初中數(shù)學中函數(shù)最值問題

張曼

摘 要：通過對函數(shù)最值問題幾種解題方法的對比研究，在技巧性很強的函數(shù)解題應用過程中如何能透過問題看本質(zhì)，以提高學生做題效率，激發(fā)和拓展學生的邏輯思維能力，彰顯出數(shù)學的魅力。

關鍵詞：函數(shù)最值;判別式;幾何模型;思維

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）04-086-1

函數(shù)是中學數(shù)學中相當重要的一部分，函數(shù)的基礎知識在數(shù)學和其他許多學科中有著廣泛應用，其中求函數(shù)最值問題是一個重點也是一個難點問題，學生在解題時，由于自身數(shù)學基本功及數(shù)學思維能力所限，常常出現(xiàn)解題思路不清楚，抓不住題目本質(zhì)，給學生解題帶來困難。因此，現(xiàn)將幾種解決函數(shù)最值問題的方法做一總結歸納：

一、配方法

求二次函數(shù)最值問題最常用的方法就是配方法，配方法的具體步驟如下：第一步提取系數(shù)，如y=ax2+bx+c（a≠0），將二次項系數(shù)提出來化為y=a（x2+bax）的形式，第二步將括號內(nèi)兩項配成完全平方式，即配一次項系數(shù)一半的平方。即將二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）配成頂點式y(tǒng)=a（x-k）2+h（a≠0）的形式，再根據(jù)a的符號和h的值確定函數(shù)的最值。

二、判別式法

利用一元二次方程根的判別式的值“非負”或“為負”求解函數(shù)最值的方法，稱為判別式法。判別式法是求函數(shù)最值問題必須掌握的方法之一，適當使用它可以很巧妙的解決求最值問題，對含有二次函數(shù)的分式函數(shù)求最值或有些含二次根式函數(shù)或其它復合函數(shù)也可用此方法。

三、利用函數(shù)的增減性

初中學習的主要函數(shù)有一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），反比例函數(shù)y=kx（k≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），利用函數(shù)的增減性，注意自變量的取值范圍，結合具體圖象，求出函數(shù)最值.

四、分區(qū)間討論法

分區(qū)間討論法就是根據(jù)自變量的取值區(qū)間及函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的增減性，并結合圖象來確定最值的方法，對于函數(shù)y=kx+b（k≠0，m≤x≤M），含絕對值符號函數(shù)及函數(shù)等，需利用分區(qū)間討論法確定它們的最值.

五、構造幾何模型

函數(shù)可以看作是數(shù)形結合的載體之一，主要依據(jù)是平面幾何中有關最短距離有兩個定理：（1）兩點線段;（2）直線外一點到該直線的任一點距離，垂線段長最短。通常我們把幾何問題代數(shù)化，通過構造合理的幾何模型較容易解析一些代數(shù)問題，充分體現(xiàn)數(shù)形結合思想在解題中的重要作用。

六、利用不等式的性質(zhì)

其中一類題就是當題目已知自變量的取值范圍，求函數(shù)最大值或最小值時，可以將函數(shù)y與自變量x位置變換，把用含x的式子表示y，轉化成用含y的式子表示x，將問題轉化為解不等式;另一類題利用不等式x+y≥2xy（x>0，y>0），（由（a-b）2≥0，得a2-2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab.令a2=x，b2=y，則x+y≥2xy（x>0，y>0））當x+y定值時，xy有最大值，xy當為定值時，x+y有最小值.合理地運用不等式中的兩個相關相等關系，可以化繁為簡，應用于求函數(shù)最值。

以上就是本文總結的六種解決函數(shù)最值的常見方法，使學生遇到此類問題能做到心中有數(shù)，有的放矢，達到舉一反三，靈活運用的目的。

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