孫曉峰,湯 捷,袁玉金,張克博,陳 燁,胡喬波

(1.東北石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，黑龍江 大慶163318; 2.中油國際拉美公司，巴西 里約熱內(nèi)盧 999074)

水平井的大斜度和水平井段鉆進過程中，當(dāng)停止循環(huán)(如接單根作業(yè))或鉆井液排量較低時會引起環(huán)空巖屑沉降并堆積于井眼低邊，形成穩(wěn)定的巖屑床。巖屑床會導(dǎo)致鉆柱扭矩增大、拖壓等問題，室內(nèi)實驗和現(xiàn)場實踐均表明，井斜角>50°時造斜井段和水平井段巖屑沉積最為嚴(yán)重[1-3]。

圖1 環(huán)空內(nèi)床面顆?？刂企w幾何示意圖Fig.1 Geometric sketch showing particle control body in annulus

目前用于描述巖屑運移理論模型可以分為2類，一類理論假設(shè)和實驗觀察結(jié)合的固液分層計算模型，如兩層巖屑運移模型[4-5]、三層巖屑運移模型[6-8]，可以用于計算巖屑床沉積高度、運移效率等參數(shù)；另一類是計算鉆井液攜巖運移時所需的臨界流速預(yù)測模型[9-10]，以臨界流速抑制巖屑床生成，保持井眼清潔。相比較而言，臨界啟動流速預(yù)測模型易于理解其物理意義，可以直接用于指導(dǎo)現(xiàn)場工程人員優(yōu)選排量。

臨界流速預(yù)測模型中的拖拽力與拖拽系數(shù)有關(guān)，因拖拽系數(shù)經(jīng)驗?zāi)Ｐ捅姸啵绾芜x擇模型，現(xiàn)場工程人員并不容易掌握。本文應(yīng)用邊界層繞流速度基本原理解析求解顆粒表面切力，并將拖拽力用表面切力代替，結(jié)合舉升力和顆粒間相互作用力，建立床面顆粒臨界啟動流速模型。

1 巖屑床床面顆粒受力分析

經(jīng)過大量文獻調(diào)研，在不影響計算精度的情況下，建立模型之前做以下假設(shè)：①鉆井液為不可壓縮介質(zhì)；②實際不規(guī)則巖屑顆粒用相同顆粒直徑和球形度的球體顆粒代替；③實際巖屑床面用平均床面代替；④鉆井環(huán)形空間為同心環(huán)空，且鉆桿不旋轉(zhuǎn)。根據(jù)以上假設(shè)條件，對床面巖屑顆粒的啟動過程進行分析和模型推導(dǎo)。

1.1 床面巖屑顆粒表面切力

1.1.1 環(huán)空表面繞流切力

井壁與鉆桿形成的環(huán)形空間存在鉆桿壁面和井壁2個壁面，因此環(huán)空鉆井液具有雙速度梯度分布的特點，環(huán)空某一直徑環(huán)形曲面存在最大流速(圖1)。

設(shè)最大速度環(huán)形曲面對應(yīng)半徑Rc，根據(jù)E.Bobok[11]給出的表達式計算

(1)

式中：Ri為鉆桿外部半徑；Ro為井眼內(nèi)部半徑。

引入?yún)?shù)顆粒沉陷度，其定義為床面顆粒相對巖屑床床面陷入的程度

(2)

式中：ζ為顆粒沉陷度；ζ′為顆粒最低點距平均床面距離；rs為巖屑顆粒平均半徑。

如圖2所示，沿圓周選取計算點處為原點建立直角坐標(biāo)系，繞體積微元圓周位勢流速度分布為

圖2 環(huán)空巖屑床床面不同位置(γ角)處顆粒啟動幾何示意圖Fig.2 Geometry sketch showing particle initiation at different positions (γ angle) of the annulus cuttings bed

(3)

式中：u(rl)為各層體積微元對應(yīng)主流速度；rl為顆粒中心距中軸線距離。

環(huán)空內(nèi)最大流速umax可以表示為

(4)

