董 超， 劉文黎， 王彥玉

(華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

在地鐵建設(shè)過(guò)程中，如何保證地鐵本體及周?chē)鷺?gòu)筑物的安全穩(wěn)定性尤為重要。在城市地鐵建設(shè)過(guò)程中，新建地鐵難免在既有建筑物的附近區(qū)域施工，導(dǎo)致這些臨近建筑物出現(xiàn)變形、傾斜、扭曲等現(xiàn)象，甚至造成不可恢復(fù)的損壞[1,2]。因此，為確保地鐵施工期間臨近既有建筑物的安全性和可靠性，有必要對(duì)地鐵開(kāi)挖引起的建筑物擾動(dòng)情況進(jìn)行分析，并對(duì)臨近建筑物的安全可靠性進(jìn)行評(píng)估。

在地鐵盾構(gòu)施工對(duì)臨近建筑物變形研究方面，最著名的為Peck公式，在一定的時(shí)期內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)法是初步分析建筑變形的有效方法。Maleki認(rèn)為數(shù)值分析方法在對(duì)地鐵隧道施工對(duì)建筑物安全問(wèn)題的分析上面更具優(yōu)勢(shì)[3]。三維有限元方法也被應(yīng)用到地鐵施工對(duì)臨近建筑物樁基的影響中[4]。駱建軍等對(duì)大跨度地鐵盾構(gòu)施工臨近建筑物的安全保護(hù)問(wèn)題提出了相應(yīng)的監(jiān)測(cè)和保護(hù)措施[5]。雖然國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究已經(jīng)取得了許多有意義的研究成果，但地鐵盾構(gòu)施工建筑物的變形問(wèn)題是一個(gè)涉及地質(zhì)、環(huán)境等多參數(shù)相互作用的復(fù)雜問(wèn)題，然而這些參數(shù)的不確定性在一定程度上限制了Peck公式、解析法等經(jīng)典方法的使用[6]。

地下工程研究的各參數(shù)間存在一定的相依性，為確保可靠度分析的精度，需要構(gòu)建指標(biāo)之間的聯(lián)合分布函數(shù)，從而需要大量數(shù)據(jù)以保證聯(lián)合分布函數(shù)的精度，導(dǎo)致其在實(shí)際工程中實(shí)行困難。近些年來(lái)，在數(shù)學(xué)和金融領(lǐng)域應(yīng)用較多的Copula函數(shù)廣泛應(yīng)用于多維參數(shù)聯(lián)合概率分布建模中。Copula函數(shù)能夠提供一種靈活的方式來(lái)表征多維變量數(shù)據(jù)之間的非線性相依性，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于金融和精算應(yīng)用[7]、水文[8]和巖土工程[9, 10]等領(lǐng)域。

為精確描述地鐵施工對(duì)臨近建筑物的影響，本文采用有限元法構(gòu)建地鐵-建筑物相互作用模型，引用隨機(jī)有限元法輸入外界不確定性因素用以研究其對(duì)模型響應(yīng)的影響，并選用四種不同的Copula函數(shù)構(gòu)建臨近建筑物的最大沉降Smax和最大傾斜率Imax二維聯(lián)合分布模型，然后利用AIC(Akaike Information Criterion)和BIC(Bayesian Information Criterion)準(zhǔn)則識(shí)別出最優(yōu)的Copula模型，并使用最優(yōu)Copula函數(shù)模型生成足夠的數(shù)據(jù)用于蒙特卡羅模擬，從而得出地鐵施工作用下臨近建筑物的失效概率和可靠度。

1 SFE-Copula可靠性分析模型構(gòu)建

本文分析了地鐵施工對(duì)臨近建筑物的安全可靠性影響，主要思路為：(1)通過(guò)ABAQUS軟件，構(gòu)建地鐵和建筑的相互作用模型，精確描述地鐵施工對(duì)臨近建筑物的影響規(guī)律；(2)通過(guò)自行編制GUI命令，構(gòu)建ABAQUS隨機(jī)有限元模型，將周?chē)h(huán)境的不確定性因素作為輸入?yún)?shù)導(dǎo)入有限元模型中，從而模擬生成180個(gè)FE(Footloose Entrepreneurs)模擬數(shù)據(jù)；(3)采用4種不同的Copula函數(shù)構(gòu)建Smax和Imax的二維Copula模型，并運(yùn)用AIC和BIC準(zhǔn)則確定最優(yōu)Copula函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)在構(gòu)建模型中考慮參數(shù)之間的相依性；(4)通過(guò)確定的失效函數(shù)和蒙特卡洛法得出建筑物在周?chē)h(huán)境不確定性因素影響下的失效概率，從而得到建筑物的可靠度指標(biāo)，并通過(guò)建筑物的重要程度和可靠度指標(biāo)β評(píng)估建筑物的安全風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)。

