（西安科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，西安 710054）

0 引言

行星輪系工作可靠，傳動效率高，適用范圍廣，要保持平穩(wěn)的齒輪嚙合傳動過程，有必要對齒輪進行強度分析。嚙合是一種典型的接觸問題。在若干假設(shè)前提下，傳統(tǒng)的齒輪的接觸強度計算不能準(zhǔn)確反映嚙合過程中的應(yīng)力以及應(yīng)變分布與變化。而齒輪在實際傳動過程中兩齒面的接觸區(qū)域是不斷發(fā)生變化的，采用有限元分析方法則可以準(zhǔn)確、快速計算，直觀方便的查看計算的接觸應(yīng)力分布等優(yōu)點。

本文運用ABAQUS軟件，基于經(jīng)典赫茲接觸理論，分別采用準(zhǔn)靜態(tài)分析方法與顯示動力分析模擬行星齒輪傳動中輪齒嚙合情況，研究輪齒接觸應(yīng)力與齒根應(yīng)力分布規(guī)律，對比兩種方法與理論分析，可以為行星輪系設(shè)計提供更為可靠的設(shè)計保證。

1 傳統(tǒng)理論應(yīng)力分析

齒輪的失效形式主要是齒面損傷和輪齒折斷。工作時，各個輪齒表面接觸應(yīng)力是按脈動循環(huán)變化的，若齒面最大接觸應(yīng)力大于材料的接觸應(yīng)力極限，則在多次重復(fù)載荷作用下，齒輪表面會逐漸產(chǎn)生細小的裂紋，裂紋慢慢擴展，甚至?xí)纬善邳c蝕，對傳動的穩(wěn)定性有很大的影響，伴隨著產(chǎn)生振動和噪聲，影響齒輪的正常工作，甚至?xí)瘕X輪的破壞。另外，在行星齒輪傳動中，當(dāng)輪齒受到載荷的反復(fù)作用，齒根彎曲應(yīng)力大于材料的彎曲應(yīng)力極限時，齒根部分將產(chǎn)生疲勞裂紋，隨著裂紋不斷擴展，最終輪齒產(chǎn)生疲勞折斷?；谶@兩種失效形式，故對齒輪的接觸強度與齒根彎曲疲勞強度進行強度校核。

1.1 齒輪接觸應(yīng)力計算

兩物體相互接觸時，在接觸區(qū)域附近會產(chǎn)生局部應(yīng)力和局部變形，稱為接觸應(yīng)力和接觸變形，本文采用經(jīng)典赫茲接觸理論來進行齒輪的接觸應(yīng)力的計算，齒輪嚙合時，可將齒廓嚙合點的曲率半徑視為接觸圓柱體的半徑，齒輪節(jié)點處一般只有一對齒嚙合，節(jié)線附近的齒根表面往往先出現(xiàn)點蝕。因此接觸疲勞強度計算通常以節(jié)點為計算點，可得接觸應(yīng)力公式：

其中由機械手冊中可查出：

K為載荷系數(shù)；

ZE為彈性系數(shù)；

ZH為節(jié)點區(qū)域系數(shù)；

Zε為重合度系數(shù)；

d1為小齒輪的分度圓直徑；

u為大小齒輪齒數(shù)之比；

T1為主動輪的扭矩。

許用接觸應(yīng)力：

式中：σHlim為失效概率為1%時，試驗齒輪的接觸疲勞極限；

SHmin為接觸強度的最小安全系數(shù)；

ZN為接觸疲勞強度極限，均可由機械設(shè)計手冊查出。

1.2 齒根彎曲疲勞強度計算

由于輪緣剛度很大，故將輪齒視為是具有一定寬度的懸臂梁。理論上載荷應(yīng)由同時嚙合的多對齒分擔(dān)，為簡化計算，通常假設(shè)載荷只作用于只有一對齒嚙合時的齒頂進行分析，并采用重合度系數(shù)予以修正。在載荷長期作用下，輪齒齒根受拉一側(cè)先產(chǎn)生疲勞裂紋，故齒根彎曲疲勞強度以受拉側(cè)為計算依據(jù)。齒根彎曲強度校核公式：

單向受載時，許用彎曲應(yīng)力公式：

將中心輪、行星輪、內(nèi)齒輪的各個相應(yīng)參數(shù)代入式(1)～式(4)計算可得各齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力。

2 有限元分析模型構(gòu)建

太陽輪與行星齒輪的接觸和行星齒輪與內(nèi)齒輪的接觸都存在相對運動的摩擦力，由于摩擦力相對正壓力很小，所以在分析過程中設(shè)定摩擦系數(shù)。在有限元分析中，接觸過程通常依賴于時間，且在接觸界面上運動學(xué)和動力學(xué)的狀態(tài)是事前未知的。本文主要是利用ABAQUS對行星齒輪傳動機構(gòu)進行齒輪嚙合的接觸分析，查看傳動過程中齒面接觸應(yīng)力。

