周 玙， 劉 莉， 周思達， 王大宇， 邵玉佩

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院 飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

飛行器結(jié)構(gòu)在飛行或運輸過程中經(jīng)常會受到瞬態(tài)載荷的作用。對實際工作過程中所受載荷進行識別，將為飛行器結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、故障評估、壽命預(yù)測提供基礎(chǔ)。然而，在實際工程中，往往載荷無法通過傳感器直接測得，如：測點不可達、載荷作用點較多，以及涉及流固耦合時。而一般情況下，結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)是較為容易得到的。因此，通過載荷識別方法確定載荷具有較高的實用價值。

載荷識別屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)的第二類反問題。在識別瞬態(tài)載荷時時域法具有較大優(yōu)勢，國內(nèi)外許多專家學(xué)者對此做過許多研究：周晚林[1]通過有限元逆分析和人工神經(jīng)網(wǎng)路相結(jié)合的綜合方法對智能結(jié)構(gòu)的沖擊載荷進行識別；蔡元奇[2]通過假設(shè)載荷形式為二次函數(shù)利用Duhamel積分式推導(dǎo)出了時域非遞推載荷識別模型；嚴剛等[3]應(yīng)用遺傳算法對復(fù)合材料沖擊載荷的識別進行了研究。劉杰[4]通過求解核函數(shù)矩陣對載荷進行識別并研究了其正則化方法；毛伯永等[5]提出了基于瞬態(tài)統(tǒng)計能量分析理論的沖擊載荷識別方法，識別除了載荷作用位置和輸入能量；張磊等[6]在總體最小二乘法基礎(chǔ) 進行Tikhonov正則化后利用共軛梯度法求最優(yōu)解對載荷進行識別；張方等[7]利用廣義正交多項式作為形函數(shù)推導(dǎo)了基于時間有限元的動載荷識別模型，該方法尤其適用于瞬態(tài)載荷的識別。Xu等[8]提出一種根據(jù)不完全測量信息的自適應(yīng)迭代最小二乘法對載荷和參數(shù)進行識別。朱斯巖等[9]通過頻域修正時域載荷識別結(jié)果，并應(yīng)用于實際工程。

目前，載荷識別主要基于位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)。然而，對于運行中的飛行器而言，由于傳感器安裝、排線等約束，用于振動測量的加速度計十分有限，且多普勒激光測振儀(速度)幾乎不可能，因此給其載荷辨識帶來很大困難。

最近，光纖光柵應(yīng)用的興起，提供了輕量、串聯(lián)復(fù)用、抗干擾的結(jié)構(gòu)動應(yīng)變響應(yīng)測試途徑式。然而，應(yīng)變響應(yīng)和結(jié)構(gòu)載荷之間關(guān)系并不直接，需通過應(yīng)變與位移間的關(guān)系間接建立。應(yīng)變到位移是一個空間積分過程，在實際過程中測點數(shù)量有限，積分結(jié)果誤差很大。目前結(jié)構(gòu)位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)的識別方法都有一些成熟的方法，許多學(xué)者也推導(dǎo)了應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)的關(guān)系[10-12]。本文主要圍繞基于應(yīng)變響應(yīng)的沖載荷識別進行研究，綜合利用結(jié)構(gòu)的位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)參數(shù)實現(xiàn)應(yīng)變到位移的轉(zhuǎn)換避免空間積分，穩(wěn)定、精確地通過應(yīng)變反求出了位移響應(yīng)，進而實現(xiàn)了基于應(yīng)變響應(yīng)的識別。

1 基于位移響應(yīng)的載荷識別

描述多自由度振動系統(tǒng)的方程為

(1)

令Φn×m為系統(tǒng)質(zhì)量歸一化后的振型矩陣，同時假設(shè)阻尼為比例阻尼。

根據(jù)振型疊加原理

xn×1=Φn×mqm×1

(2)

