C-半群高階微分算子的譜

劉 瑞， 王小霞

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 延安 716000)

在經(jīng)典算子半群理論中， 譜映射定理是非常重要的組成部分， 許多數(shù)學(xué)工作者對(duì)此進(jìn)行了廣泛的研究， 文獻(xiàn) [1-6]研究了C0-半群、C-半群和積分C-半群T(t)的譜， 文獻(xiàn)[7-8]研究了雙參數(shù)C0-半群和雙參數(shù)C-半群譜， 本文在C-半群的基礎(chǔ)上， 結(jié)合文獻(xiàn)[9]討論了C-半群T(t)的高階微分算子T(n)(t)的譜以及T(n)(t)的譜和T(t)無(wú)窮小生成元A的譜之間的關(guān)系.

定義1[10]設(shè)X為Banach空間，B(X)是X中有界線性算子全體，C∈B(X)是單射，B(X)中的算子族{T(t)∶t≥0}稱為C-半群， 如果滿足：

1)T(0)=C;CT(t+s)=T(t)T(s);

其生成元A定義為

定義2[3]設(shè){T(t)∶t≥0}是復(fù)Banach空間X上C-的半群， 稱集合

}λ∈C∶(λC-T(t))-1∈B(x),t≥0}

為C-半群{T(t)∶t≥0}的預(yù)解集， 記為ρ(T(t))；稱集合Cρ(T(t))為C-半群{T(t)∶t≥0}的譜， 記為σ(T(t)).

定義3[11]設(shè){T(t)∶t≥0}是X上C-的半群， 若存在t0>0使得對(duì)每個(gè)x∈X，T(t)x關(guān)于t>t0在X上可微， 則稱{T(t)∶t≥0}是t>t0的可微C-半群；若T(t)x關(guān)于t>0在X上可微， 則稱{T(t)∶t≥0}是可微C-半群.

引理1[12]設(shè){T(t)∶t≥0}是由A生成的C-半群， 則T(t)x∈D(A)且

x∈D(A),t≥0.

1) (λI-A)Bλ(t)x=eλtCx-T(t)，x∈X；

2)Bλ(t)(λI-A)x=eλtCx-T(t)x，x∈D(A).

定理1 設(shè){T(t)∶t≥0}是由A生成的t>nt0的可微C-半群， 若λ∈σ(A)， 則λneλt∈σ(T(n)(t))， 即λnetσ(A)?σ(T(n)(t)).

AT(t)x+λT(t)x+λ2Bλ(t)x,

…

由引理2有(λI-A)Bλ(t)x=eλtCx-T(t)x， 兩端同時(shí)關(guān)于t求n次導(dǎo)數(shù)可得

即

定義4[3]設(shè){T(t)∶t≥0}是復(fù)Banach空間X上的C-半群， 對(duì){T(t)∶t≥0}的譜σ(T(t))進(jìn)行如下分類：

若(λC-T(t))-1不存在， 則稱λ為C-半群 {T(t)∶t≥0} 的點(diǎn)譜， 記為σp(T(t))；

由定義4， 譜分為三個(gè)互不相交的部分， 即點(diǎn)譜、連續(xù)譜和剩余譜.下面將討論對(duì)于可微C-半群{T(t)∶t≥0}， 它的高階微分算子T(n)(t)的譜各個(gè)部分與T(t)的生成元A的譜相應(yīng)部分之間的關(guān)系， 首先考慮點(diǎn)譜.

定理2 設(shè){T(t)∶t≥0}是由A生成的t>nt0的可微C-半群， 則

λnetσp(A)?σp(T(n)(t))=λnetσp(A)∪{0}.

更明確的就是：

1) 如果λ∈σp(A)， 則λneλt∈σp(T(n)(t))；

證明1)如果λ∈σp(A)， 則存在x0∈D(A)且x0≠0使得

(λI-A)x0=0,

2) 如果λneλt∈σp(T(n)(t))， 則存在x0∈D(A) 且x0≠0使得

(λneλtC-T(n)(t))x0=0.

a) 若λ=0， 則顯然λneλt=0；

b) 若λ≠0， 令f(s)=λ-ne-λsT(n)(s)， 作為s的函數(shù)它不恒為零， 將f(s)以t為周期進(jìn)行奇式或偶式延拓， 其Fourier系數(shù)必有一個(gè)不為零， 從而存在k∈N使得

令‖T(t)‖≤Meωt， 則當(dāng)Reμ>ω時(shí)， 由引理3有

又

因?yàn)锳是閉的， 有xk∈D(A)且(λkI-A)xk=0， 所以，λk∈σp(A).

下面對(duì)連續(xù)譜和剩余譜進(jìn)行研究.

引理4[15]設(shè)Y是賦范線性空間X的真閉子空間， 又設(shè)x0∈XY為任意， 則存在x*∈X′且x*≠0使得對(duì)一切y∈Y， 有〈x*,y〉=0.