1.1 使用ABAQUS建立隨機(jī)有限元模型

傳統(tǒng)有限元法主要關(guān)注確定性問(wèn)題的求解，但是，巖土工程中存在多重不確定性因素[11]，本文選用隨機(jī)有限元法來(lái)描述這些不確定性問(wèn)題。

本文采用隨機(jī)有限元法對(duì)隧道施工誘發(fā)周?chē)ㄖ锇踩L(fēng)險(xiǎn)的可靠度進(jìn)行分析?；贏BAQUS軟件的隨機(jī)有限元模型構(gòu)建過(guò)程如下所述。構(gòu)建模型的核心思想為參數(shù)的數(shù)據(jù)更新，即編制一個(gè)Python程序[12]用于更新輸入?yún)?shù)。其步驟如下：

(1)用Python程序編寫(xiě)ABAQUS圖形用戶界面(Graphical User Interface，GUI)；

(2)定義輸入?yún)?shù)的分布形式，生成輸入?yún)?shù)，在ABAQUS中執(zhí)行確定性有限元分析程序，并將結(jié)果存儲(chǔ)在輸出的.odb文件中，重復(fù)此過(guò)程，產(chǎn)生與試驗(yàn)次數(shù)相同數(shù)量的.odb文件；

(3)編制另一個(gè)Python腳本從.odb文件中提取輸入隨機(jī)變量的值

1.2 Copula理論

Copula方法基于Sklar定理，是一種用于構(gòu)建多變量聯(lián)合分布模型的常用方法。Sklar定理為：設(shè)F(x1,x2,…,xn)為邊緣分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1),F(x2),…,F(xn)。存在對(duì)于所有真實(shí)的n維Copula，x1,x2,…,xn[13]。

F(x1,x2,…,xn)=

C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

式中：C為F(x1),F(x2),…,F(xn)的Copula函數(shù)。Sklar定理將多維參數(shù)聯(lián)合分布的構(gòu)建過(guò)程，分為兩個(gè)步驟：(1)從樣本數(shù)據(jù)估計(jì)邊緣分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)；(2)最優(yōu)Copula函數(shù)識(shí)別(本文選用AIC或BIC準(zhǔn)則)。根據(jù)Sklar定理，兩個(gè)隨機(jī)變量x1和x2的兩參數(shù)聯(lián)合分布如下：

F(x1,x2) =C(F1(x1),F2(x2);θ)

=C(μ1,μ2;θ)

(2)

式中：C(μ1,μ2;θ)為Copula函數(shù)中的待定參數(shù)，θ為x1和x2之間的相關(guān)性。

1.2.1Copula函數(shù)選擇

Copula函數(shù)可以用來(lái)表征兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)性。通常，采用不同Copula函數(shù)表征的相依性結(jié)構(gòu)有很大不同，本文選擇的Copula函數(shù)如表1所示[14]。選擇這四種Copula函數(shù)的主要原因是，這四個(gè)Copula函數(shù)是常用的Copula，并且與幾個(gè)典型的Copula族相關(guān)聯(lián)。其中，Gaussian是橢圓族Copula函數(shù)，Clayton，Gumbel和Frank Copulas是常用的阿基米德Copula函數(shù)。

表1 本文采用的Copula函數(shù)類型

注：Φρ為正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度函數(shù)；Φ-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)

1.2.2Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)的估計(jì)

Copula參數(shù)θ可以通過(guò)Pearson線性相關(guān)系數(shù)或秩相關(guān)系數(shù)(如Kendall相關(guān)系數(shù))確定[13]。由于Pearson系數(shù)在線性條件下能保持不變，但在非線性條件下不穩(wěn)定， Kendall秩相關(guān)τk用來(lái)度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的依賴性程度，可以克服這一問(wèn)題[9]，故而本文采用τk確定Copula參數(shù)。對(duì)于具有N個(gè)值的兩變量(x1,x2)的非參數(shù)估計(jì)τk可由式(3)計(jì)算：