環(huán)空內(nèi)的速度分布表達式整理為

(5)

式中：卡門常數(shù)κ=0.41。當(dāng)速度分布在Ri→Rc間時，i=1，ΔR=Rc-Ri；當(dāng)速度分布在Rc→Ro間時，i=2，ΔR=Ro-Rc。u*為摩阻流速，即表面切應(yīng)力與鉆井液密度比值的平方根；u*1為桿外壁摩阻流速；u*2為井眼內(nèi)壁摩阻流速。

表面切力表達式為

(6)

ff為液流平均摩阻系數(shù)，利用Colebrook-White[12]公式計算

(7)

式中：ε為平均表面粗糙度；Dh為有效水力直徑；Re為液流雷諾數(shù)。

假設(shè)計算點處的速度分布與距顆粒表面垂直高度y滿足u(y)=ay2+by+c，且邊界條件滿足

(8)

由馮·卡門動量積分方程[13]化簡整理得到

(9)

式中：rβ為β角對應(yīng)面積微元半徑；ν為流體運動黏度。

流體運動黏度根據(jù)下式計算

(10)

式中：n為冪律指數(shù)；K為稠度系數(shù)；ρ為鉆井液密度。

邊界層厚度δ(α)為

δ(α)=

(11)

(12)

根據(jù)該假設(shè)條件可得

(13)

其中：b=2u(rl)/(15νrβ)。

作用于微元圓周任一點處切力為

(14)

該點切應(yīng)力沿著未分離圓周積分，再沿軸線l縱向積分得總切力Fτa

(15)

函數(shù)F(a)通過積分上限函數(shù)與積分值回歸得到

F(a)=-0.1359a3+1.0201a2-0.5179a+0.0426

(16)

式中：θ為顆粒沉陷處點至顆粒中心的連線與豎直方向的夾角。

β1、β2分別滿足

(17)

式中：γ為顆粒在床面的位置角(圖2)。

圖3 床面顆粒邊界層繞流計算幾何示意圖Fig.3 Geometrical sketch showing the flow calculation of cuttings bed boundary layer

1.1.2 床面邊界層繞流切力

床面顆粒除受到環(huán)空速度梯度的影響，還受到床面黏性底層內(nèi)切力作用，用Fτb表示。如圖3所示，體積微元C從黏性底層外邊界積分至內(nèi)邊界，邊界層厚度為

(18)

式中：fb為床面的平均摩阻系數(shù)；τb為平均床面切力；δp為床面邊界層厚度。

同時

(19)

式中：βout為黏性底層積分外邊界角，指由頂部到黏性底層外邊界的張角；βin為黏性底層積分內(nèi)邊界角，指由顆粒頂部至與平均床面接觸點處張角(圖3)。

黏性底層內(nèi)部速度分布[13]為

(20)

自顆粒頂端向下積分，積分表達式為

(21)

黏性底層內(nèi)部床面邊界層切力與外部環(huán)空表面切力疊加，得沿流動方向總表面切力Fτ

Fτ=Fτa+Fτb

(22)

1.2 床面顆粒舉升力

液流流經(jīng)床面顆粒還受舉升力作用。巖屑床沉積程度不同，床內(nèi)流速ud求解方法不同。

1.2.1 巖屑沉積密實

流態(tài)為層流，根據(jù)線性達西滲流公式

(23)

式中：Kp為巖屑床滲透系數(shù)；Δp/L為L測量段內(nèi)的壓降梯度；μ為鉆井液動力黏度。

1.2.2 巖屑沉積非密實

流速較大時，根據(jù)Forchheimer歸納實驗數(shù)據(jù)給出的非達西滲流二項式求解

(24)

式中：βD為非達西系數(shù)。

非達西系數(shù)按J.Geertsma[14]的表達式計算

(25)

式中：q為巖屑床平均孔隙度(體積分數(shù))。

由Kozeny-Carman[15]多孔介質(zhì)滲透率Kp的求解公式可得

(26)