式中：q為模態(tài)振型坐標(biāo)，代表各振型在振動系統(tǒng)的貢獻度。

將式(2)代入式(1)得

(3)

(4)

得到第j振型坐標(biāo)下的振動方程

(5)

(6)

將式(6)代入式(2)可得在時刻的動響應(yīng)

(7)

進一步可得

(8)

令

式(8)可改寫為

(9)

由于振型坐標(biāo)下的響應(yīng)無法直接獲得，需要將物理坐標(biāo)下的位移響應(yīng)轉(zhuǎn)換到振型坐標(biāo)下，根據(jù)式(2)可得

(10)

(11)

將式(10)代入式(9)可得

(12)

整理得

(13)

(14)

速度信息仍由位移響應(yīng)采用五點差分得到

(15)

2 基于應(yīng)變響應(yīng)的載荷識別

應(yīng)變響應(yīng)相較于位移響應(yīng)對載荷更加敏感，在識別瞬態(tài)載荷時識別精度更高。同時應(yīng)變的測量也比位移測量簡便。若利用應(yīng)變響應(yīng)進行載荷識別，需建立載荷到應(yīng)變的關(guān)系。一般來說，兩者通過位移相聯(lián)系，應(yīng)變到位移是一個積分過程，實際工程中測點有限，無法通過應(yīng)變積分得到位移。

本文的基本思路是：通過試驗或有限元數(shù)值仿真得到結(jié)構(gòu)的位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)，找到應(yīng)變和位移的關(guān)系，實現(xiàn)應(yīng)變到位移的轉(zhuǎn)換。

設(shè)彈性結(jié)構(gòu)的變形位移分別為u，v和w，根據(jù)模態(tài)疊加原理得

(16)

(17)

(18)

式中：qr為時間和頻率的函數(shù)，它代表的是各階模態(tài)在結(jié)構(gòu)變形中所占的比例，與坐標(biāo)無關(guān)，因此?qr/?x=0。當(dāng)然，根據(jù)上述推導(dǎo)方式，還可以推導(dǎo)出εy，εz以及γxy，γyz，γxz等表達式。

在三維空間中，設(shè)位移向量為x=[uvw]T，則位移模態(tài)為

(19)

根據(jù)彈性力學(xué)基本原理，應(yīng)變與位移之間的關(guān)系為

(20)

式中：εx，εy和εz為正應(yīng)變，剪應(yīng)變?yōu)棣脁y=αyx+αxy，γyz=αzy+αyz，γzx=αxz+αzx。

根據(jù)模態(tài)疊加原理，得到應(yīng)變張量響應(yīng)表達式

(21)

考慮到利用應(yīng)變計或FBG傳感器測量結(jié)構(gòu)應(yīng)變時，通常只能測量結(jié)構(gòu)正應(yīng)變，因此，只考慮正應(yīng)變時，則有

(22)

通過比較式(22)和式(19)可以發(fā)現(xiàn)，位移響應(yīng)和應(yīng)變響應(yīng)擁有相同的模態(tài)坐標(biāo)qr，因此，對于同一階模態(tài)對應(yīng)的振型，位移響應(yīng)與應(yīng)變響應(yīng)具有相同的貢獻度。

位移響應(yīng)和應(yīng)變響應(yīng)擁有相同的模態(tài)坐標(biāo)，因此有

(23)

(24)

(25)

式中：ψ和Φ分別為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)；Qε和Qx分別為應(yīng)變模態(tài)坐標(biāo)和位移模態(tài)坐標(biāo)，可由最小二乘法解得模態(tài)坐標(biāo)

(26)

由于Qε=Qx，所以得出

(ψTψ)-1ψT·ε=(ΦTΦ)-1ΦT·x

令Sε=(ψTψ)-1ψT，Sx=(ψTΦ)-1ΦT

Sεε=Sxx

(27)

根據(jù)最小二乘法可得應(yīng)變到位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系

x=ΦSεε

(28)