(3)

這里，sign(·)定義為：

i,j=1,2,…,N

(4)

根據(jù)Copula理論，τk可以用Copula函數(shù)表示為：

(5)

因此，與給定的Copula函數(shù)相關(guān)聯(lián)的Copula參數(shù)θ可以通過(guò)求解上述積分方程確定。

1.2.3 最優(yōu)Copula函數(shù)識(shí)別

在確定Copula參數(shù)θ之后，可以唯一地得到Copula聯(lián)合分布函數(shù)和Copula聯(lián)合概率密度分布函數(shù)(見(jiàn)表1)。然后，可以使用Akaike信息準(zhǔn)則(AIC)[13]和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)[9]的計(jì)算值區(qū)分識(shí)別最優(yōu)Copula函數(shù)，公式如下：

(6)

(7)

(8)

式中：k為Copula參數(shù)的數(shù)量，本文中k值為1；N為相關(guān)數(shù)據(jù)的樣本大小。當(dāng)AIC和BIC取值最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)為最優(yōu)Copula函數(shù)。

1.2.4 二維Copula函數(shù)的模擬方法

Copula函數(shù)不僅在構(gòu)造變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)方面具備便利性及靈活性，并且還能模擬服從構(gòu)造概率分布函數(shù)的相關(guān)非正態(tài)變量。利用Copula函數(shù)進(jìn)行參數(shù)模擬的步驟如下：(1)模擬服從給定Copula函數(shù)的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)均分布變量U=(U1,U2)T；(2)根據(jù)等概率變換原則將U=(U1,U2)T映射為相關(guān)非正態(tài)變量X=(X1,X2)T。

1.3 建筑物風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)和保護(hù)管理

許多既有建筑物存在一定程度的性能老化使得建筑承載能力降低。在隧道掘進(jìn)過(guò)程中可能對(duì)現(xiàn)有建筑物造成一些潛在的結(jié)構(gòu)損傷。為以最小的經(jīng)濟(jì)代價(jià)保證隧道掘進(jìn)區(qū)既有建筑物的安全，必須找到工程安全和經(jīng)濟(jì)成本的平衡點(diǎn)，建立建筑物安全等級(jí)與保護(hù)措施之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1.3.1 建筑物安全等級(jí)

由于地面位移會(huì)對(duì)建筑物造成較大的影響，地表沉降是隧道挖掘期的主要關(guān)注指標(biāo)。參考文獻(xiàn)[15, 16]中關(guān)于隧道掘進(jìn)對(duì)建筑物的影響研究，本文將靠近建筑物附近的最大地表沉降Smax以及最大建筑物傾斜Imax作為隧道開(kāi)挖對(duì)建筑物安全影響的評(píng)價(jià)指標(biāo)，并對(duì)其進(jìn)行相應(yīng)分級(jí)，其中A等級(jí)對(duì)建筑物影響最小，D等級(jí)與之相反，如表2所示。

表2 建筑物安全等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

1.3.2 建筑物風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)評(píng)估

確定建筑物的風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)水平，有助于保護(hù)受地鐵開(kāi)挖影響下的既有建筑物。本文將系統(tǒng)的失效概率作為判斷建筑風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的基礎(chǔ)。為研究開(kāi)挖地鐵隧道對(duì)臨近建筑物安全風(fēng)險(xiǎn)的影響，本文采用蒙特卡洛模擬法確定系統(tǒng)的失效概率，計(jì)算公式如下：

Pf=P(g1(Smax)<0∪g2(Imax)<0)

(9)

(10)

(11)

β=Φ-1(1-Pf)

(12)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)[17]通過(guò)建筑物的重要程度來(lái)確定不同建筑物的可靠性指數(shù)β，如表3所示。

表3 建筑物重要度等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

構(gòu)建系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估程序，是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)確評(píng)估的關(guān)鍵[18]。本文基于Eskesen等[19]提出的風(fēng)險(xiǎn)水平判斷矩陣構(gòu)建建筑物安全風(fēng)險(xiǎn)可靠性等級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，其中在隧道掘進(jìn)作用下建筑物的潛在風(fēng)險(xiǎn)分為四個(gè)不同等級(jí)，即“Ⅰ(安全)，Ⅱ(低風(fēng)險(xiǎn))，Ⅲ(中風(fēng)險(xiǎn))，Ⅳ(高風(fēng)險(xiǎn))”，如表4所示。