式中：c0系數(shù)取0.2；Ms為顆粒比表面積，球體顆粒的Ms=3/rs。

(27)

式中：Δps為顆粒上下壓力差值；As為垂直于液流方向顆粒的投影面積。

1.3 顆粒間相互作用力

顆粒與顆粒之間還存在黏結(jié)力作用。黃長偉等[16]轉(zhuǎn)化得到的黏結(jié)力表達式

(28)

式中：ξs=4.744×10-6kg/m；指數(shù)m=10。

關(guān)于干容重與容重比值j，根據(jù)文獻[17]對現(xiàn)場實際與室內(nèi)資料分析研究所得表達式計算

(29)

式中：δs為顆粒表面薄膜水厚度，韓其為[18]建議取0.4 μm；r0為參考顆粒半徑，取0.5 mm。

2 臨界啟動流速模型

(Fτa+Fτb)·L1+(FL-FP)·L2-Fg·L3>0
L1=rs·(1-ζ)
L2=rs·sin[arccos(1-ζ)]
L3=rs·cos[φ-arccos(1-ζ)]

(30)

式中：φ為井斜角；Fg為顆粒在鉆井液中所受浮重

(31)

式中：ρs為巖屑平均密度。

圖4 床面顆粒啟動臨界流速模型計算流程圖Fig.4 Flow chart of calculation of critical incipient velocity model for cuttings bed particle

3 床面顆粒臨界啟動流速模型與實驗對比

3.1 清水為循環(huán)介質(zhì)的實驗對比

在現(xiàn)場實際中，一般采用清水作為鉆井液介質(zhì)，故室內(nèi)實驗以清水為介質(zhì)；實驗顆粒直徑為2 mm和3 mm，且密度與實際巖屑相近。井筒內(nèi)直徑為120 mm，鉆桿外直徑73 mm，井斜角為70°。顆粒啟動過程中，應(yīng)用高速相機捕捉顆粒瞬態(tài)啟動時刻，圖像幀率為0.025 s 。

如圖5所示，模型預(yù)測值隨床面高度變化不大，無因次床面高度>0.3時與實驗測量的數(shù)值符合較好。預(yù)測值與實驗值的絕對誤差控制在0.60%～13.07%，絕對平均誤差為6.41%。當(dāng)顆粒直徑為2 mm時不需要修正；顆粒粒徑為3 mm時，模型預(yù)測值與實驗對比表明誤差較大，因未考慮壓差阻力影響，故引入表面切力修正系數(shù)。設(shè)壓差阻力為表面切力的b倍。根據(jù)顆粒直徑范圍分段修正，當(dāng)顆粒直徑為3～3.3 mm時，b=0.6。經(jīng)過修正以后臨界啟動流速預(yù)測值與實驗值接近，絕對誤差在2.51%～16.66%之間，絕對平均誤差為8.80%。

圖5 井斜角為70°時臨界流速預(yù)測值與清水實驗數(shù)據(jù)對比Fig.5 Comparison of the predicted value of critical flow velocity with the experimental data of water with drilling well angle of 70°(A)顆粒直徑2 mm; (B)顆粒直徑3 mm

圖7 粒徑=0.45 mm時臨界流速預(yù)測值與PAC溶液實驗值對比Fig.7 Comparison of the predicted value of critical flow velocity with the experimental data of PAC solution (particle size 0.45 mm)(A)井斜角90°; (B)井斜角70°

當(dāng)井斜角為90°時(圖6)，該實驗顆粒直徑范圍為3～3.3 mm，同心環(huán)空井筒內(nèi)壁直徑203.2 mm，鉆桿直徑101.6 mm；當(dāng)顆粒直徑>3 mm時，實驗測得的臨界啟動流速隨床面高度變化不大，引入修正系數(shù)b=0.7，模型的預(yù)測臨界流速與實驗測量值符合得較好，絕對平均誤差為4.84%，絕對誤差最大為8.33%，最小僅為0.29%。

