基于多目標(biāo)的平面折疊優(yōu)化問(wèn)題的研究

康彤，張紅

(中國(guó)傳媒大學(xué)理工學(xué)部，北京 100024)

1 引言

創(chuàng)意平板折疊桌，來(lái)自設(shè)計(jì)師Robert van Embricqs的創(chuàng)意，算是平板餐桌的姐妹篇 ，它可以從一個(gè)平面的木板變成一個(gè)完整的邊桌，同時(shí)也可從一個(gè)造型優(yōu)美的邊桌變成一個(gè)固態(tài)的平行木板。

2 問(wèn)題敘述

本題一個(gè)關(guān)于在設(shè)計(jì)平板折疊桌的實(shí)際問(wèn)題中同時(shí)要考慮桌子的穩(wěn)定性、加工易度和材料用量的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。我們假定折疊桌的尺寸120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，通過(guò)觀察折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，得到平板折疊桌在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，每條桌腿上的鋼筋到xoy平面的距離時(shí)刻相同，到xoz平面的距離也時(shí)刻相同。我們根據(jù)這些信息利用LINGO編程就可以得到給定折疊桌的動(dòng)態(tài)變化模型、桌腿木條開槽位置以及桌腿木條開槽長(zhǎng)度。

2.1 符號(hào)說(shuō)明及名詞定義

Lboard 平板木材的長(zhǎng)度Wboard 平板木材的寬度Tboard 平板木材的厚度dleg 平板折疊桌每條腿的寬度n 平板折疊桌桌腿數(shù)量的四分之一θi 第i個(gè)桌腿與桌面的夾角,其中i=(1,2,,n)lileg 第i條桌腿的長(zhǎng)度,i=1,2,,ndicaomax 第i條桌腿的上開槽與桌腿底部的最遠(yuǎn)距離,i=1,2,,ndisteel 折疊桌展開過(guò)程中,第i條腿上的鋼筋與桌腿底部的距離,i=1,2,,ndicaomin 第i條桌腿的上開槽與桌腿底部的最近距離,i=1,2,,nlicao 第i條桌腿的上開槽的長(zhǎng)度,i=1,2,,ndsteel 第n條桌腿(最外側(cè)桌退)上鋼筋固定處與桌腿底部的距離Htable 平板折疊桌使用時(shí)的高度xi 第i個(gè)平臺(tái)不屬于時(shí)取1,屬于時(shí)取0tipi 第i個(gè)桌腳邊緣點(diǎn)tipxi 第i個(gè)桌腳邊緣點(diǎn)的x軸坐標(biāo)tipyi 第i個(gè)桌腳邊緣點(diǎn)的y軸坐標(biāo)tipzi 第i個(gè)桌腳邊緣點(diǎn)的z軸坐標(biāo)

2.2 模型建立與求解

2.2.1 建模準(zhǔn)備

首先我們建立以桌面底面中心為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系O_xyz，其中平板長(zhǎng)邊平行于y軸，寬邊平行于x軸(如圖1)。由于桌子關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)前后左右對(duì)稱，故以下大多地方的討論都是在第一卦限和第五卦限范圍內(nèi)。從圖1中可以發(fā)現(xiàn)在第一卦限和第五卦限范圍內(nèi)桌腿的數(shù)目是折疊桌總桌腿數(shù)量的1/4(n)，木條的數(shù)目是折疊桌總木條數(shù)目的1/2。

示意圖①

示意圖②圖1 空間直角坐標(biāo)系中的折疊桌示意圖

2.2.2 桌面模型的設(shè)計(jì)

先把桌面看成一個(gè)規(guī)則的圓利用幾何畫板畫出桌面形狀(如圖2所示)。由于桌面上下左右對(duì)稱的，我們只需要考慮桌面在第一象限的的形狀即可。

圖2

利用MATLAB軟件建立一個(gè)只要輸入桌腿的個(gè)數(shù)、木板的長(zhǎng)度、桌面半徑，就可以返回腿長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，其中里面的計(jì)算步驟是先求出節(jié)點(diǎn)(圖1中線段與圓的交點(diǎn))的橫坐標(biāo)，即