表4 建筑物安全風(fēng)險(xiǎn)可靠性等級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

2 指標(biāo)體系的建立

本文依托武漢軌道交通二號(hào)線越江段隧道工程漢口段，根據(jù)盾構(gòu)掘進(jìn)方向自DK12+400(漢口江灘)—DK11+739(江漢路站接收井)，全長(zhǎng)約660 m。隧道沿線6棟主要建筑物及其平面位置如圖1所示。

圖1 臨近建筑物平面位置

2.1 建筑調(diào)查

建筑物在隧道掘進(jìn)過(guò)程中所受影響屬于建筑物屬性與盾構(gòu)施工的綜合作用效果。本文用以下四個(gè)屬性來(lái)體現(xiàn)6棟建筑的差異性：(1)建筑距地鐵開(kāi)挖軸線的水平距離；(2)地鐵埋深；(3)建筑物層高；(4)建筑物結(jié)構(gòu)形式。建筑物特征屬性值如表5所示。

表5 各棟建筑物的特征屬性

2.2 輸入指標(biāo)體系

在地鐵盾構(gòu)掘進(jìn)過(guò)程中，隧道和建筑物之間的相互作用還受到許多環(huán)境因素的影響。因此，本文在模型中引入大量的輸入變量以精確描述隧道和建筑物的相互作用機(jī)理。在參考相關(guān)專家經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)文獻(xiàn)[15, 20, 21]的基礎(chǔ)上，共選取了11個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量作為模型的輸入?yún)?shù)，其分布形式均采用正態(tài)分布，各變量的均值、參數(shù)變異率見(jiàn)表6，而其他的輸入?yún)?shù)則被假定為定值。

表6 輸入變量分布形式

3 隧道建設(shè)有限元模型建立

本節(jié)建立了六個(gè)相關(guān)建筑物的確定性和隨機(jī)有限元模型。在FE模型中考慮了周?chē)h(huán)境因素，通過(guò)11個(gè)輸入變量的變化，在計(jì)算結(jié)果中反映了隧道引起的建筑物位移的概率和可靠性。

3.1 確定性有限元模型建立

本文利用ABAQUS模擬隧道開(kāi)挖對(duì)周?chē)ㄖ锏挠绊?，土體采用Drucker-Prager本構(gòu)模型，混凝土和鋼筋采用彈性本構(gòu)。模型系數(shù)設(shè)置見(jiàn)表7。

表7 模型相應(yīng)部件的材料屬性

通過(guò)確定性有限元分析和隨機(jī)有限元分析兩個(gè)過(guò)程來(lái)構(gòu)建如圖2所示的3D有限元模型。得到共包含47940個(gè)單元，尺寸為50 m×40 m×60 m的模型。其中，盾構(gòu)機(jī)長(zhǎng)度、內(nèi)徑及厚度分別為9，6.2，0.4 m；襯砌管片的內(nèi)徑及管片厚度分別為6，0.3 m；注漿區(qū)域的內(nèi)徑和注漿加固土厚度分別為6.6，0.2 m；邊界條件為固定xz底面單元，限制yz側(cè)面的x方向位移，限制xy側(cè)面的z方向位移。

圖2 隧道有限元模型/m

以有限元模型中隧道掘進(jìn)誘發(fā)的1#～6#建筑物地表位移來(lái)表征隧道開(kāi)挖對(duì)建筑物的擾動(dòng)情況，其具體計(jì)算為用有限元模擬結(jié)束時(shí)的總地表位移減去建筑物自重導(dǎo)致的位移差值。圖3為1#建筑物下隧道掘進(jìn)模型的模擬結(jié)果。

圖3 有限元模型中的位移

3.2 隨機(jī)有限元模型建立

本文將11個(gè)參數(shù)作為獨(dú)立的隨機(jī)變量輸入到模型中，通過(guò)上述方法，對(duì)1#～6#建筑物逐一將有限元模型重復(fù)運(yùn)行提取出180組輸出參數(shù)(即Smax，Imax)。為保證有限元模型的魯棒性，本文在輸入?yún)?shù)導(dǎo)入過(guò)程中剔除其異常值。通過(guò)隨機(jī)有限元模型，生成6個(gè)不同建筑物的Smax，Imax數(shù)據(jù)的盒須圖，如圖4所示。盒須圖反映了隨機(jī)FE模型的180組模擬結(jié)果，也是下一步基于Copula模擬所采用的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

