理想狀態(tài)下基于動力學(xué)分析的“同心鼓”協(xié)作策略研究

杜文琦 劉俊麟

摘? ?要：本文針對“同心鼓”運(yùn)動系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，運(yùn)用動力學(xué)原理，利用先隔離再整體的思想，建立了球、鼓、繩各個部分的動力學(xué)方程并求解。描繪出排球、鼓的運(yùn)動軌跡圖像，尋求理想狀態(tài)下團(tuán)隊的最佳協(xié)作策略，求得該策略下的顛球高度。最佳協(xié)作策略為在達(dá)到所要求高度、團(tuán)隊成員發(fā)力最小的情況下，能夠使排球在鼓面上往返運(yùn)動次數(shù)最多、運(yùn)動軌跡最穩(wěn)定，即該問題可以轉(zhuǎn)化為在一定時間內(nèi)通過合理安排參與人數(shù)以及力度的條件從而尋求能夠達(dá)到要求高度的最多顛球次數(shù)。

關(guān)鍵詞：動力學(xué)分析? 動量定理? 機(jī)械能守恒定律? 同心鼓項目

1? “同心鼓”項目簡介

“同心鼓”是一項近年來頗受歡迎的素質(zhì)拓展項目，其蘊(yùn)含著豐富的物理學(xué)知識值得我們深度探究。該項目的道具是一面牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點(diǎn)沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團(tuán)隊成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項目開始時，球從鼓面中心上方豎直落下，隊員同心協(xié)力將球顛起，使其有節(jié)奏地在鼓面上跳動。顛球過程中，隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。

2? 本文將“同心鼓”項目簡化成以下模型

2.1 道具系統(tǒng)

一個質(zhì)量為270g的排球;直徑為40cm、高度為22cm、質(zhì)量為3.6kg的牛皮雙面鼓;連接鼓與人的長度相同的繩子。

2.2 運(yùn)動系統(tǒng)：

隊員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。排球從鼓面中心上方40cm豎直落下，由隊員發(fā)力顛起排球。

3? 理想狀態(tài)下求解作出如下假設(shè)

（1）所有參賽隊員身高、體型相同，拉繩位置一致。

（2）假設(shè)地面平坦無傾斜，風(fēng)速極小無影響。

（3）忽略空氣阻力、鼓面與球接觸時產(chǎn)生的摩擦力影響。

（4）忽略排球形狀、大小對結(jié)果的影響，可將排球看作質(zhì)點(diǎn)。

（5）假設(shè)求解的模型均是平衡的，長繩不會扭轉(zhuǎn)變形，拉伸程度可忽略不計。

4? 本文符號說明

其中m1、m2分別表示排球、雙面鼓的質(zhì)量;v1、v1'， v2、 v2'分別表示排球碰撞前后、雙面鼓碰撞前后的瞬時速度;a2表示初始位置到第一次碰撞時，隊員合力對鼓產(chǎn)生的加速度;F合表示碰撞前，雙面鼓上升時，所有隊員通過長繩作用在鼓上的合力;hs、hq分別表示游戲開始之前排球的初始位置和第一次碰撞后排球向上運(yùn)動的高度;sg表示第一次碰撞后鼓向下運(yùn)動的距離;Hx、Hl分別表示項目成功后的顛球高度和理想狀態(tài)下項目成功后的最佳高度;β表示雙面鼓每次下降到最低點(diǎn)時長繩與水平面的夾角;L表示項目中相等的繩長;F1表示理想狀態(tài)下，每個隊員對繩施加的相等的力;?H表示平面直角坐標(biāo)系的縱坐標(biāo);n表示隊員人數(shù)。

