三方和空格φ的比例大約為1∶1∶1∶1，Levy飛行參數(shù)β=2,s0=2,smax=20。交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ為可調(diào)參量，通過調(diào)整交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ，觀察斑圖的動態(tài)演化情況和各方的戰(zhàn)斗、擴(kuò)散情況，并記錄在15 000代時三方兵力的具體情況。

通過50次仿真模擬得到數(shù)據(jù)取均值后得出短距移動模式下交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線為圖12所示，通過觀察并與圖4作對比發(fā)現(xiàn)，長距移動模式下各個狀態(tài)的臨界曲線與短距模式下有較大不同，在相同交戰(zhàn)率情況下長距移動模式三方穩(wěn)定共存的情況相對于短距移動模式轉(zhuǎn)移率較低，同時長距移動模式下出現(xiàn)兩方相對穩(wěn)定共存的情況的在圖中所占面積與短距相比較小。與短距移動模式相比，在長距移動模式下，兩方穩(wěn)定共存狀態(tài)的所占面積較大。由于Levy飛行使得系統(tǒng)中斑塊間的流動性增大，故相對減少了系統(tǒng)的自組織性，為了保持和原系統(tǒng)相似的狀態(tài)，需在同等條件下增大交戰(zhàn)率或者減少轉(zhuǎn)移率以增大系統(tǒng)的自組織性或減少斑塊間的流動性。

圖12 長距移動模式交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

圖13為當(dāng)μ=0.5，σ=8時三方兵力的密度時間曲線，隨著時間的推移，三方的兵力出現(xiàn)此消彼長情況，彼此間相互抗衡，說明此時三方形成了穩(wěn)定共存狀態(tài)。圖14為當(dāng)μ=3，σ=6時三方兵力的密度時間曲線。從圖中可以看出，隨著時間的推移，在1 000代時一方已經(jīng)被完全消滅，此時只剩余兩方，之后剩余兩方的兵力彼此間相互抗衡，說明此時為剩余兩方且穩(wěn)定共存的狀態(tài)。

圖13 長距移動模式μ=0.5，σ=8密度時間曲線

圖15為當(dāng)μ=5，σ=5時三方兵力的密度時間曲線，隨著時間的推移，在2 000代時一方已經(jīng)被完全消滅，此時只剩余兩方但兩方的兵力不相等，再經(jīng)過時間的推移到仿真結(jié)束前，剩余兩方的兵力出現(xiàn)交替性增長和衰減情況彼此間保持相對平衡的狀態(tài)，此時為剩余兩方且相對穩(wěn)定的狀態(tài)，對處于該狀態(tài)的兩方進(jìn)行繼續(xù)仿真得到兩種狀態(tài)一種為剩余兩方且穩(wěn)定共存狀態(tài)另一種為剩余一方狀態(tài)。

圖14 長距移動模式μ=3，σ=6密度時間曲線

圖16為當(dāng)μ=6，σ=3三方兵力的密度時間曲線，隨著時間的推移，在2 000代時一方已經(jīng)被完全消滅，此時只剩余兩方但兩方的兵力不相等，在15 000代時另一方也被完全消滅，此時只剩余一方直到仿真結(jié)束。

圖15 長距移動模式μ=5，σ=5密度時間曲線

圖16 長距移動模式μ=6，σ=3密度時間曲線

2.3 交戰(zhàn)率μ對穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)長距移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究交戰(zhàn)率μ對穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=10和交戰(zhàn)率μ=3轉(zhuǎn)移率σ=10兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在10 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取10 000代和10 100代上述兩種情況的斑圖如圖17。

圖17 轉(zhuǎn)移率σ=10的斑圖

通過觀察圖17，在第10 000代時斑圖中有一些較大的斑塊中存在一些較小的斑塊，而在10 100代時這些小的斑塊將大斑塊侵蝕消滅，這是由于Levy飛行增加了不同網(wǎng)格間兵力的流動，使得在短距狀態(tài)下無法發(fā)生的交戰(zhàn)在長距狀態(tài)下便可以發(fā)生，故大斑塊會被小斑塊消滅。當(dāng)交戰(zhàn)率μ=1時，穩(wěn)定斑圖中各個兵力分布較為分散，零散的斑塊較多且不集中，說明此時系統(tǒng)的自組織性較弱，而當(dāng)交戰(zhàn)率μ=3時，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個較大的斑塊，零散的斑塊較少，說明此時系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，交戰(zhàn)率越大斑圖的斑塊越趨于集中，系統(tǒng)的自組織性越強(qiáng)。

