3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例(第二課時)說課稿

孔志文 王文英

各位老師們：

大家好！我是北京市朝陽外國語學(xué)校的數(shù)學(xué)教師孔志文.很高興能有機會參加這次教學(xué)研討活動，向各位老師們學(xué)習(xí).

我說課的題目是《函數(shù)模型的應(yīng)用實例》.下面我將從教學(xué)背景說明、教學(xué)內(nèi)容分析、學(xué)習(xí)者分析、教學(xué)目標(biāo)及重難點、教學(xué)過程設(shè)計、教學(xué)特點及反思這六個方面對本節(jié)課進行說明.

1 教學(xué)背景說明

1.1 指導(dǎo)思想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》提出，通過數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)，“學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界的關(guān)聯(lián)，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗.”可見，數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課程中的地位和作用.

1.2 理論依據(jù)

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認為：“數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造.”將現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，讓學(xué)生置身于“數(shù)學(xué)實驗室”，可為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)實驗和探究的環(huán)境，促進學(xué)生積極探索數(shù)學(xué)問題，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

2 教學(xué)內(nèi)容說明

《函數(shù)模型的應(yīng)用實例》選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書人教A版必修1中的第3.2.2節(jié).函數(shù)模型的應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)有著重要的意義.它主要包含三個方面的內(nèi)容：利用給定的函數(shù)模型解決實際問題，建立確定性函數(shù)模型解決問題和建立擬合函數(shù)模型解決實際問題.本節(jié)課的主要內(nèi)容為建立擬合函數(shù)模型解決實際問題.

3 學(xué)習(xí)者分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解了函數(shù)的圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系，尤其是學(xué)習(xí)了3.2.1幾類不同的函數(shù)增長模型，對利用函數(shù)模型解決實際問題有一定的了解.授課班級學(xué)生有過用幾何畫板研究簡單基本函數(shù)的經(jīng)歷，但不夠熟練，學(xué)生有著較強的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生對統(tǒng)計數(shù)表和散點圖的處理缺乏有效手段，對擬合函數(shù)認可度不夠，這些都給學(xué)生選擇合適的模型造成一定的困難.

為了更好地了解任教班級學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，我擬定了2個試題（詳細情況請參看附件），用以了解學(xué)生對常見函數(shù)的熟練程度及求解能力.

通過對課前調(diào)查第1題（求二次函數(shù)解析式，見附件），發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生（30人）能夠運用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式.

通過對課前調(diào)查第2題（求類指數(shù)函數(shù)解析式，見附件），發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生能夠正確求解類指數(shù)函數(shù)的解析式.

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容分析和學(xué)習(xí)者分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點和難點如下：

教學(xué)重點：建立合適的擬合函數(shù)模型解決問題.

教學(xué)難點：建立、選擇合適的函數(shù)模型.

4 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析.我確定本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過數(shù)學(xué)建模活動，了解數(shù)學(xué)建模的一般過程，會建立確定性函數(shù)模型;

（2）借助信息技術(shù)，利用數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象，探究出合適的擬合函數(shù)模型;在建立模型的過程中，掌握建模解決實際問題的基本思路和方法，體會數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想;

（3）學(xué)生經(jīng)歷探究函數(shù)模型，體驗合作探究的樂趣，體驗函數(shù)是描述變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

5 教學(xué)過程設(shè)計

為了達成上述教學(xué)目標(biāo)，在具體教學(xué)中，我把這次課分為以下五個階段：

下面對每個階段教學(xué)中希望解決的問題和教學(xué)步驟作出說明：

5.1 創(chuàng)設(shè)情境

這個階段學(xué)生需要理解實際問題，并將實際問題數(shù)學(xué)化，即通過閱讀、理解題意，能知道以身高為自變量、體重為因變量進行研究.對于學(xué)生來說，此背景很容易理解，不需要教師過多解釋.

問題：某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表.

（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式.

（2）若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

活動意圖說明 以學(xué)生熟悉的問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.5.2 小組合作建模

本節(jié)課在計算機房分組合作學(xué)習(xí)，每個組員都需要清楚自己的任務(wù)，在任務(wù)驅(qū)動下，大家才能緊張有序地進行學(xué)習(xí)，否則，在機房學(xué)習(xí)很容易浪費時間.因此，我設(shè)計了活動1，保證學(xué)生能高效進行探究活動.

