游晟東

【摘要】我們通常需要對(duì)抽樣得來(lái)的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，而參數(shù)估計(jì)則是其中比較重要的課題。本文以兩點(diǎn)分布和均勻分布為例，介紹參數(shù)估計(jì)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)方法，并用R語(yǔ)言模擬數(shù)據(jù)，進(jìn)而通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)上述兩種方法。

【關(guān)鍵詞】參數(shù)估計(jì) 兩點(diǎn)分布 均勻分布 R語(yǔ)言

【中圖分類號(hào)】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）03-0151-02

1.前言

隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，我們能夠獲取、存儲(chǔ)和利用的數(shù)據(jù)越來(lái)越多。那么如何從大量的數(shù)據(jù)中提取出我們需要的信息，并對(duì)我們社會(huì)生活進(jìn)行決策提供指導(dǎo)，才是我們真正關(guān)心的問(wèn)題。舉一個(gè)生活中的例子，假設(shè)我們從某燈泡生產(chǎn)商獲取了200個(gè)小燈泡，現(xiàn)在對(duì)這200個(gè)燈泡進(jìn)行持續(xù)照明試驗(yàn)，如果某燈泡持續(xù)照明時(shí)間超過(guò)1000小時(shí)，則認(rèn)為其合格，否則不合格。于是我們可以得到這200個(gè)燈泡合格情況的數(shù)據(jù)，但我們所關(guān)心的是這批燈泡的合格率問(wèn)題，因?yàn)檫@會(huì)影響這家廠商生產(chǎn)的燈泡能不能投放市場(chǎng)。而如何根據(jù)照明數(shù)據(jù)得到合格率的信息則是我們統(tǒng)計(jì)學(xué)中的問(wèn)題，于是本文利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)估計(jì)方法，并結(jié)合R語(yǔ)言數(shù)值試驗(yàn)，分別得到了兩點(diǎn)分布和均勻分布參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。

2.兩點(diǎn)分布與燈泡試驗(yàn)

2.1 模型建立

為了建立兩點(diǎn)分布，我們首先考慮燈泡試驗(yàn)的概率空間，包括樣本空間，事件域和概率測(cè)度。

若某燈泡持續(xù)照明時(shí)間超過(guò)1000個(gè)小時(shí)，我們稱此燈泡合格，也稱試驗(yàn)成功了。于是此燈泡試驗(yàn)的樣本空間，即所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的集合為

Ω=ω|其中ω代表小燈泡合格或者不合格

隨機(jī)變量X=1，若燈泡合格0，若燈泡i不合格，即X只取0和1兩個(gè)數(shù)。取此試驗(yàn)的事件域F為由隨機(jī)變量X生成的σ-代數(shù)。對(duì)于樣本空間里的每一個(gè)樣本點(diǎn)ω，定義如下概率，若ω代表燈泡合格，則其概率為p，否則概率為1-p，其中p∈（0，1）。此時(shí)我們稱隨機(jī)變量X服從成功概率為p的兩點(diǎn)分布。若我們對(duì)n個(gè)燈泡進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的照明試驗(yàn)，則X1+X2+…+Xn就代表n個(gè)燈泡中合格的個(gè)數(shù)，服從所謂的二項(xiàng)分布，所以兩點(diǎn)分布也是一種特殊的二項(xiàng)分布。

2.2 矩參數(shù)估計(jì)

假設(shè)我們有了n個(gè)燈泡的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別是X1，X2，…，Xn。矩估計(jì)方法就是用樣本的矩去估計(jì)總體的矩?？傮w的一階矩，即總體的數(shù)學(xué)期望為p，而樣本的一階矩就是樣本的平均數(shù) ，于是總體參數(shù)p的估計(jì)值為 = 。

現(xiàn)在用R語(yǔ)言依次生成10，100，1000，10000個(gè)服從成功概率為0.6的兩點(diǎn)分布的隨機(jī)數(shù)。這里的0.6可以看作是燈泡在理論上的合格率。得到的結(jié)果如下：