2.4 轉(zhuǎn)移率σ對穩(wěn)定斑圖的影響

據(jù)短距移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究轉(zhuǎn)移率σ對穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=7和交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=10兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在10 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取10 000代和10 100代上述兩種情況的斑圖如圖18。

圖18 交戰(zhàn)率μ=0.5時的斑圖

通過觀察圖18，當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=10時，穩(wěn)定斑圖中各個兵力分布較為分散，零散的斑塊較多基本上沒有形成穩(wěn)定的大斑塊，說明此時系統(tǒng)的自組織性較弱。而當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=7時，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個較大的斑塊，說明此時網(wǎng)格間部隊(duì)流動減少系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，轉(zhuǎn)移率越大斑圖的斑塊越趨于分散，網(wǎng)格間部隊(duì)流動性越強(qiáng)，系統(tǒng)的自組織性越弱。

3 混合移動模式

3.1 混合移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型

采用與第一章相同的平面網(wǎng)格，三方和空格之間的相互作用與式(1)式(2)相同，部隊(duì)的移動模式不僅僅為短距或者Levy飛行，先采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法確定網(wǎng)格的具體移動模式，在進(jìn)行斑塊間的反應(yīng)，具體步驟如下：

步驟1：在整個網(wǎng)格中隨機(jī)選擇一個存在兵力的網(wǎng)格；

步驟2：采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法確定網(wǎng)格的具體的移動模式；

步驟3：若移動模式為Levy飛行模式，使用蒙特卡洛方法確定下一個網(wǎng)格處于現(xiàn)在網(wǎng)格的方向；按照式(4)計(jì)算Levy飛行步長；若移動模式為短距移動模式則判別已經(jīng)選擇的網(wǎng)格的上下左右四個方向的網(wǎng)格狀態(tài)；

步驟4：若移動模式Levy飛行模式為根據(jù)計(jì)算的方向和步長確定網(wǎng)格與步驟1確定的網(wǎng)格按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；若移動模式為短距移動模式則隨機(jī)選擇一個方向的網(wǎng)格按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；

步驟5：重復(fù)步驟1直至仿真結(jié)束。

3.2 交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

取網(wǎng)格兵力的初始分布為均勻分布，三方和空格的比例大約為，Levy飛行參數(shù)。短距移動模式選擇概率為交戰(zhàn)率和轉(zhuǎn)移率為可調(diào)參量，通過調(diào)整交戰(zhàn)率和轉(zhuǎn)移率，觀察斑圖的動態(tài)演化情況和各方的戰(zhàn)斗、擴(kuò)散情況，并記錄在15 000代時三方兵力的具體情況。

通過50次仿真模擬得到數(shù)據(jù)取均值后得出短距移動模式下交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線為圖19所示，通過觀察并與圖4、圖12作對比發(fā)現(xiàn)，在混合移動移動模式下各個狀態(tài)的臨界曲線與短距和長距模式下有較大不同，在相同交戰(zhàn)率情況下混合移動模式三方穩(wěn)定共存的情況相對于短距移動模式轉(zhuǎn)移率較低而基本上與長距移動模式相同，混合移動模式下出現(xiàn)兩方相對穩(wěn)定共存的情況的在圖中所占面積與其他兩種移動模式相比較小，而兩方穩(wěn)定共存狀態(tài)的所占面積較大。由于Levy飛行使得系統(tǒng)中斑塊間的流動性增大，故相對減少了系統(tǒng)的自組織性，但由于混合移動模式下網(wǎng)格間的移動為Levy飛行模式和短距模式共同作用，使得系統(tǒng)的自組織性減少的同時，通過這種混合移動模式使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到增加，故穩(wěn)定共存的面積得到了增加。

圖19 混合移動模式交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

3.3 交戰(zhàn)率μ對穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)混合移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究交戰(zhàn)率μ對穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=9和交戰(zhàn)率μ=1.5轉(zhuǎn)移率σ=9兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在12 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取12 000代和12 100代上述兩種情況的斑圖如圖20。

圖20 轉(zhuǎn)移率σ=9時的斑圖

通過觀察圖20，當(dāng)交戰(zhàn)率μ=0.5時，斑圖中各個兵力較為分散，但也有少量的同種兵力聚集的斑塊，并且12 000代和12 100代的斑圖差別較大，說明此時系統(tǒng)的自組織性較差不同網(wǎng)格間兵力的流動性較強(qiáng)。當(dāng)交戰(zhàn)率μ=1.5時，在 12 000代時斑圖中出現(xiàn)了較大的同種兵力聚集的斑塊，在這些斑塊附近也分散著一些零散的斑塊，在12 100代時斑圖中一些斑塊被消滅分散但也出現(xiàn)了一些新的同種兵力聚集的較大斑塊，說明此時系統(tǒng)有一定的自組織性并且不同網(wǎng)格間兵力的流動性也較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，交戰(zhàn)率越大斑圖的斑塊越趨于集中，系統(tǒng)的自組織性越強(qiáng)。