活動1 明確小組任務(wù).

①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)各組員獨立地找到男性體重和身高的函數(shù)關(guān)系;

②小組每個成員把自己得到的函數(shù)關(guān)系和同組同學(xué)的函數(shù)關(guān)系比較，是不是同一類函數(shù)？如果是同一類函數(shù)，函數(shù)解析式是否相同？

③如果是同一類函數(shù)，為什么不是同一個函數(shù)解析式，請通過討論說服本組其他同學(xué)？如果不是同一類函數(shù)，可以嗎？給出理由;

④請各組派一個成員代表本組闡述本組想法、做法.

活動意圖說明 合作學(xué)習(xí)首先要做的就是讓全體成員明確在本小組的任務(wù)是什么，每個成員將自己探究出的函數(shù)模型和本組其他成員比較，分析產(chǎn)生不同的原因.通過討論、交流找到模型不一樣的原因，這個環(huán)節(jié)指向模型的選擇、建立及檢驗.

各組學(xué)生明確自己的任務(wù)后，就得開始建立模型了.由于部分學(xué)生使用幾何畫板不熟練，并且沒有用幾何畫板作散點圖的經(jīng)歷，為了幫助全體同學(xué)掌握畫散點圖的技能，我設(shè)置了活動2，目的是讓每一個同學(xué)都會畫散點圖.

活動2 請同學(xué)們在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點圖.

活動意圖說明 將表格數(shù)據(jù)變成點，這是研究函數(shù)的第一步;通過本活動，學(xué)生感悟到畫散點圖是研究函數(shù)的基本手段之一，是研究函數(shù)的常用方法.學(xué)生經(jīng)歷這個過程，充分體驗數(shù)形結(jié)合思想在研究函數(shù)問題中的作用，也為進一步選擇函數(shù)模型作鋪墊.

教師在巡視過程中，適時給不會用幾何畫板畫散點圖的同學(xué)給予點撥之后引導(dǎo)學(xué)生進入活動3，選擇函數(shù)模型并初步求解.

活動3 根據(jù)上面的散點圖，你認為我們學(xué)過的哪一類函數(shù)的圖象與之比較接近，并求出其解析式.

根據(jù)散點圖的走向，結(jié)合學(xué)生自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，容易判斷出函數(shù)可能是指數(shù)函數(shù)也可能是二次函數(shù).可能的結(jié)果如下：

活動意圖說明 根據(jù)散點圖的趨勢，從學(xué)過的函數(shù)中選擇適合的函數(shù)模型，然后通過待定系數(shù)法求解，學(xué)生對不同函數(shù)的熟練程度，選擇的函數(shù)模型不一樣.

5.3 匯報、交流、檢驗?zāi)Ｐ?/p>

本節(jié)課的教學(xué)重點、難點需要在這個階段突破.通過各個小組代表的交流、討論、生生評價、教師點評，學(xué)生掌握建立、求解函數(shù)模型的方法及檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)劣的方法.由于任務(wù)1中要求同組學(xué)生取得統(tǒng)一結(jié)果，各組代表就可以將本組統(tǒng)一結(jié)果和全班同學(xué)交流，即活動4.

活動4 請各組派一個組員將本組求出的函數(shù)圖象與散點圖在同一個坐標(biāo)系中做出來，并判斷求出的函數(shù)是否滿足題意？

各組可能的結(jié)果如下：

活動意圖說明 根據(jù)散點圖的趨勢，學(xué)生會選擇不同類型的函數(shù)模型，通過待定系數(shù)法求出相應(yīng)的解析式，作出擬合函數(shù)圖象，根據(jù)擬合效果，讓組內(nèi)和不同組學(xué)生進行評價.通過師生評價、生生評價，同學(xué)們逐步認識到數(shù)學(xué)模型的多樣性，而非唯一，只要保證散點圖均勻分布在求出的函數(shù)圖象兩側(cè)即可.

在此活動中，學(xué)生不僅交流自己組的函數(shù)模型（結(jié)果），也會交流函數(shù)是如何得到的？比如，二次函數(shù)，先選擇其中3個點，然后用待定系數(shù)法求解（見上），學(xué)生都能感受到求解過程中計算量較大（事實上，在數(shù)學(xué)建模過程計算量都會較大，因此借助軟件計算或者計算器計算就顯得非常必要），然后將求得的函數(shù)圖象與散點圖進行比較.