為了緩解求逆過程時的矩陣病態(tài)，對方程進行正則化，引入正則化矩陣β，令Sε,β=(ψTψ+β)-1ψT得

x=ΦSε,βε

(29)

當(dāng)以應(yīng)變響應(yīng)作為識別依據(jù)的時候，根據(jù)位移應(yīng)變關(guān)系得

(30)

值得注意的是在應(yīng)變-位移轉(zhuǎn)換過程中，必須保證應(yīng)變測點nε,d≥m，從而保證式(28)在正定或超定條件下求解。

3 正則化方法及參數(shù)選取

一般在對式(14)和式(28)進行求解的時候采用傳統(tǒng)的最小二乘法就可直接求解。但是當(dāng)系統(tǒng)矩陣條件數(shù)太大時，系統(tǒng)矩陣病態(tài)，會導(dǎo)致反求結(jié)果失真。此時需要采用正則化方法來緩解模型的不適定性。

本文參考文獻[13]采用的是擴展Tikhonov方法。以一個一般的線性系統(tǒng)為例

AX=Y

(31)

(32)

(33)

正則化參數(shù)λ是平衡正則解的穩(wěn)定性和精度的重要因素，λ過大精度低，過小則不穩(wěn)定。

確定正則化參數(shù)在噪聲水平未知的情況下一般有L曲線法和廣義交叉驗證準(zhǔn)則，但是在實際應(yīng)用時，L曲線常出現(xiàn)曲線不明顯，參數(shù)不好選擇的情況。所以本文采用廣義交叉驗證準(zhǔn)則選取。其形式為

(34)

值得注意的一點就是若其中A是一維向量時，則采用廣義交叉驗證準(zhǔn)則確定的正則化參數(shù)始終為0，即此時正則化方法無效，此時需要濾波等手段提高系統(tǒng)的魯棒性。

本文在對式(14)和式(28)進行正則化時均采用上述方法。

4 海洋衛(wèi)星的沖擊載荷識別

為了對所述方法的正確性性和數(shù)值特性進行論證，本文根據(jù)文獻[14]建立了海洋一號(HY-1)衛(wèi)星的有限元模型，并嘗試對它進行載荷辨識。

模型結(jié)構(gòu)材料都采用碳纖維蜂窩復(fù)合材料(除了對接環(huán))，各板之間采用剛性連接，電子設(shè)備采用非結(jié)構(gòu)質(zhì)量模擬，太陽能帆板采用集中質(zhì)量模擬。

如圖1所示在衛(wèi)星的側(cè)板施加單點瞬態(tài)載荷，載荷形式為

F=2 000sin(π/0.002t),t≤0.02 s

采用有限元軟件Nastran得到衛(wèi)星的位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)以及動力學(xué)響應(yīng)，測量的位移為各節(jié)點上的位移，測量的應(yīng)變?yōu)楦鲉卧行摹?/p>

圖1 海洋衛(wèi)星有限元模型Fig.1 Oceanic satellite finite element model

4.1 基于位移響應(yīng)的識別

工況描述：模擬衛(wèi)星在軌時受沖擊情況，衛(wèi)星受到一個垂直于板面的鋸齒波載荷作用(單點激勵)，載荷作用時間0.04 s，模型不受約束。

單點激勵時，式(14)中的FI只有一個奇異值，矩陣條件數(shù)為1，矩陣呈良態(tài)，無需正則化，令α=0。

從圖2可以看出，在測量響應(yīng)中無噪聲時，所建立的載荷識別模型能夠很好地對所作用的沖擊載荷進行識別。

從圖3可以看出絕對誤差在開始階段會出現(xiàn)一個極大值，然后迅速穩(wěn)定在某一水平上。開始時誤差產(chǎn)生極大值的原因是：采用五點差分格式導(dǎo)致速度從第三點開始計算，而前兩點是通過直接線性插值，速度誤差較大。由于是非遞推關(guān)系，所以此誤差不存在積累，識別結(jié)果的精度在起始幾點后仍得到保證。誤差方向相反大小相等是由于識別模型假設(shè)時間步長內(nèi)載荷不變，所以一直存在一個與斜率相關(guān)的誤差，載荷斜率方向改變所以誤差方向也隨之改變，用更高階的多項式來近似時間步長內(nèi)的載荷可以減小該誤差。

