關(guān)于一類多目標(biāo)半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件

嚴(yán)建軍，李 鈺，楊 帆，郝 娜，張 杰

(1. 延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 農(nóng)林建筑工程系, 陜西 延安 716000; 2. 延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

隨著多目標(biāo)最優(yōu)化和半無限規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻(xiàn)[1]引入了(F,α,ρ,d)-凸函數(shù)，文獻(xiàn)[2]對(duì)其進(jìn)一步推廣，得到了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對(duì)偶結(jié)果。文獻(xiàn)[3-7]對(duì)于涉及(C,α,ρ,d)-凸性的多目標(biāo)規(guī)劃、多目標(biāo)分式規(guī)劃等問題的最優(yōu)性和對(duì)偶理論進(jìn)行了研究。作者在此基礎(chǔ)上，結(jié)合局部漸近錐、K-方向?qū)?shù)[8]和K-次微分[9]，提出廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)，并在新的廣義凸性下，研究了一類多目標(biāo)半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件。

文中均假設(shè)X?Rn且非空, 記:

定義1.1[10]稱函數(shù)f:X→R是局部Lipschitz的, 若?z∈Rn, ?k>0與U(z),對(duì)?x,y∈U(z)，有

定義1.2[2]稱函數(shù)C:X×X×Rn→R在Rn上關(guān)于第三個(gè)變?cè)峭沟? 若?(x,x0)∈X×X, ?y1,y2∈Rn, 有

C(x,x0)(λy1+(1-λ)y2)

≤λC(x,x0)(y1)+(1-λ)C(x,x0)(y2), ?λ∈(0,1)。

在文中, 均假設(shè)?(x,x0)∈X×X, 有C(x,x0)(0)=0。

定義1.3[2]設(shè)函數(shù)f:X→R是局部Lipschitz函數(shù), 若?α:X×X→R+{0},ρ∈R,d:X×X→R+, 如果對(duì)?x∈X, 有

[f(x)-f(x0)]/α(x,x0)

≥C(x,x0)(ξ)+ρd(x,x0)/α(x,x0), ?ξ∈?f(x0),

則稱函數(shù)f在x0處是(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)。

bi(x,x0)φ[fi(x)-fi(x0)]

≥αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0)),?ξi∈?Kfi(x0),

則稱函數(shù)f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)。

如果函數(shù)f在X上每一點(diǎn)處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù), 則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)。

注1.1若K取正切錐, 設(shè)C(x,x0)(ξ)=N(η(x,x0),ξ),b(x,x0)=1,φ(a)=a,α(x,x0)=1,ρ=0, 則在本文中提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)即為文獻(xiàn)[11]中的η-(A,N)-凸函數(shù)。

注1.2若K取Clarke切錐, 設(shè)C(x,x0)(ξ)=F(x,x0;ξ),α(x,x0)=1,ρ=0, 則在本文中提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)即為文獻(xiàn)[12]中的一致Fb-凸函數(shù)。

注1.3若K-次微分取通常意義下梯度, 設(shè)d2(θ(x,x0))=d(x,x0),φ(a)=a,b(x,x0)=1, 則在本文中提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)即為定義1.3。

2 主要結(jié)果

多目標(biāo)半無限規(guī)劃:

s.t.hj(x)≤0,j∈J,

首先考慮單目標(biāo)規(guī)劃問題

(P) mint(x)

s.t.hj(x)≤0,j∈J,

引理2.1[13]若x0是(P)的局部最小點(diǎn)且(P)在x0處的約束滿足約束品性C0,則存在數(shù)(σj)j∈J, 使得

σjhj(x0)=0,j∈J,

σj≥0,j∈J。

引理2.2[10]x0是(MSFP)的有效解的充要條件是x0是p個(gè)規(guī)劃問題(MSFPk)(k=1,…,p)的最優(yōu)解, 其中(MSFPk)為

hj(x)≤0,j∈J。

對(duì)于與(MSFPk)有密切關(guān)系的規(guī)劃(EMSFPk):

(EMSFPk) min(fk(x)-vkgk(x))

s.t.fi(x)-vigi(x)≤0,i=1,…,p,i≠k,

hj(x)≤0,j∈J,

注顯然(MSFPk)與(EMSFPk)的可行集相同, 都記為E。

引理2.3x0是(MSFPk)的最優(yōu)解的充要條件是x0是(EMSFPk)的最優(yōu)解。

引理2.4若x0是(MSFPk)的最優(yōu)解且(EMSFPk)在x0處滿足約束品性C0, 則存在非負(fù)數(shù)τi(i=1,…,p,i≠k), (σj)j∈J, 使下面各式成立