學(xué)生在完成任務(wù)1的過程中，還會產(chǎn)生這么個問題？同組同學(xué)選用的不是同類函數(shù)，該如何選擇呢？

活動5 本小組中擬合函數(shù)是同類型函數(shù)，但解析式不同的，請分別在不同坐標(biāo)系中作出求得的擬合函數(shù)圖象，并討論哪個擬合函數(shù)更好？應(yīng)用求得的函數(shù)解析式，解決問題.

預(yù)設(shè)：在本活動中，學(xué)生可能會想到類指數(shù)函數(shù)，通過對函數(shù)圖象擬合、討論、比較，學(xué)生養(yǎng)成檢驗?zāi)Ｐ偷囊庾R.

活動意圖說明 選定了函數(shù)的類型，選擇的點不一樣，求出來的解可能是不同的，擬合效果也大不相同，這不借助信息技術(shù)是很難作出判斷的.這是檢驗?zāi)Ｐ褪欠駶M足條件的難點，也是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié).本節(jié)課只要求學(xué)生能做出感性判斷（散點均勻分布在所求函數(shù)兩側(cè)）即可，要增強模型優(yōu)化意識.

至此，學(xué)生經(jīng)歷了建立擬合函數(shù)模型的全過程：畫散點圖、選擇模型、求解模型、檢驗?zāi)Ｐ?，同時深刻體會到計算機的不可或缺作用.

5.4 歸納、提升

為了進一步幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的過程、培養(yǎng)學(xué)生的概括和語言表達能力，我在課堂小結(jié)設(shè)置了2個問題，其中問題2是引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)習(xí)方式的變化引起的問題解決方式的變化：合作討論解決問題、實驗解決問題等等.

活動6 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)請回答以下2個問題：

（1）請你談?wù)勛约航?jīng)歷的數(shù)學(xué)建模過程;

（2）在數(shù)學(xué)建模的過程中，你遇到了什么困難？如何解決的？

活動意圖說明 學(xué)生通過回顧本節(jié)課所學(xué)經(jīng)歷的合作過程以及研究方法，有利于學(xué)生系統(tǒng)地了解數(shù)學(xué)建模的基本過程，對擬合函數(shù)模型有了更清晰的理解.學(xué)生回顧利用幾何畫板作出擬合函數(shù)的圖象，觀察散點在圖象的分布情況，從而選擇合適的模型，深刻體會信息技術(shù)在建模中的應(yīng)用.

5.5 課后實踐

請各小組通過網(wǎng)絡(luò)找到我國2005—2014年的國內(nèi)生產(chǎn)總值，并將其列表.然后依據(jù)表格數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測2015年的國內(nèi)生產(chǎn)總值.

6 教學(xué)特點及反思

6.1 教學(xué)特點

1.教師設(shè)置活動，學(xué)生經(jīng)歷畫散點圖、選擇模型、求解模型、檢驗?zāi)Ｐ偷冗^程，置身于“數(shù)學(xué)實驗室”，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

2.本節(jié)課以幾何畫板為工具，借助網(wǎng)絡(luò)進行交流、展示，學(xué)生深度參與，本節(jié)課為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)開了一扇門.

3.發(fā)展性評價.數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)不是一節(jié)課就能培養(yǎng)出來的，而是經(jīng)過多年的學(xué)習(xí)實踐積累起來的，因此在課堂上對同學(xué)的點滴成功及時給予肯定，鼓勵他們通過信息手段、同組討論、實驗等方式解決遇到的困難.

6.2 反思不足

本節(jié)課一定有不少值得改進的地方，比如素材中的數(shù)據(jù)可由學(xué)生們自己來收集、整理，因為本節(jié)課在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下這還是比較容易實現(xiàn)的，這樣更真實體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的完整過程：收集數(shù)據(jù)、畫散點圖、選擇模型、求解模型、檢驗?zāi)Ｐ?其次，學(xué)生在選擇3點用待定系數(shù)法求二次函數(shù)時，由于數(shù)據(jù)的真實性，相關(guān)參數(shù)求解花費時間較多，是不是可以考慮在上本課前，給學(xué)生培訓(xùn)MATLAB的簡單應(yīng)用，這樣能節(jié)省一些時間.

以上就是我的說課內(nèi)容，不足之處，懇請各位老師批評、指正.謝謝！