圖2 無噪聲識別結(jié)果Fig.2 No noise recognition results

圖3 無噪聲時識別絕對誤差Fig.3 Absolute error of no noise recognition

4.2 基于應(yīng)變響應(yīng)的識別

整個模型共4 786個節(jié)點，選取150個單元中心的應(yīng)變值作為測點數(shù)據(jù)，選取包含載荷作用點在內(nèi)的50個節(jié)點的位移模態(tài)信息進行識別。

矩陣ψ的條件數(shù)為204.635 9遠大于1，矩陣病態(tài)需要引入正則化參數(shù)λ。

從圖4可以看出所述的應(yīng)變位移轉(zhuǎn)化關(guān)系能夠在極小的誤差范圍內(nèi)將應(yīng)變響應(yīng)轉(zhuǎn)化為位移響應(yīng)。

圖4 無噪聲正則化時轉(zhuǎn)化過程絕對誤差Fig.4 Absolute error of conversion without noise and regularization

從圖5中可以看出當(dāng)測量的響應(yīng)信號中存在噪聲干擾時，由于矩陣的病態(tài)會導(dǎo)致結(jié)果誤差較大，影響了識別結(jié)果精度。所以需要引入正則化對噪聲進行抑制，采用n=3的擴展Tikhonov正則化再根據(jù)廣義交叉驗證準(zhǔn)則確定正則化參數(shù)為0.334 8，結(jié)果如圖5所示。

對轉(zhuǎn)換關(guān)系式進行正則化后，圖6顯示誤差穩(wěn)定在了一個很小的范圍內(nèi)，沒有出現(xiàn)失真現(xiàn)象，即通過應(yīng)變響應(yīng)的識別結(jié)果與直接通過位移響應(yīng)的識別結(jié)果基本一致，識別精度都很高。

圖5 信噪比20 dB未則化時轉(zhuǎn)化絕對誤差Fig.5 Relative error of conversion with 20 dB signal-noise ratio without regularization

圖6 信噪比20 dB正則化后轉(zhuǎn)化絕對誤差Fig.6 Relative error of conversion with 20 dB signal-noise ratio with regularization

圖7 無噪聲時基于應(yīng)變響應(yīng)的識別結(jié)果Fig.7 Noise-free identification result based on strain response

從圖8可以看出識別結(jié)果嚴重失真主要原因有兩個：

(1)速度采用差分得到，會引入高頻干擾，雖然在對應(yīng)變—位移的轉(zhuǎn)換過程進行正則化后會降低噪聲的干擾，但是速度差分后會重新引入高頻噪聲。

(2)單點激勵時式(30)中FI的只有一個奇異值，本例中FI的奇異值為5.743 9×10-9,由奇異值分解理論得

(35)

由于奇異值很小導(dǎo)致噪聲誤差被放大導(dǎo)致結(jié)果失真。

圖8 信噪比20 dB時識別結(jié)果Fig.8 Result with regularization when signal-noise ratio is 20 dB

單點激勵時，小奇異值引起的誤差由于只有一個奇異值無法通過正則化減小，只有減小響應(yīng)中的噪聲誤差err項。減小響應(yīng)中的噪聲誤差只有引入濾波，本文采用八階的最小二乘平滑濾波對由應(yīng)變轉(zhuǎn)換得到的位移響應(yīng)進行濾波后進行識別結(jié)果，如圖9所示。

