趙立強，繆尉杰，羅志鋒，龔云蕾，汪 鵬，李屹洋

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，四川成都610500；2.中海石油湛江分公司，廣東湛江524057；3.中國石油新疆油田公司第一采油廠，新疆克拉瑪依834000；4.中國石油新疆油田公司重油開發(fā)公司，新疆克拉瑪依834000）

酸壓已成為低滲透碳酸鹽巖油氣藏實現(xiàn)增產(chǎn)改造的重要措施。酸壓改造成功的關(guān)鍵在于酸蝕裂縫趨于閉合后仍具有一定導(dǎo)流能力的裂縫。影響酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的主要因素有：巖石類型、地層基質(zhì)滲透率、地層基質(zhì)孔隙度、酸液濾失情況、酸液類型及濃度、注酸排量、注酸時間、閉合壓力等[1]。目前，對酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的實驗方法、計算模型較多，但針對閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的計算模型及相關(guān)模擬卻十分少見。

裂縫的寬度和滲透率決定其導(dǎo)流能力，而酸蝕裂縫壁面幾何形態(tài)符合分形特征[2]，利用分形理論可以對酸蝕裂縫壁面的幾何形態(tài)進行更加準確的描述。該理論最早應(yīng)用于裂縫表面酸—巖反應(yīng)模型的研究[2]，隨后應(yīng)用于地層中酸液濾失情況的研究[3]，識別地層中的裂縫[4]及對地層中裂縫寬度的變化情況進行描述[5]等方面。在表征滲透率上，Dong[7]提出了針對碳酸鹽巖儲層中天然裂縫的酸化模型；Sarkar[8]等用斯托克斯方程對平行板裂縫中流體的流動狀態(tài)進行了模擬計算；Coakley[8]等將不規(guī)則的裂縫內(nèi)流體流動狀態(tài)進行了模擬計算，并求出了裂縫的等效滲透率；A D Hill[9]等提出了一個考慮酸蝕蚓孔影響的濾失模型。酸蝕裂縫閉合模型最早是由Gangi[1]提出的“釘床”模型；Hopkins[1]改進錐體“釘床”并計算縫寬方向上的變形量；J Deng等[1][10]對Myer模型[11]進行了改進，用多個橢圓來表征裂縫中未閉合的區(qū)域。在計算導(dǎo)流能力方面，Tsang和Witherspoon[1][12][13]模型、Gong[12][13]模型、JianyeMou[12][13]模型、J Deng[10]模型都能應(yīng)用于酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的模擬計算。

在前人的研究基礎(chǔ)上，利用優(yōu)化分形插值方法來建立粗糙裂縫壁面，求解酸壓模型，針對縫寬特征描述對Myer模型進行改進，計算出閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力，通過正交分析，對各影響因素影響程度大小進行了排序。

1 分形裂縫的建立

1.1 粗糙壁面的生成

用改進自仿射分形插值[14]，進行局部鄰域劃分和選擇合適的壓縮比，就能插出比較精確的粗糙裂縫壁面。運用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)中的變差函數(shù)理論[15]，劃分局部鄰域，實驗變差函數(shù)的計算公式為：

式中：γ*(hj)為實驗變差函數(shù)；z(xi)為在點xi處的裂縫粗糙壁面高度，m；hj為兩觀測點間的距離，m；N(hj)為間隔為hj的數(shù)據(jù)對數(shù)目。

將計算出的實驗變差函數(shù)值，在h～γ*(hj)坐標系中描出散點，再用最小二乘法理論擬合變差函數(shù)曲線從而求得變程a=a1，塊金值c0=c1，基臺值c，總基臺值c2=c0+c。取a1為局部矩形鄰域的邊長，進行局部鄰域的劃分。

則壓縮比sn,m為：

采用改進自仿射分形插值理論數(shù)值生成長100 m、高30 m、分形維數(shù)2.5、標準偏差0.000 016 m的粗糙分形裂縫壁面（圖1）。

1.2 分形裂縫生成

在分形維數(shù)2.5、標準偏差0.000 016 m的條件下數(shù)值生成的兩個粗糙裂縫壁面進行合成，形成一條具有一定寬度的裂縫，該裂縫平均縫寬為0.003 6 m，最大縫寬為0.007 4 m（圖2）。

2 分形裂縫酸壓模型

為模擬酸壓對裂縫幾何形態(tài)的影響，基于碳酸鹽巖儲層的裂縫酸壓物理模型，根據(jù)酸液質(zhì)量守恒、酸液傳質(zhì)平衡和裂縫寬度變化方程建立了分形裂縫的酸壓模型。