2.1 Abaqus有限元分析前處理

齒輪有限元分析屬于結(jié)構(gòu)分析，初始狀態(tài)下模型的響應(yīng)由線彈性模型確定，材料定義為各向同性，并通過輸入彈性模量、泊松比、和質(zhì)量密度三個物理量來完成材料屬性定義。本文中心輪和行星輪均采用20CrMnTi，齒面硬度58～62HRC，滲碳淬火，加工精度6級。內(nèi)齒圈均采用42CrMo，加工精度7級。材料屬性如表1所示。

表1 材料屬性表

網(wǎng)格劃分是否合理影響分析結(jié)果精度，網(wǎng)格過疏結(jié)果誤差較大，網(wǎng)格過密計算機工作量較大耗時長。由于行星輪結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，本文簡化模型分析單齒的嚙合，在劃分網(wǎng)格時采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和局部網(wǎng)格細化技術(shù)，在接觸面附近設(shè)置較密種子，既減少網(wǎng)格數(shù)量又減小了分析誤差劃分。網(wǎng)格單元類型為C3D8R，單元個數(shù)為，網(wǎng)格劃分模型如下圖所示。

根據(jù)行星輪傳動機構(gòu)的實際工況進行邊界條件設(shè)置，約束內(nèi)齒輪所有自由度，釋放太陽輪繞軸線的旋轉(zhuǎn)自由度，約束其他自由度，行星輪既可以繞其軸線旋轉(zhuǎn)，又可以繞太陽輪旋轉(zhuǎn)，因此釋放切向位移和周向旋轉(zhuǎn)位移。

2.2 準(zhǔn)靜態(tài)接觸分析

ABAQUS/Standard采用Newton-Raphson算法求解非線性問題的，把分析過程劃分為一系列的載荷增量步，在每個增量步內(nèi)進行多次迭代，得到合理的解釋后再求解下一個增量步，所有增量響應(yīng)的總和就是非線性分析的近似解。

在齒輪接觸分析前處理過程中，建立在接觸關(guān)系初期直接施加力載荷，往往會導(dǎo)致分析計算不收斂，因此通過設(shè)置多個非線性靜態(tài)通用步模擬行星輪系的動態(tài)分析，首先使用位移邊界條件建立平穩(wěn)接觸，然后施加力載荷。

準(zhǔn)靜態(tài)模擬齒輪嚙合傳動仿真分析結(jié)果如下圖所示，從分析云圖中可以清楚地看到齒輪入嚙到脫嚙時接觸應(yīng)力大小位置與變化情況。隨著齒輪副的進一步嚙合，齒輪副在嚙合點和齒根位置的應(yīng)力較大，且太陽輪和行星輪嚙合部分的齒面接觸應(yīng)力最大值為420.7 MPa，行星輪和內(nèi)齒輪嚙合部分的齒面接觸應(yīng)力最大為373.4MPa，應(yīng)力云圖如圖1、圖2所示。

圖1 內(nèi)齒圈和行星輪嚙合齒面接觸應(yīng)力

圖2 太陽輪和行星輪嚙合齒面接觸應(yīng)力

由于篇幅限制，在此僅列出0.14s、0.43s、0.71s 、1.00s時刻行星輪傳動動態(tài)嚙合情況，如圖3～圖6所示，由嚙合云圖可以看出，隨著進一步嚙入，太陽輪與行星輪齒面接觸應(yīng)力大于行星輪與內(nèi)齒圈，且接觸應(yīng)力在輪齒接觸點處最大，并向齒根擴散。

圖3 0.14s嚙合云圖

圖4 0.43s嚙合云圖

圖5 0.71s嚙合云圖

圖6 1.00s嚙合云圖

在ABAQUS中采用S-Max，Principle模塊可以得到各齒輪的齒根彎曲應(yīng)力大小及分布云圖，其中內(nèi)齒圈、行星輪、太陽輪的齒根彎曲應(yīng)力云圖如圖7～圖9所示。

圖7 內(nèi)齒圈齒根彎曲應(yīng)力云圖

圖8 太陽輪齒根彎曲應(yīng)力云圖

圖9 行星輪齒根彎曲應(yīng)力云圖

從以上應(yīng)力云圖可以看出，內(nèi)齒圈齒根彎曲應(yīng)力244.9MPa，太陽輪齒根彎曲應(yīng)力301.6MPa，行星輪齒根彎曲應(yīng)力283.5MPa。均滿足強度要求。

2.3 顯示動力學(xué)分析

ABAQUS/Explicit在求解非線性問題時不需要進行迭代，而是顯示地從上一個增量步的靜力學(xué)狀態(tài)來推算出動力學(xué)平衡方程的解。顯示動力分析的求解過程需要大量的增量步，但由于不進行迭代，不需要求解全體方程組，并且每個增量步的計算成本很小，可以高效地解決復(fù)雜的非線性問題。