σjhj(x0)=0,j∈J,

定理2.1設(shè)x0是(MSFP)的有效解, 在x0處(EMSFPk)(k=1,…,p)的約束滿足約束品性C0,則?λ=(λ1,…,λp)∈Rp,v=(v1,…,vp)∈Rp和σ∈R(J), 使得

σjhj(x0)=0,j∈J,

λ∈Λ++,v≥0,

證明已知x0是(MSFP)的有效解, 則根據(jù)引理2.2和引理2.3可知x0是(EMSFPk)(k=1,…,p)的最優(yōu)解。

由K-次微分, 上式可化為

其中

定理2.2設(shè)x0是(MSFP)的有效解, 在x0處(EMSFPk)(k=1,…,p)的約束滿足約束品性C0, 則?λ=(λ1,…,λp)∈Rp和(σj)j∈J∈R(J), 使得

σjhj(x0)=0,j∈J,

λ∈Λ++,(σj)j∈J≥0。

(1)

(2)

(3)

(i)f(x), -g(x)在x0處分別是廣義(C,α,ρ1,d)K,θ-凸函數(shù)、廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-凸函數(shù);

(ii)h(x)在x0處是廣義(C,γ,ρ3,d)K,θ-凸函數(shù);

(iii)α1=…=αp=β1=…=βp=γ1=…=γ(J)=δ;

(iv)b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a≤0, 則線性函數(shù)φ1(a)≤0;

若a≤0, 則φ2(a)≤0;

則x0是(MSFP)的有效解。

至少存在k, 1≤k≤p, 有

將式(2)代入上式, 有

-gi(x))-(-gi(x0))]}<0,

由此可得

由條件(i) , 知

x0)),?ξi∈?Kfi(x0),?ηi∈?Kgi(x0),

結(jié)合函數(shù)C的凸性和條件(iii), 上式可化為

?ξi∈?Kfi(x0), ?ηi∈?Kgi(x0),

(4)

因hj(x)≤0,j∈J, 由式(3), 得

則由條件(ii) , 知

?ζj∈?Khj(x0),

由條件(iv)知

(5)

式(4)與式(5)相加, 并利用函數(shù)C的凸性和條件(iii), 可得

根據(jù)條件(v), 得

與式(1)產(chǎn)生矛盾！x0是(MSFP)的有效解。

(6)

(7)

其中函數(shù)C:X×X×Rn→R, 此外, 若下列條件成立

(i)f(x),-g(x)在x0處分別是廣義(C,α,ρ1,d)K,θ-凸函數(shù)、廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-凸函數(shù);

(ii)h(x)在x0處是廣義(C,γ,ρ3,d)K,θ-凸函數(shù);

(iii)α1=…=αp=β1=…=βp=γ1=…=γ(J)=δ;

(iv)b1(x,x0)>0,b2(x,x0)>0;

若a≤0, 則線性函數(shù)φ1(a)≤0;

若a≤0, 則φ2(a)≤0;

則x0是(MSFP)的有效解。

證明設(shè)x0不是(MSFP)的有效解, 則存在x∈X, 使得

至少?k, 1≤k≤p, 有

因而, 有

gi(x0)fi(x)-fi(x0)gi(x)≤0,

即有

gi(x0)(fi(x)-fi(x0))+fi(x0)(gi(x0)-gi(x))≤0,因λ0∈Λ++, 則由條件(iv), 知

((-gi(x))-(-gi(x0)))]≤0,

對(duì)上式從i=1,…,p求和, 得

[(-gi(x))-(-gi(x0))]}<0,

由條件(i), 對(duì)?ξi∈?Kfi(x0), ?ηi∈?Kgi(x0), 知

[(-gi(x))-(-gi(x0))]}

由函數(shù)C的凸性和條件(iii), 上式可化為

(8)

則由條件(ii), 知

?ζj∈?Khj(x0),

上式求和, 并應(yīng)用條件(iv)知

(9)

式(8)與式(9)相加, 并利用函數(shù)C的凸性和條件(iii), 可得

根據(jù)條件(v), 得

與式(6)產(chǎn)生矛盾！故x0是(MSFP)的有效解。

3 結(jié)語(yǔ)

本文定義了廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)，討論了涉及新廣義凸性的一類多目標(biāo)半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件，所得結(jié)果從理論上對(duì)已有凸性進(jìn)行了有益推廣，充實(shí)了廣義凸性和數(shù)學(xué)規(guī)劃的相關(guān)理論。還可進(jìn)一步深入研究這類新廣義凸性及其相關(guān)的對(duì)偶性、鞍點(diǎn)[14]和算法設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析等內(nèi)容。