圖4 1#～6#建筑物的Smax與Imax盒須圖

4 基于Copula理論的聯(lián)合分布函數(shù)模擬

由于需要大樣本的模擬數(shù)據(jù)來(lái)確保蒙特卡洛法的準(zhǔn)確性(當(dāng)故障概率的準(zhǔn)確度為0.01%時(shí)，需要樣本大小為104的數(shù)據(jù))，顯然這個(gè)數(shù)據(jù)量難以通過(guò)隨機(jī)有限元法得到。因此，為實(shí)現(xiàn)對(duì)工程安全性的客觀評(píng)價(jià)，本文基于Copula理論構(gòu)建Smax，Imax的二維聯(lián)合分布函數(shù)，并采用蒙特卡洛法生成模擬數(shù)據(jù)用于得到系統(tǒng)的失效概率和可靠度。另外，為分析不同Copula函數(shù)對(duì)模型的影響，本文利用AIC和BIC準(zhǔn)則識(shí)別出最優(yōu)Copula函數(shù)，并用其結(jié)果評(píng)價(jià)建筑物的安全性。

4.1 基于Copula理論聯(lián)合分布函數(shù)構(gòu)建

由于利用Copula理論構(gòu)建的聯(lián)合分布函數(shù)，需要確定模擬樣本數(shù)據(jù)的邊緣分布類型，本文在利用Copula理論構(gòu)建Smax，Imax的聯(lián)合分布函數(shù)之前，先對(duì)其邊緣分布類型進(jìn)行測(cè)試檢驗(yàn)。通過(guò)正態(tài)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，Smax和Imax的邊緣分布符合Gaussian分布。

4.1.1 最優(yōu)Copula函數(shù)的確定

最優(yōu)Copula函數(shù)的識(shí)別可分為兩個(gè)子步驟[9]。

Step 1：獲取Copula參數(shù)?；赟max，Imax的模擬樣本，可以確定Copula參數(shù)。

對(duì)于Gaussian Copula，Kendall秩相關(guān)系數(shù)由式(3)計(jì)算，可以從MATLAB中使用τk=corr([Smax,Imax],‘type’,‘Kendall’)獲得。然后，通過(guò)式(13)[9]計(jì)算Gaussian Copula參數(shù)ρ：

(13)

例如，基于1#建筑物中Smax，Imax的180個(gè)模擬數(shù)據(jù)，得到的τk為0.2912，表明Smax，Imax存在顯著的相關(guān)性，因此不能忽略Smax，Imax之間的參數(shù)相關(guān)性，證明了利用Copula函數(shù)構(gòu)建參數(shù)的二維聯(lián)合分布函數(shù)的合理性。由式(13)，Gaussian Copula參數(shù)ρ計(jì)算為0.441631。對(duì)于其他三個(gè)Copula函數(shù)，表1中所示的相應(yīng)Copula函數(shù)C(μ1,μ2)可以代入式(5)，并通過(guò)使用二分法[9]確定。獲得三個(gè)相應(yīng)參數(shù)θ，如表8所示。

表8 1#～6#建筑物的Copula參數(shù)計(jì)算值

Step 2：通過(guò)AIC和BIC準(zhǔn)則識(shí)別最優(yōu)Copula函數(shù)。在得到Copula參數(shù)之后，可以確定Copula函數(shù)及其密度函數(shù)的形式，如表1。此后，利用式(6)，(7)可得到AIC和BIC的計(jì)算值并用來(lái)識(shí)別出最優(yōu)Copula函數(shù)。

基于Smax，Imax的180個(gè)模擬數(shù)據(jù)，可以獲得所選四個(gè)Copula函數(shù)的AIC和BIC值，如表8所示，具有最小AIC和BIC值的Copula函數(shù)形式是最優(yōu)Copula函數(shù)。從表8可以看出對(duì)于1#，2#，3#，6#建筑物，Gumbel Copula是最優(yōu)Copula函數(shù)，對(duì)于4#，5#建筑物，Gaussian Copula是最優(yōu)Copula函數(shù)。綜上，對(duì)于不同的建筑物其Smax和Imax的依賴關(guān)系并不一致，因此在構(gòu)建Copula函數(shù)模型時(shí)，需要在不同的Copula函中選擇出最優(yōu)Copula函數(shù)來(lái)計(jì)算。