5? 在理想狀態(tài)下，“同心鼓”受力情況的分析

由運(yùn)動學(xué)分析可知，排球在碰撞前一直做自由落體運(yùn)動。雙面鼓在第一次碰撞前，受到隊員施加在豎直方向的合力F合和自身的重力m2g同時作用，向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動。第一次碰撞后，雙面鼓豎直向下運(yùn)動，此時，隊員對鼓無作用力，鼓做初速度不為零的勻加速直線運(yùn)動。在隊員觀測到排球到達(dá)最高點(diǎn)減速為零時，即刻發(fā)力，雙面鼓速度方向改變，做初速度不為零、加速度向上的勻加速直線運(yùn)動，直至第二次碰撞。整個運(yùn)動系統(tǒng)中，機(jī)械能一直保持不變，故，在理想條件下，從第二次碰撞開始，雙面鼓和排球分別重復(fù)第一次碰撞到第二次碰撞之間的運(yùn)動狀態(tài)。

我們忽略碰撞過程中產(chǎn)生的能量損失，分析排球和鼓面瞬間的彈性碰撞。根據(jù)彈性碰撞動量守恒公式可進(jìn)行分析。在理想狀態(tài)（每個人都可以精確控制用力方向、時機(jī)和力度），雙面鼓鼓面位置一直維持水平。當(dāng)排球可以一直在雙面鼓中心豎直上升下降時，人盡可能少做功即為最優(yōu)解。

假設(shè)在理想條件下，鼓面不傾斜，繩長一定，指定l=2m，指定n=8。由于排球與鼓組成的系統(tǒng)在碰撞時不受外力的作用，符合動量定理和機(jī)械能守恒，其中，我們規(guī)定，發(fā)生碰撞的位置所在直線始終與橫軸處于同一條水平線上。

現(xiàn)根據(jù)動力學(xué)分析建立以豎向位移為縱坐標(biāo)、運(yùn)動時間為橫坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系如下：

根據(jù)圖像，可以得出Hx、sg、hq之間的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合運(yùn)動系統(tǒng)中排球第一次自由落體運(yùn)動分析可得：

通過計算可以得出Hl=0.0985F合2-7.206F合+131.26>40? 設(shè)定

未知量為每人力度F1，可得出。

由該項目規(guī)定可知，成功進(jìn)行的要求是顛球高度不小于40cm、隊員之間的距離不小于60cm的情況下，每一組隊員發(fā)力做功最小、效果最好的協(xié)作策略。即Cosβ=2/3為最佳協(xié)作策略的臨界值狀態(tài)。

通過分析上述方程，以?H為縱坐標(biāo)，nFlsinβ為橫坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，可得△H- t圖像。由圖像分析可得出Fl=56.9/nsinβ。（Sinβ=√5/3），取隊員人數(shù)為9、12、18分別進(jìn)行分析可得方案：

方案一： n=9人時，隊員分力F1=8.43N，排球到達(dá)高度為Hl=40cm

方案二：n=12人時，隊員分力F1=6.35N，排球到達(dá)高度為Hl=40cm

方案三：n=18人時，隊員分力F1=4.23N，排球到達(dá)高度為Hl=40cm

綜上所述，當(dāng)長繩與水平面夾角的正弦值為√5/3（即Sinβ=√5/3）、隊員之間距離為60cm時，每一個人的用力能達(dá)到最小，即最優(yōu)方案。

6? 結(jié)語

從微觀的角度分析，雙面鼓面是一個作用點(diǎn)，在一個有限的面和線里，如果一個恒定的力作用于這個面或這條線的中點(diǎn)，會使得最大的力轉(zhuǎn)化為此面或先的彈性勢能。在排球運(yùn)動中，隊員想要對球進(jìn)行有效的控制，其中必須要做好的就是對初始條件進(jìn)行改善和控制，從而達(dá)到想要的效果。通過對于理想狀態(tài)下“同心鼓”模型的動力學(xué)研究，本文對“同心鼓”運(yùn)動系統(tǒng)各組成部分的運(yùn)動進(jìn)行受力分析，建立了球、鼓、繩各個部分的動力學(xué)方程并求解，得出“同心鼓”項目的最優(yōu)協(xié)作策略。

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