其中r表示圓的半徑、i表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)編號(hào)從中心向外側(cè)依次為1、2、、r)。

關(guān)于桌腿的長(zhǎng)度的計(jì)算我們先給出幾個(gè)計(jì)算的方案，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)桌腿的長(zhǎng)度取1/2板長(zhǎng)與兩節(jié)點(diǎn)橫坐標(biāo)之和的差值時(shí)，桌面比較好看(如圖3所示)，即

示意圖①

示意圖②圖3 桌面形狀示意圖

2.2.3 動(dòng)態(tài)變化模型的建立

通過(guò)觀察分析折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，得到平板折疊桌在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，每條桌腿上的鋼筋到xoy平面的距離時(shí)刻相同，到xoz平面的距離也時(shí)刻相同，因此可以分別記為Steelxoy和Steelxoz。根據(jù)第i條桌腿和桌面的位置關(guān)系(圖4)，可以得到：

(1)

(2)

其中Tboard為平板沿y軸方向的長(zhǎng)度。

圖4 第i條桌腿和桌面的位置關(guān)系

同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)折疊桌在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中總是只有最外側(cè)的4條腿著地(圖5①)，故折疊桌的高度應(yīng)取決于最外側(cè)的桌腿，也就是第n條腿(圖5②)。容易得到第n條桌腿與折疊桌變化過(guò)程中的高度htable的關(guān)系。

(3)

①

②圖5 第n條桌腿與折疊桌高度的關(guān)系

實(shí)際生活中，設(shè)計(jì)的折疊桌必須能夠?qū)嵱貌庞幸饬x(圖6①)，對(duì)于由活動(dòng)鉸鏈連接的折疊桌，當(dāng)所有桌腿與桌面的夾角都小于π/2，則在承載重物時(shí)將有失穩(wěn)定性；當(dāng)存在夾角大于π/2的桌腿，將形成剪式結(jié)構(gòu)，使穩(wěn)定性得到保障。另外，從物理學(xué)角度分析：若存在夾角大于π/2的桌腿，在桌腿之間的受力情況會(huì)出現(xiàn)如圖6②所示的情形，F(xiàn)1為地面對(duì)最外側(cè)桌腿(第n條腿)的支持力，F(xiàn)2為鋼筋對(duì)最內(nèi)側(cè)腿(第1條腿)的支持力，F(xiàn)合為兩桌腿對(duì)桌面及其桌上物體的支持力。顯然此情況下桌腿的穩(wěn)固性得到了保障。若所有桌腿與桌面的夾角都小于π/2，顯然最外側(cè)的桌腿所受合理的方向偏向左，左腿會(huì)向左滑動(dòng)，折疊桌就失去了穩(wěn)定性。

故折疊桌可以正常使用的充要條件是最外側(cè)桌腿滿足

(4)

另外，最內(nèi)側(cè)的桌腿滿足

(5)

① ②圖6 桌子受力示意圖

綜上所述，聯(lián)立公式(1)-(5)，并考慮到變量的范圍可以建立刻畫平板折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的初等模型

(1)動(dòng)態(tài)變化模型

(2)給定折疊桌的桌腿長(zhǎng)度的計(jì)算

利用MATLAB建立關(guān)于桌腿長(zhǎng)度的程序文件，輸入此折疊桌的桌腿數(shù)量的1/4(10)、木板的長(zhǎng)度120cm、桌面半徑25cm，就可以得到第一卦限和第五卦限內(nèi)桌腿的長(zhǎng)度(如表1所示)

表1 給定折疊桌的桌腿長(zhǎng)度

3 總結(jié)

編程實(shí)現(xiàn)方面，使用了LINGO的子模型功能，大大降低代碼篇幅。完全使用文本文件實(shí)現(xiàn)MATLAB和LINGO間的數(shù)據(jù)傳遞，提高了自動(dòng)化，降低了手工勞動(dòng)量。