基于能力設(shè)計(jì)法的反應(yīng)譜和時(shí)程分析

伏永鵬，鄭凱鋒，劉云飛

(西南交通大學(xué)，四川成都610031)

我國地震多發(fā)，需要考慮地震設(shè)防的地域遼闊，因此研究結(jié)構(gòu)的抗震性能實(shí)屬必要。能力設(shè)計(jì)法(Capability Design Method，CDM)是結(jié)構(gòu)延性設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容，最早是由新西蘭學(xué)者Park等人在20世紀(jì)70年代中期提出的。該法的定義是：對(duì)于結(jié)構(gòu)的非彈性響應(yīng)設(shè)計(jì)，首先布置可能出現(xiàn)塑性鉸的位置，使結(jié)構(gòu)屈服后形成一個(gè)合理的耗能機(jī)構(gòu)；對(duì)塑性鉸區(qū)進(jìn)行專門的設(shè)計(jì)，以提供足夠的延性，對(duì)于其他非塑性鉸區(qū)，根據(jù)塑性鉸所具有的超強(qiáng)強(qiáng)度，確定被保護(hù)構(gòu)件的設(shè)計(jì)強(qiáng)度，從而保證被保護(hù)構(gòu)件在結(jié)構(gòu)塑性鉸形成后仍保持彈性［1］。能力設(shè)計(jì)法的主要優(yōu)點(diǎn)是可以預(yù)定塑性鉸出現(xiàn)的位置，而且可以預(yù)測結(jié)構(gòu)整體抗震性能。地震作用理論研究是地面運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)效應(yīng)，結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)取決于地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性兩個(gè)方面，橋梁結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析的發(fā)展過程經(jīng)歷了靜力、反應(yīng)譜、和動(dòng)態(tài)時(shí)程三個(gè)階段。靜力法將加速度作為結(jié)構(gòu)地震破壞的唯一因素，從動(dòng)力學(xué)角度來看，這種方法忽略了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)特性，理論上存在很大局限性。動(dòng)力反應(yīng)譜法采用“地震荷載”的概念，從地震動(dòng)出發(fā)求結(jié)構(gòu)的最大地震反應(yīng)，同時(shí)考慮了地面運(yùn)動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性之間的關(guān)系，比靜力法有很大的進(jìn)步，但是在設(shè)計(jì)中仍然把地震慣性力視為靜力，以彈性分析為主。動(dòng)態(tài)時(shí)程分析法以輸入合適的地震動(dòng)為出發(fā)點(diǎn)，采用多節(jié)點(diǎn)多自由度的結(jié)構(gòu)有限元?jiǎng)恿τ?jì)算模型建立振動(dòng)方程，然后用逐步積分法對(duì)方程求解。計(jì)算地震過程中每一瞬時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度反應(yīng)，從而可以分析出結(jié)構(gòu)在地震作用下彈性和非彈性階段的內(nèi)力變化以及構(gòu)件逐步開裂、損壞直至倒塌的全過程［2］。

1 公路橋梁抗震設(shè)計(jì)流程

JTG/T B02-01-2008《公路橋梁抗震細(xì)則》(后文簡稱《抗震細(xì)則》)中采用兩水平設(shè)防，兩階段設(shè)計(jì)。第一階段采用彈性抗震設(shè)計(jì)；第二階段采用延性抗震設(shè)計(jì)方法，并引入能力保護(hù)設(shè)計(jì)原則［3］。通過第一階段的抗震設(shè)計(jì)，即對(duì)應(yīng)E1地震作用的抗震設(shè)計(jì)，可達(dá)到和原規(guī)范基本相當(dāng)?shù)目拐鹪O(shè)防水平。通過第二階段的抗震設(shè)計(jì)，即對(duì)應(yīng)E2地震作用的抗震設(shè)計(jì)，來保證結(jié)構(gòu)具有足夠的延性能力，通過引入能力保護(hù)構(gòu)件設(shè)計(jì)原則，確保塑性鉸只在選定的位置出現(xiàn)，并且不出現(xiàn)剪切破壞。