3.4 轉(zhuǎn)移率σ對穩(wěn)定斑圖的影響

據(jù)混合移動模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究轉(zhuǎn)移率μ對穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=8和交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=11兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在12 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取12 000代和12 100代上述兩種情況的斑圖如圖21。

圖21 交戰(zhàn)率μ=1時的斑圖

通過觀察圖21，當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=11時，斑圖中各個兵力較為分散并且12 000代和12 100代的斑圖差別較大，說明此時系統(tǒng)的自組織性較差不同網(wǎng)格間兵力的流動性較強(qiáng)。當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=8時，在12 000代時斑圖中出現(xiàn)了較大的同種兵力聚集的斑塊，在這些斑塊附近也分散著一些零散的斑塊，在12 100代時斑圖中一些斑塊被消滅分散但也出現(xiàn)了一些新的同種兵力聚集的較大斑塊，說明此時系統(tǒng)有一定的自組織性并且不同網(wǎng)格間兵力的流動性也較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，轉(zhuǎn)移越大斑圖的斑塊越趨于分散，網(wǎng)格間不同兵力的流動性越強(qiáng)。

3.5 短距移動模式與長距移動模式最佳部隊(duì)比值

由3.2節(jié)可知，Ps為在實(shí)際仿真中選擇短距移動模式的概率，即移動模式為短距移動模式部隊(duì)在整個部隊(duì)中所占比值。部隊(duì)參加作戰(zhàn)最終的目的應(yīng)為消滅敵人，保存自己，所以應(yīng)選擇三方作戰(zhàn)最終只剩一方的情況進(jìn)行分析。在三方兵力中選擇A方使用混合移動模式其兵力用紅色表示，其余兩方兵力用黃色和藍(lán)色表示，空格φ用灰色表示三方的兵力比為A,B,C三方和空格φ的比例大約為1∶1∶1∶1，Levy飛行參數(shù)β=2,s0=2,smax=20，μ=5，σ=1，ps為可調(diào)變量。分三種情況，其余兩方皆為短距移動模式，其余兩方皆為長距移動模式和一方為短距移動模式一方為長距移動模式。調(diào)節(jié)ps，并在每一個值進(jìn)行100次仿真A方獲勝次數(shù)繪制曲線圖如圖22～圖24所示。

圖22 其余方為短距移動模式A方獲勝次數(shù)曲線

圖23 其余方為長距移動模式A方獲勝次數(shù)曲線

圖24 其余方一方為長距移動模式一方為短距移動模式A方獲勝次數(shù)曲線

通過圖22～圖24可知當(dāng)ps=0.8時即短距移動模式和長距移動模式部隊(duì)的比值為4∶1時，紅方獲勝次數(shù)最多，同時可知，當(dāng)A方僅有短距移動模式時，部隊(duì)的獲勝次數(shù)最少，而增加了長距移動模式的兵力后獲勝次數(shù)增加，當(dāng)短距移動模式和長距移動模式部隊(duì)的比值小于1∶1時，部隊(duì)的獲勝次數(shù)開始下降。由于Levy飛行增加了部隊(duì)的自由度和攻擊半徑，使得其在對抗中可以攻擊到短距移動模式下無法攻擊的部隊(duì)，同時當(dāng)長距移動模式比值過大時由于增加了部隊(duì)的自由度使得部隊(duì)不易聚集在一起反而會使得部隊(duì)容易被攻擊故在不斷增加長程移動模式兵力后會使得部隊(duì)的獲勝次數(shù)下降。

4 結(jié)論

1) 本文提出了交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ為影響作戰(zhàn)過程的變量，通過仿真得到在不同模型下的交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線，確定了不同穩(wěn)定狀態(tài)下交戰(zhàn)率和轉(zhuǎn)移率的取值范圍。

2) 交戰(zhàn)率的增大會增強(qiáng)系統(tǒng)的同種兵力間聚合能力，使斑塊增大，增強(qiáng)系統(tǒng)的自組織性。轉(zhuǎn)移率的增加會加速不同網(wǎng)格間兵力的移動，加速系統(tǒng)的流動性。

3) 加入Levy飛行移動模式后，系統(tǒng)的流動性得到加強(qiáng)，同一種狀態(tài)的臨界曲線上的交戰(zhàn)率取值增大，轉(zhuǎn)移率取值減少。

4) 混合移動模式下短距移動模式部隊(duì)和長距移動模式部隊(duì)的最佳比值為4∶1。