在進行齒輪模型接觸分析時，ABAQUS會自動創(chuàng)建一個初始分析步來定義初始狀態(tài)下的邊界條件和相互作用，為使齒輪穩(wěn)定接觸，并能夠仿真太陽輪的嚙入和嚙出過程，本文創(chuàng)建兩個動態(tài)顯式分析步，第一個分析步設(shè)為0.005s，第二個分析步設(shè)為0.06s，Nlgoem選擇ON。為加速分析，降低計算成本，質(zhì)量放大系數(shù)為10。質(zhì)量放大倍數(shù)越大，計算速度越快，但同時也會使齒輪慣性增大，計算結(jié)果不夠精確。本分析中應(yīng)力云圖如下所示，其中太陽輪和行星輪嚙合部分的齒面接觸應(yīng)力最大值為473.8MPa，行星輪和內(nèi)齒輪嚙合部分的齒面接觸應(yīng)力最大為511.9MPa。

圖10 內(nèi)齒圈和行星輪嚙合齒面接觸應(yīng)力

本分析同樣列出0.14s、0.43s、0.71s、1.00s時刻行星輪傳動動態(tài)嚙合情況，如圖3～圖6所示，由嚙合云圖可以看出，在顯示動力學(xué)分析下的輪齒嚙合過程中，接觸應(yīng)力依舊在輪齒接觸點處最大，并向齒根擴散。其中太陽輪與行星輪嚙合處、行星輪與內(nèi)齒圈嚙合處均出現(xiàn)最大應(yīng)力點。

圖11 太陽輪和行星輪嚙合齒面接觸應(yīng)力

圖12 0.14s嚙合云圖

圖13 0.43s嚙合云圖

圖14 0.71s嚙合云圖

圖15 1.00s嚙合云圖

采用S-Max，Principle模塊得到各齒輪的齒根彎曲應(yīng)力大小及分布云圖，其中內(nèi)齒圈、行星輪、太陽輪的齒根彎曲應(yīng)力云圖如圖7～圖9所示。

圖16 內(nèi)齒圈齒根彎曲應(yīng)力云圖

圖17 行星輪齒根彎曲應(yīng)力云圖

圖18 太陽輪齒根彎曲應(yīng)力云圖

從齒根彎曲應(yīng)力云圖可以看出，嚙合過程中內(nèi)齒圈齒根彎曲應(yīng)力286.8MPa，太陽輪齒根彎曲應(yīng)力338.7 MPa，行星輪齒根彎曲應(yīng)力265MPa。

2.4 兩種仿真分析對比

按照標(biāo)準(zhǔn)漸開線圓柱直齒輪的強度校核方法，所得各個齒輪接觸應(yīng)力與齒根應(yīng)力，仿真結(jié)果與理論值對比如表2所示。

表2 仿真結(jié)果與理論結(jié)果對比表

由上表對比可知，理論分析結(jié)果與兩種仿真結(jié)果存在一定誤差，這是由于理論分析時把接觸看作線接觸，而在分析軟件中，模型采取面接觸，較理論分析可進一步提高計算準(zhǔn)確性。無論是采用準(zhǔn)靜態(tài)分析還是顯示動力分析都可以求出了各個嚙合輪齒處于不同嚙合位置的接觸壓力、應(yīng)力的大小及其分布。動態(tài)分析可以在一次求解過程中，計算不同嚙合位置處的應(yīng)力及其變化趨勢。但是動態(tài)分析時，齒輪嚙合狀態(tài)會不斷在單齒嚙合與雙齒嚙合交替變換，在嚙入嚙出時會存在嚙合沖擊，使得齒輪產(chǎn)生較大沖擊應(yīng)力。使用顯示動態(tài)分析得到的輪齒應(yīng)力隨時間變化的仿真結(jié)果會更加接近實際齒輪嚙合過程。下圖所示分別為單齒嚙合時，準(zhǔn)靜態(tài)分析過程與顯示動力分析過程中太陽輪應(yīng)力沿齒根方向的變化云圖。

圖19 準(zhǔn)靜態(tài)分析過程太陽輪接觸應(yīng)力沿齒根方向的變化云圖

在上述云圖中，可以看出靜態(tài)分析在3.5處應(yīng)力達到最大值，在4.5附近又出現(xiàn)較大應(yīng)力處，而動力分析中嚙合在4.5處出現(xiàn)應(yīng)力峰值，而齒輪在嚙合過程中，主動齒的應(yīng)力由齒頂向齒根方向擴散，在節(jié)圓處達到最大值。

3 結(jié)論

本文主要對比了兩種仿真分析方法對于行星傳動動態(tài)嚙合輪齒的應(yīng)力分布規(guī)律，探究了齒輪在不同嚙合位置時齒面的接觸應(yīng)力、齒根應(yīng)力的變化等，結(jié)論與理論分析基本吻合。

準(zhǔn)靜態(tài)通用分析能夠模擬行星輪系動態(tài)分析，建立較為平穩(wěn)的接觸關(guān)系，在分析中計算稍許簡便。且仿真結(jié)果與理論值誤差較小。顯示動力分析能夠高保真地模擬出齒輪實際嚙合過程，對于進一步輪系的動態(tài)特性研究有著深刻意義。而在實際生產(chǎn)生活中，結(jié)合兩種仿真方法與理論分析，則將對輪系的優(yōu)化以及系統(tǒng)可靠性研究提供重要保證。