圖1 數(shù)值生成的粗糙裂縫壁面Fig.1 Rough fracture wall generated by numerical value

圖2 合成的分形裂縫寬度分布Fig.2 Width distribution of synthetic fractal fractures

2.1 假設(shè)條件數(shù)學(xué)模型的建立

為簡化計算過程，建立的方程需滿足以下假設(shè)條件：

1）酸液是不可壓縮的，密度恒定；

2）酸液在裂縫中的流型為層流；

3）模擬過程中不考慮蚓孔對酸液濾失的影響；

4）酸—巖反應(yīng)速度受傳質(zhì)控制。

2.2 數(shù)學(xué)模型的建立

在假設(shè)條件下，把酸化前裂縫壁面的酸液濃度視為0，得到酸液傳質(zhì)平衡方程為：（3）

式中：μ為酸液黏度mPa·s；b為裂縫寬度，m；k為巖心基質(zhì)滲透率，10-3μm2；p為點（x,y）處的壓力，MPa；pe為地層壓力，MPa；wm為濾失酸液的穿透深度，m；Cˉ為裂縫內(nèi)點（x,y,z）處的平均酸液濃度，kg/m3。

在單位時間內(nèi)，酸—巖反應(yīng)引起的單元體的體積變化量等于溶解的巖石體積，可得裂縫寬度變化方程為：

式中：η為濾失酸液中與縫壁巖石發(fā)生反應(yīng)的酸液占濾失酸液的百分數(shù)，小數(shù)，大多數(shù)情況下η?0；β為酸液的質(zhì)量溶解能力，表示被溶解的巖石質(zhì)量與反應(yīng)的酸液質(zhì)量之比，kg（巖石）/kg（酸）；ρ為巖石密度，kg/m3；φ為巖石孔隙度，小數(shù)。

2.3 模型求解

酸壓前裂縫內(nèi)各點的酸液濃度為0，已知分形裂縫寬度及粗糙度數(shù)據(jù)，從裂縫入口端（即y=0處）向裂縫和基質(zhì)巖石注入酸液。在酸壓過程中，注酸排量恒定，裂縫頂部和底部（即x=0和x=l處）無酸液流動，裂縫出口端（即y=h處）的壓力為地層壓力，裂縫入口端的酸液濃度為C0。式（5）和式（6）分別為分形裂縫酸壓數(shù)學(xué)模型的初始條件和邊界條件。

初始條件：

式中：Binj(x,y)為分形裂縫的初始寬度分布，m。

邊界條件：

式中：qinj(x,y)為注酸排量，m3/min。

在已知初始裂縫寬度b和酸液流量恒定的情況下，對式（3）和式（4）修正，以壓力p和酸液濃度C為初始迭代計算步，運用Gauss—Seidel方法[16]進行求解。按照表1所示參數(shù)進行模擬得到如圖3所示的分形裂縫酸壓模擬結(jié)果。分形裂縫酸壓前的平均縫寬如圖2所示，為0.003 6 m，最大縫寬為0.007 4 m；分形裂縫酸壓后的平均縫寬如圖3所示，為0.005 4 m，最大縫寬為0.011 8 m。

圖3 分形裂縫酸壓模擬結(jié)果Fig.3 Fractal fracture acidification simulation results

表1 裂縫酸壓參數(shù)Table1 Parameters of acidification of fracture

3 酸蝕裂縫閉合模型

在閉合壓力的作用下，酸蝕裂縫會逐漸閉合，裂縫壁面上的粗糙顆粒相互接觸后會發(fā)生變形。在模擬過程中，沿裂縫長度方向?qū)⒘芽p分為若干剖面，分別對每個剖面在閉合壓力作用下的閉合特征進行研究。利用若干橢圓的Myer模型替代Airy應(yīng)力函數(shù)和復(fù)變函數(shù)理論[1]，對橢圓的變形情況進行分析計算，對各裂縫剖面的閉合特征進行描述。

Myer推導(dǎo)了計算多個橢圓閉合量的解析解的求解方法[1]。他用多個橢圓表征未閉合的裂紋，并對裂紋的閉合特征進行分析，得到考慮了接觸比影響的裂紋平均閉合量為[10]：

將裂縫的最小寬度與式（7）計算的裂紋平均閉合量進行比較。若裂紋平均閉合量大于最小縫寬，即（>wmin），就會有更多的粗糙顆粒相互接觸。進一步計算各個裂縫寬度與最小縫寬間的差值（wi-wmin），為下一步的計算求得新的縫寬剖面。隨著裂縫進一步閉合，用于表征未閉合裂紋的橢圓變得越來越小。若計算的裂紋變形量大于用于表征裂紋的橢圓的最大寬度，裂紋就會完全閉合。與此同時，隨著兩個粗糙壁面的接觸比的增大，裂紋的變形量會急劇降低。重復(fù)上述過程直到裂縫不再閉合為止。圖4給出了裂縫的閉合過程。

在閉合壓力的作用下，一些寬度較大的裂紋不會完全閉合。此時，由式（7）求得的裂紋閉合量小于裂縫的最小寬度（＜wmin）。那么，就可以求得最終的裂縫寬度剖面，即為（wi-）。在閉合壓力為70MPa情況下模擬縫寬分布（圖5）。

圖4 裂縫的閉合過程Fig.4 Process of fracture closure

圖5 閉合壓力為70 MPa的條件下，閉合酸蝕裂縫的縫寬分布Fig.5 Distribution of width closed acid corrosion fractures with the closed pressure of 70 MPa