抗震設(shè)計(jì)采用延性設(shè)計(jì)理念，延性設(shè)計(jì)的思想是通過減隔震支座、橋墩塑性鉸變形耗能，即大震不倒。與89版《公路工程抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》中的三階段抗震設(shè)計(jì)思想“小震不壞，中震可修，大震不倒”對(duì)比［4］，抗震細(xì)則中的E1地震等同于中小震，E2地震等同于大震。常規(guī)橋梁抗震設(shè)計(jì)流程是在E1地震作用下結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)工作，無損傷，驗(yàn)算滿足強(qiáng)度要求；如果不滿足，調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，如果滿足，則繼續(xù)在E2地震作用下進(jìn)行強(qiáng)度和位移的驗(yàn)算。E2地震作用下分為延性構(gòu)件和能力保護(hù)構(gòu)件，即在延性構(gòu)件(如橋墩)預(yù)設(shè)位置出現(xiàn)塑性鉸，使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)較大的塑性變形，從而使能力保護(hù)構(gòu)件不會(huì)發(fā)生破壞。其中將橋墩抗剪驗(yàn)算加入能力保護(hù)構(gòu)件，也是考慮強(qiáng)剪弱彎的延性設(shè)計(jì)理念，即不讓橋墩發(fā)生剪切脆性破壞。

2 反應(yīng)譜和動(dòng)態(tài)時(shí)程

反應(yīng)譜分析實(shí)際上是一種擬動(dòng)力分析方法，將結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載下的復(fù)雜響應(yīng)情況分解為各階振型獨(dú)立的分項(xiàng)響應(yīng)情況。反應(yīng)譜設(shè)計(jì)包括三方面內(nèi)容：結(jié)構(gòu)各振型的含義和求法；計(jì)算各振型反應(yīng)譜下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)；將各振型結(jié)果進(jìn)行組合。

時(shí)程分析是純粹的動(dòng)力分析方法，不同與反應(yīng)譜分析，時(shí)程分析法是對(duì)結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)方程直接逐步積分求解的動(dòng)力分析方法，時(shí)程分析可得到各質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化的位移、速度、加速度、進(jìn)而計(jì)算出構(gòu)件內(nèi)力的時(shí)程變化關(guān)系，可以考慮各時(shí)間點(diǎn)地震效應(yīng)情況。對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)，地震時(shí)程分析分為線性時(shí)程和彈塑性時(shí)程。彈塑性時(shí)程分析需要考慮三方面內(nèi)容：動(dòng)力荷載的輸入(地震波的選取)；結(jié)構(gòu)彈塑性的考慮方式(塑性鉸)；邊界非線性的引入(減隔震支座、滑動(dòng)支座)。

3 反應(yīng)譜分析

單質(zhì)點(diǎn)彈性體系在地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程為：2ωξx+ω2，上式為單自由度運(yùn)動(dòng)方程，可由 Duhamel積分求解。

體系在t時(shí)刻的地震反應(yīng)為：一般結(jié)構(gòu)阻尼比較小， ωD

結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)結(jié)果由地震響應(yīng)最大值控制，最大反應(yīng)之間的關(guān)系：Sa=ωSv=ω2Sd。在阻尼比、地面運(yùn)動(dòng)確定后，最大反應(yīng)只是結(jié)構(gòu)自振周期(T，ω)的函數(shù)［1］。

單自由度體系在給定的地震作用下某個(gè)最大反應(yīng)與體系自振周期的關(guān)系曲線稱為該反應(yīng)的地震反應(yīng)譜。加速度反應(yīng)譜是“地震波頻率——加速度最大值”關(guān)系圖，包含了場地特征、阻尼的影響。地震反應(yīng)譜直接用于抗震設(shè)計(jì)有一定的難度，它是根據(jù)已發(fā)生的地震運(yùn)動(dòng)記錄計(jì)算得到的，而工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)需考慮的是將來發(fā)生的地震對(duì)結(jié)構(gòu)造成的影響。由于地震的隨機(jī)性和影響地面運(yùn)動(dòng)因素的復(fù)雜性，即使同一地點(diǎn)不同時(shí)間發(fā)生地震的地面運(yùn)動(dòng)無論強(qiáng)度和頻譜絕不會(huì)完全相同，因此地震反應(yīng)譜也將不同。而專門研究可供結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)用的反應(yīng)譜，稱之為設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。《抗震細(xì)則》規(guī)定設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜如下式：