可以看出隨著數(shù)據(jù)量的增大，我們的估計(jì)值和理論值越來(lái)越接近。而當(dāng)n=10時(shí)，得到的估計(jì)指0.7與理論值0.6有較大差距，這是由于樣本量較小導(dǎo)致的。

2.3 極大似然估計(jì)

極大似然估計(jì)的想法現(xiàn)在已經(jīng)得到了樣本，這是已經(jīng)發(fā)生了的事實(shí)，我們就是要尋找那個(gè)使得最有可能導(dǎo)致現(xiàn)實(shí)結(jié)果的參數(shù)p。這里我們沿用2.2節(jié)的設(shè)定，則出現(xiàn)樣本X1，X2，…，Xn的概率為L(zhǎng)=p （1-p） ，稱為似然函數(shù)。為了找出此函數(shù)在（0，1）上的最大值點(diǎn)，我們首先對(duì)L取對(duì)數(shù)，得到

lnL= xiln（p）+n- xiln（1-p）

然后，對(duì)p求導(dǎo)可得到L取得最大值的點(diǎn)為 ，和矩估計(jì)方法的形式相同。我們也可以直接利用R語(yǔ)言的optimize函數(shù)近似求解L在（0，1）上的最大值點(diǎn)，而不必借助于函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)然也就意味著犧牲一些準(zhǔn)確性。

3.均勻分布的參數(shù)估計(jì)

3.1 均勻分布簡(jiǎn)介

若隨機(jī)變量的X的概率密度函數(shù)為：

p（x）= ，a≤x≤b0，otherwise

則稱X服從區(qū)間[a，b]上的均勻分布，記作X～U（a，b）。這里的均勻分布和離散的隨機(jī)變量不同，它取[a，b]上每一點(diǎn)的概率都為0，所以不可能寫成概率分布列的形式，于是我們引出了概率密度函數(shù)的概念。為了進(jìn)行矩參數(shù)估計(jì)，我們計(jì)算出均勻分布的一階矩和二階矩分別為：

E（X）=

E（X2）= +

3.2 矩估計(jì)

假設(shè)我們有來(lái)自[a，b]上均勻分布的樣本X1，X2，…，Xn，令A(yù)1 代表樣本的一階矩，A2？勖 Xi2代表樣本的二階矩。于是矩估計(jì)的等式為：

=A1

+ =A2

解上述方程可得， =A1+ =A1-

下面我們利用R語(yǔ)言的runif函數(shù)依次生成服從[2，6]上的均勻分布的10，100，1000個(gè)隨機(jī)數(shù)。然后利用上述矩估計(jì)公式得到結(jié)果如下表所示：

容易發(fā)現(xiàn)，和兩點(diǎn)分布時(shí)情形基本類似，隨著樣本量的不斷增大，我們的估計(jì)值會(huì)越來(lái)越接近理論值。

3.3 極大似然估計(jì)

樣本x1，x2，…，xn對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)為L(zhǎng)= 1[a，b] （xi）這里1是示性函數(shù)。則當(dāng)a≤ xi且 xi≤b時(shí)，L= ，其他情形為0。于是，要使得L達(dá)到最大值，a，b的估計(jì)值為 = xi， = xi。沿用3.2的數(shù)據(jù)，我們只給出n=100時(shí)的估計(jì)值為 =2.026589， =5.966075。

4.總結(jié)

我們利用矩估計(jì)和極大似然估計(jì)方法得到了兩點(diǎn)分布和均勻分布的參數(shù)估計(jì)，從數(shù)值上來(lái)看，兩種方法估計(jì)的都較為準(zhǔn)確，且隨著樣本量的增大，估計(jì)得誤差也在慢慢地降低。從試驗(yàn)中還可以發(fā)現(xiàn)，R語(yǔ)言對(duì)于解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題非常方便，語(yǔ)法簡(jiǎn)潔，易于編程。

參考文獻(xiàn)：

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