圖6 井斜角90°時臨界流速預(yù)測值與清水實驗數(shù)據(jù)對比Fig.6 Comparison of the predicted value of critical flow velocity and the experimental data of water with drilling well angle of 90°

3.2 PAC溶液為循環(huán)介質(zhì)的實驗對比

當(dāng)循環(huán)介質(zhì)為具有一定黏度的PAC溶液時，將模型計算的臨界啟動流速與M.Q.Duan等[3]實驗數(shù)據(jù)進行對比(圖7、圖8)。 M.Q.Duan等的文獻中實驗用顆粒直徑分別為0.45 mm和1.4 mm，同心環(huán)空井筒內(nèi)壁直徑203.2 mm，鉆桿直徑101.6 mm。

如圖7-A所示，臨界啟動流速先增后減，變化區(qū)間較小，無因次床高0.45～0.7時，模型計算值符合實驗規(guī)律，絕對平均誤差為7.06%，最大誤差達到了20.25%；但此時無因次床面高度為0.75，超出了0.45～0.7的適用范圍。當(dāng)床面高度繼續(xù)增加時，預(yù)測值與實驗相差較大，主要原因是預(yù)測模型計算時沉陷度不變；而當(dāng)床高大于0.7時，巖屑床已基本淹沒鉆桿，顆粒因沉陷度降低更易啟動。如圖7-B所示，臨界流速預(yù)測絕對平均誤差為2.51%。

當(dāng)顆粒直徑為1.4 mm時，臨界流速預(yù)測值隨無因次床面高度增加而增加。這主要是因為當(dāng)鉆井液排量增大時，即使流通區(qū)域減小，折算后所需臨界流速也會增大(圖8)。

圖8 粒徑=1.4 mm時臨界流速預(yù)測值與PAC溶液實驗值對比Fig.8 Comparison of the predicted value of critical flow velocity with the experimental data of PAC solution (particle size of 1.4 mm)(A)井斜角90°; (B)井斜角70°

當(dāng)巖屑床孔隙較大時，床面高度對臨界啟動流速的影響較小，如巖屑直徑為2 mm、3 mm時的實驗和90°井斜角時的大顆粒(3～3.7 mm)實驗數(shù)據(jù)可知，數(shù)據(jù)圍繞某一流速值振蕩，模型預(yù)測結(jié)果在巖屑床高度較大時趨于該流速值。

4 有效沖蝕巖屑床的鉆井液臨界排量

還可預(yù)測有效沖蝕巖屑床的臨界泵排量，為現(xiàn)場優(yōu)選水平井?dāng)y屑排量提供理論指導(dǎo)。

設(shè)環(huán)空外圓與內(nèi)圓半徑的比值Ro/Ri=r*，則巖屑床上方流通區(qū)域橫截面積表達式為

(32)

式中：λo為巖屑床面與井壁交點至井眼軸心處連線與豎直方向的夾角；λi為巖屑床面與鉆桿交點至桿軸心處連線與豎直方向的夾角；h*為無因次床面高度；Af為流通區(qū)域截面積。

可以得到臨界啟動流速與泵排量間轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(33)

5 結(jié) 論

a.從床面顆粒表面繞流角度解析求解表面切力，當(dāng)巖屑直徑<3 mm時，可以用表面切力近似代替拖拽力。

b.當(dāng)鉆井液黏度較低且顆粒直徑>3 mm時，計算拖拽力需要考慮壓差阻力的影響。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)回歸結(jié)果可知壓差阻力約為表面切力的0.6倍。

c.當(dāng)循環(huán)液為牛頓流體(清水)時，預(yù)測模型所得值最大絕對平均誤差為8.80%；當(dāng)循環(huán)液為非牛頓流體(PAC溶液)時，最大絕對平均誤差為7.06%。

d.根據(jù)臨界啟動流速，可以求得保持沖蝕巖屑床的有效鉆井液臨界排量。