阻尼為0.05的水平設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜S由下式確定：

式中：Tg為特征周期(s)；T為結(jié)構(gòu)周期(s)；Smax為水平設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜最大值。

水平設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜最大值Smax由下式確定：

式中：Ci為抗震重要性系數(shù)，按表3.1.4-2取值；Cs為場地系數(shù)，按表5.2.2取值；Cd為阻尼調(diào)整系數(shù)，按表5.2.4取值；A為水平向設(shè)計(jì)基本地震動(dòng)加速度峰值，按表3.2.2取值［3］。

反應(yīng)譜法采用振型疊加，由于振型具有正交性，微分方程組可以簡化為微分方程，大大減小了計(jì)算量，譜函數(shù)表示地震加速度與各振型周期間的關(guān)系，從而使與時(shí)間相關(guān)的動(dòng)力問題，簡化為求解各振型下結(jié)構(gòu)施加固定加速度(力)的靜力問題。

4 有限元模型計(jì)算分析

針對(duì)40 m+40 m+40 m的連續(xù)剛構(gòu)橋分別用反應(yīng)譜和線性時(shí)程分析來驗(yàn)算，截面為單箱單室，橋?qū)?.3 m，墩高10 m，跨中截面如圖1所示，橋墩截面如圖2所示。該橋所在區(qū)域抗震設(shè)防烈度為7度，場地類別為Ⅱ類，橋梁類型為A類，特征周期Tg=0.4s，用Midas/Civil建立空間梁單元模型，地基條件良好，故采用墩底固結(jié)。結(jié)構(gòu)荷載包括自重、二期、預(yù)應(yīng)力、混凝土收縮徐變和地震作用。

圖1 跨中截面(單位：m)

圖2 橋墩截面(單位：m)

4.1 反應(yīng)譜分析

將結(jié)構(gòu)模型的自重和二期恒載轉(zhuǎn)換成集中質(zhì)量，根據(jù)上述參數(shù)輸入反應(yīng)譜函數(shù)，定義兩種反應(yīng)譜工況分別是順橋向和橫橋向，振型組合方式選擇完整二次項(xiàng)組合法(CQC法)，可以考慮周期相近的振型的耦合。

程序提供3種特征值分析方法：(1)子空間迭代法；(2)Lanczos方法；(3)Ritz向量法。子空間迭代法是求解單元數(shù)多的大型矩陣特征值問題的常用方法；Lanczos法對(duì)于模態(tài)較少的特征值分析非常有效；多重Ritz向量法認(rèn)為結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)是空間荷載分布的函數(shù)，考慮空間荷載分布狀態(tài)及動(dòng)力貢獻(xiàn)，忽略所有反對(duì)稱振型，對(duì)于反對(duì)稱振型，并不是由荷載激發(fā)。荷載在這些振型的動(dòng)力貢獻(xiàn)為零。因此，此處特征值分析方法采用多重Ritz向量法。

結(jié)構(gòu)的前3階振型如圖3～圖5所示。

圖3 第一階振型(順橋向一致平動(dòng))

圖4 第二階振型(豎向一階對(duì)稱)

進(jìn)行抗震反應(yīng)譜分析時(shí)，應(yīng)選擇足夠的振型數(shù)量以保證地震響應(yīng)的振型參與質(zhì)量系數(shù)之和不小于90%，由多重Ritz向量法計(jì)算的順橋向x，橫橋向y，豎向z的振型質(zhì)量參與系數(shù)和分別為99.3%、97.2%、95.2%，因此，此處選取5階振型滿足要求。

E1、E2地震作用下反應(yīng)譜分析結(jié)果：《抗震細(xì)則》規(guī)定作用效應(yīng)組合包括永久作用效應(yīng)+地震作用效應(yīng)，組合方式應(yīng)包括各種效應(yīng)的最不利組合。E1地震作用下的橋墩底部內(nèi)力見表1，E2地震作用下的橋墩底部內(nèi)力見表2。