圖9 信噪比20 dB時濾波后識別結(jié)果Fig.9 Result without regularization when signal-noise ratio is 20 dB

從圖9可以看出當(dāng)對轉(zhuǎn)換得到的位移響應(yīng)進行濾波處理后，識別結(jié)果基本處在了理論值附近，大大提高了識別進度和識別模型的魯棒性。同時也得出當(dāng)載荷作用點較少時，或是系統(tǒng)矩陣雖然條件數(shù)不大但是奇異值均較小時，采用正則化的處理對噪聲的抑制作用不大，此時需要引入濾波方法對響應(yīng)進行處理。

5 自由梁的錘擊載荷識別

為了驗證所述方法在實際中的應(yīng)用，本文設(shè)計了如圖10所示的自由梁實驗裝置，梁的基本參數(shù)為長1 200 mm,寬65 mm,厚4.5 mm，密度為7 850 kg/m3,彈性模量為210 000 MPa,泊松比為0.33。利用橡皮繩將梁豎直懸掛以近似自由-自由約束，在梁的一側(cè)均勻布置13個FBG傳感器記錄傳感器應(yīng)變響應(yīng)。該梁的位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)信息如表1 和表2 所示。采用力錘敲擊梁未布置傳感器的一側(cè)與傳感器相對的位置，并記錄力的數(shù)據(jù)。實驗結(jié)果如圖11所示，識別結(jié)果如圖12所示。對信號進行濾波時仍采用平滑濾波，但是在靠近峰值時濾波效果逐漸減弱，以減輕濾波對沖擊響應(yīng)幅值的影響。

圖10 實驗裝置圖Fig.10 Experiment equipment

特征頻率/Hz位移模態(tài)振型16.61045.77689.717148.270

表2 位移模態(tài)信息

從圖12可以看出識別出的錘擊力的大小和作用時刻與測量的力信號基本一致，作用時間由于噪聲影響較實際偏長。實際中對瞬態(tài)沖擊響應(yīng)的幅值和作用時刻更為關(guān)心，所以本文方法在實際中仍有很好的價值。

圖11 錘擊點應(yīng)變響應(yīng)Fig.11 Strain of the impact point

圖12 識別結(jié)果與測量得到的力信號Fig.12 Identification result and measured force

6 結(jié) 論

本文所提方法主要是基于結(jié)構(gòu)的應(yīng)變模態(tài)參數(shù)和位移模態(tài)參數(shù)，運用應(yīng)變響應(yīng)來識別載荷。一方面由于光纖光柵的廣泛應(yīng)用，運行飛行器的多通道動應(yīng)變響應(yīng)測量進入實用化，因此利用多應(yīng)變完成飛行器結(jié)構(gòu)載荷識別成為可能；另一方面，通常應(yīng)變響應(yīng)對低頻載荷更為敏感，基于應(yīng)變響應(yīng)的載荷識別無疑豐富了載荷識別的手段。

本文通過仿真與實驗算例對所提方法進行了驗證，結(jié)果表明：第一，方法利用應(yīng)變響應(yīng)，能夠穩(wěn)定高精度地識別結(jié)果瞬態(tài)載荷；第二，應(yīng)用位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)實現(xiàn)應(yīng)變響應(yīng)到位移響應(yīng)的轉(zhuǎn)化，可以在很高的精度和穩(wěn)定性下實現(xiàn)轉(zhuǎn)換，而且過程簡單、計算量小；第三，轉(zhuǎn)化過程中存在矩陣病態(tài)問題所以需要引入正則化對其進行改善，正則化后在有噪聲干擾時能夠提高轉(zhuǎn)化精度和數(shù)值穩(wěn)定性；第四，識別過程由于采用差分求解速度會引入高頻干擾，當(dāng)系統(tǒng)矩陣維度減小時正則化對噪聲的抑制作用減小，維度為1時正則化無作用，必須采用濾波方法提高識別的精度和魯棒性。