4 閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力影響因素分析

4.1 導(dǎo)流能力計算

Zimmerman和Bodvarsson[1]對穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes方程進行了求解。假設(shè)裂縫是由兩塊平行板構(gòu)成，裂縫導(dǎo)流能力為：

式中：w為裂縫寬度，m；Cf為裂縫導(dǎo)流能力，μm2·cm。

若將裂縫劃分成若干個很小的網(wǎng)格單元，那么就可以將網(wǎng)格內(nèi)的裂縫壁面近似為兩塊平行板，就可以利用立方規(guī)律對其導(dǎo)流能力進行計算，這就是局部立方規(guī)律（LCL）。Brush和Tomson[1]合成了一個粗糙裂縫，模擬流體在該裂縫中的流動情況。他們將Navier-Stokes方程、Stokes方程及LCL方程的計算結(jié)果進行對比后發(fā)現(xiàn)，LCL方程可以近似代替Navier-Stokes方程。所以，采用LCL方程計算閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力。

由于裂縫寬度比裂縫長度和裂縫高度都要小得多，所以忽略流體在垂直于裂縫表面方向上的流動，將速度場式（9）、式（10）帶入可以得到二維質(zhì)量平衡方程得到式（11）。

求得的閉合酸蝕裂縫寬度分布剖面的基礎(chǔ)上，對式（11）進行離散并求出其數(shù)值解，求出裂縫中的壓力分布。然后結(jié)合式（9）、式（10）中速度場分布可計算出閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力：

式中：Cf為裂縫導(dǎo)流能力，μm2·cm；q為流速，m3/s；μ為流體黏度，mPa·s；xf為裂縫長度，m；hf為裂縫高度，m；Δp為裂縫兩端的壓差，MPa。

在求解閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的過程中，忽略裂縫剖面間的相互影響和裂縫中某些閉合區(qū)域的影響是不合理的。酸蝕裂縫壁面上的粗糙顆粒能讓酸蝕裂縫在閉合壓力的作用下不會完全閉合，刻蝕溝槽的形成有助于提高閉合酸蝕裂縫的導(dǎo)流能力[17，18]。

4.2 正交試驗方案

影響閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的參數(shù)有很多，若要對所有參數(shù)的所有組合都進行分析是很困難的。因此，采用正交分析法選取影響閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的代表性參數(shù)組合進行分析。各影響因素的取值見表2。不考慮各個影響因素之間的相互作用，模擬次序及試驗結(jié)果如表3所示。

表2 閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力模擬影響因素及因素水平Table2 Influence factors and factor levels of conductivity of closed acid fractures

4.3 試驗結(jié)果分析

在正交實驗設(shè)計理論中，各因素的極差大小反映該因素對閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的重要程度。從表4分析可知，分形維數(shù)、標準偏差、巖石基質(zhì)滲透率、巖石基質(zhì)孔隙度、注酸排量、注酸時間和閉合壓力對閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的影響程度排序為：閉合壓力＞分形維數(shù)＞注酸時間＞地層基質(zhì)滲透率＞注酸排量＞標準偏差＞地層基質(zhì)孔隙度。

通過以上分析可知，閉合壓力是影響酸蝕裂縫導(dǎo)流能力最為重要的因素，前期對地質(zhì)油藏的掌握，特別是裂縫閉合壓力是準確預(yù)測導(dǎo)流能力指導(dǎo)施工的基礎(chǔ)，分形維數(shù)也是制約導(dǎo)流能力的關(guān)鍵，在滲透率和孔隙度二者之間應(yīng)該著重選擇滲透率較高的層段作為施工層段。落實到工程上來看，注酸時間比注酸排量對導(dǎo)流能力的影響更大，在施工時嚴格把控時間，保持排量的穩(wěn)定是獲得高導(dǎo)流能力的必要條件與手段。

表3 正交試驗次序及試驗結(jié)果Table3 Orthogonal test order and results

表4 試驗結(jié)果分析Table4 Analysis of test results

5 結(jié)論

1）目前對于酸蝕裂縫幾何形態(tài)和酸穿距離的計算模型較多，就酸蝕裂縫導(dǎo)流能力的計算模型研究較少?；诜中卫碚?、流體力學(xué)方程和Myer閉合模型，模擬酸蝕裂縫閉合后的導(dǎo)流能力。

2）閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力受閉合壓力、基質(zhì)滲透率、分形維數(shù)、注酸時間等多個參數(shù)的影響，利用正交分析法得到了影響閉合酸蝕裂縫導(dǎo)流能力主要因素的影響程度的排序：閉合壓力＞分形維數(shù)＞注酸時間＞地層基質(zhì)滲透率＞注酸排量＞標準偏差＞地層基質(zhì)孔隙度。

3）通過前期地質(zhì)認識，掌握閉合壓力能很大程度上驗證酸蝕裂縫導(dǎo)流能力預(yù)測的準確性，施工過程中注酸時間與注酸排量的保證是獲得高導(dǎo)流能力的必要條件與手段。