圖5 第三階振型(橫橋向一致平動(dòng))

表1 E1地震作用下作用效應(yīng)組合墩底內(nèi)力

由于兩個(gè)方向組合方式是平方和開方法(SRSS法)，反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)果都為正值，所以偶然組合中由兩個(gè)組合，即加一次反應(yīng)譜結(jié)果，減一次反應(yīng)譜結(jié)果。

基于《抗震細(xì)則》的橋墩驗(yàn)算：E1地震作用下橋墩底部滿足強(qiáng)度驗(yàn)算，說明橋墩仍處于彈性狀態(tài)，再進(jìn)行E2彈塑性驗(yàn)算(由M-φ曲線對(duì)剛度折減)，需要進(jìn)行橋墩抗剪和位移驗(yàn)算，構(gòu)件截面的彈塑性由M-φ曲線體現(xiàn)。無約束混凝土和約束混凝土用mander模型，鋼材用雙折線模型。

表2 E2地震作用下作用效應(yīng)組合墩底內(nèi)力

E2地震作用下，延性構(gòu)件的有效截面抗彎剛度按下式計(jì)算，其余構(gòu)件抗彎剛度仍按毛截面［4］：

式中：Ec為橋墩的彈性模量(kN/m2)；Ieff為橋墩有效截面抗彎慣性矩(m4)；My為屈服彎矩(kN·N)；Φy為等效屈服曲率(1/m)。

E2地震作用下，橋墩單元強(qiáng)度驗(yàn)算有部分通不過，顯然截面已經(jīng)進(jìn)入彈塑性，進(jìn)行能力保護(hù)構(gòu)件橋墩塑性鉸區(qū)抗剪強(qiáng)度驗(yàn)算(考慮抗彎超強(qiáng)系數(shù))，全部通過。墩頂順橋向最大位移3.48 cm，橫橋向最大位移0.24 cm，均滿足容許位移［8］。

4.2 時(shí)程分析

選波：進(jìn)行地震安全性評(píng)價(jià)的橋址，設(shè)計(jì)地震動(dòng)時(shí)程應(yīng)根據(jù)地震安全性評(píng)價(jià)的結(jié)果確定；未進(jìn)行地震安全評(píng)價(jià)的橋址，可采用設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜為目標(biāo)擬合加速度時(shí)程。正確輸入地震加速度時(shí)程曲線，要滿足地震動(dòng)三要素，即頻譜特性、有效峰值和持續(xù)時(shí)間。頻譜特性要求所選波的特征周期與設(shè)計(jì)橋梁對(duì)應(yīng)場地的特征周期相近；持續(xù)時(shí)間為5～10倍的結(jié)構(gòu)基本周期；有效峰值則通過調(diào)幅來實(shí)現(xiàn)。

用程序自帶的地震波數(shù)據(jù)生成器選擇三條與該橋址特征周期Tg=0.4s相近的地震波(1940，El-Centro-Site，270-De、1952，Hollywood Storage P.E.，270 Deg、1985，Mexico City，Station 1，180 Deg)，為了與設(shè)計(jì)時(shí)的地震烈度相當(dāng)，對(duì)選用的地震記錄加速度時(shí)程曲線應(yīng)按比例放大或縮小。設(shè)計(jì)加速度峰值PGA等于設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜最大值Smax除以放大系數(shù)2.25，即：

式中參數(shù)見《抗震細(xì)則》中公式5.2.2的說明。圖6列出El-Centro Site三個(gè)方向地震波［10］。

4.3 反應(yīng)譜和時(shí)程分析對(duì)比

地震作用下反應(yīng)譜法和彈性時(shí)程法墩底最大內(nèi)力對(duì)比見表3。對(duì)于y方向的剪力、扭矩、平面外彎矩均是反應(yīng)譜法大于時(shí)程法。內(nèi)力對(duì)比滿足《抗震細(xì)則》6.5.3，在E1地震作用下，線性時(shí)程法的計(jì)算結(jié)果不應(yīng)小于反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)果的80%。

圖6 El-Centro Site地震波

表3 兩種分析方法墩底內(nèi)力對(duì)比

5 結(jié)論

結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)常規(guī)方法是反應(yīng)譜法和動(dòng)態(tài)時(shí)程法，反應(yīng)譜法將動(dòng)力問題靜力化，概念簡單，計(jì)算方便，可以用較少的計(jì)算量獲得結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)值。因此，世界各國規(guī)范都把它作為一種基本的分析手段。但是它也有很多缺陷，比如反應(yīng)譜是彈性范圍內(nèi)的概念，當(dāng)結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震下進(jìn)入塑性工作階段時(shí)不能直接用；另外，地震作用是一個(gè)時(shí)間過程，而反應(yīng)譜只能得到最大反應(yīng)，不能反映結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)中的時(shí)間歷程和地震動(dòng)持時(shí)效應(yīng)。多振型的反應(yīng)譜法，由于反應(yīng)譜僅能結(jié)構(gòu)各振型反應(yīng)最大值，不能反映其正負(fù)和時(shí)間，給振型組合造成混亂［9］。

時(shí)程分析法是對(duì)結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動(dòng)微分方程直接進(jìn)行逐步積分求解的一種動(dòng)力分析方法。由時(shí)程分析可得到各個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化的位移、速度和加速度動(dòng)力反應(yīng)，進(jìn)而計(jì)算構(gòu)件內(nèi)力和變形的時(shí)程變化。時(shí)程分析法作為反應(yīng)譜法的一種補(bǔ)充，也就是說滿足了規(guī)范要求的時(shí)候是可以不用它計(jì)算結(jié)構(gòu)的?！犊拐鸺?xì)則》規(guī)定時(shí)程分析的最終結(jié)果，當(dāng)取3組時(shí)程波計(jì)算時(shí)，應(yīng)取3組計(jì)算結(jié)果的最大值；當(dāng)采用7組時(shí)程波計(jì)算時(shí)，可取7組計(jì)算結(jié)果的平均值。

本文針對(duì)三跨連續(xù)剛構(gòu)借助Midas/Civil建模并用反應(yīng)譜法進(jìn)行E1、E2地震作用下的驗(yàn)算。在E1地震作用下，結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)工作，基本不損傷；在E2地震作用下延性構(gòu)件(墩柱)進(jìn)入了塑性，此時(shí)需要強(qiáng)度和位移雙重驗(yàn)算，對(duì)于梁橋來說，如果是規(guī)則橋梁，需要滿足位移條件即墩頂位移小于容許位移；如果是非規(guī)則橋梁，橋墩是矮墩(計(jì)算長度與矩形截面計(jì)算方向的尺寸比小于2.5)，須在組合作用下滿足強(qiáng)度要求。如果不是矮墩，則需要對(duì)塑性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)能力進(jìn)行驗(yàn)算。對(duì)于能力保護(hù)構(gòu)件，包括蓋梁、支座和基礎(chǔ)以及墩柱塑性鉸區(qū)域的斜截面抗剪強(qiáng)度驗(yàn)算。本橋在E1地震下結(jié)構(gòu)處于彈性，滿足強(qiáng)度要求，E2地震在橋墩進(jìn)入了塑性，由于是規(guī)則橋梁，僅需要對(duì)橋墩墩頂位移驗(yàn)算。滿足要求，對(duì)于能力保護(hù)構(gòu)件橋墩塑性鉸區(qū)域抗剪(考慮抗彎超強(qiáng)系數(shù))也滿足要求。本文同時(shí)用線性時(shí)程補(bǔ)充計(jì)算得出了結(jié)構(gòu)關(guān)鍵單元內(nèi)力、位移隨時(shí)間變化曲線。

能力設(shè)計(jì)方法的基本概念是在結(jié)構(gòu)體系中的延性構(gòu)件和能力保護(hù)構(gòu)件之間，確立適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度安全等級(jí)差異，確保結(jié)構(gòu)不會(huì)發(fā)生脆性破壞，能在概率意義上最大限度防止結(jié)構(gòu)倒塌破壞［5］。