4.1.2 二維聯(lián)合分布函數(shù)模擬

如上所述，通過(guò)Copula方法可以生成數(shù)據(jù)樣本，本文基于隨機(jī)有限元模擬的Smax，Imax數(shù)據(jù)，分別用Clayton，Gaussian，Gumbel，F(xiàn)rank Copula函數(shù)構(gòu)建Copula函數(shù)模型。

下面以1#建筑為例，給出不同Copula函數(shù)構(gòu)造的Smax，Imax聯(lián)合分布函數(shù)的數(shù)據(jù)模擬結(jié)果，如圖5所示。圖5為模擬次數(shù)N=1000時(shí)模擬的Smax，Imax的Copula函數(shù)生成數(shù)據(jù)(藍(lán)色空心圓點(diǎn))以及隨機(jī)有限元數(shù)據(jù)(紅色實(shí)心圓點(diǎn))的散點(diǎn)圖?？梢钥闯觯簩?duì)于1#建筑，Copula函數(shù)模擬數(shù)據(jù)較好地包含了原始Smax，Imax數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布。從AIC和BIC準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果來(lái)看，Gumbel Copula是構(gòu)建Copula函數(shù)模型的最優(yōu)Copula函數(shù)。

圖5 1#建筑物有限元模擬與Copula模擬對(duì)比

4.2 不同Copula函數(shù)計(jì)算結(jié)果比較

由于不同的Copula函數(shù)描述變量間依賴性的規(guī)律并不相同，因此本文從聯(lián)合概率密度函數(shù)和條件累積分布函數(shù)這兩個(gè)角度，對(duì)采用的四個(gè)Copula函數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。

4.2.1 聯(lián)合概率密度函數(shù)

以1#建筑為例，圖6給出四種Copula函數(shù)構(gòu)造的Smax，Imax聯(lián)合概率密度函數(shù)的曲線圖。由于Copula函數(shù)的不同結(jié)構(gòu)性質(zhì)，在相同的Kendall秩相關(guān)系數(shù)(τk=0.1912)和相同的邊緣分布函數(shù)的情況下，不同的Copula函數(shù)構(gòu)造的聯(lián)合概率密度函數(shù)不同，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1)不同的Copula函數(shù)構(gòu)造的聯(lián)合概率密度函數(shù)，其等概率密度線形狀不同，Gaussian和Frank Copula函數(shù)是對(duì)稱Copula函數(shù)，Clayton和Gumbel Copula是不對(duì)稱的Copula函數(shù)；(2)最大聯(lián)合概率密度函數(shù)值也不同，Clayton Copula函數(shù)具有最大的聯(lián)合概率密度函數(shù)值，其次依次是Gumbel，F(xiàn)rank，Gaussian Copula函數(shù)。

圖6 1#建筑物4種Copula函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)曲線

4.2.2 條件累積分布函數(shù)

根據(jù)表2，當(dāng)Smax，Imax的值較大時(shí)，建筑物的潛在風(fēng)險(xiǎn)較大。因此，對(duì)具有較高Smax，Imax值的條件累積分布函數(shù)需要特別關(guān)注。同時(shí)，為了定量比較不同Copula函數(shù)之間的差異，以1#建筑為例，在圖7中比較了四個(gè)不同Copula函數(shù)相關(guān)的條件累積分布函數(shù)。

當(dāng)Smax的取值范圍為[μSmax+σSmax,μSmax+3σSmax]時(shí)，其中μSmax，σSmax分別為Smax的期望和方差，由Clayton，Gaussian，Gumbel，F(xiàn)rank Copula函數(shù)構(gòu)造的條件累積分布函數(shù)得到的Imax值的期望分別為0.5172，0.4534，0.5170，0.5179，說(shuō)明當(dāng)Smax取較大值時(shí)，Imax的值也較大。當(dāng)Imax的取值范圍為[μImax+σImax,μImax+3σImax]時(shí)，其中μImax，σImax分別為Imax的期望和方差，由四個(gè)Copula函數(shù)構(gòu)造的條件累積分布函數(shù)得到的Imax值的期望分別為0.0257，0.0234，0.0275，0.0268，說(shuō)明當(dāng)Imax取較大值時(shí)，Smax的值也較大。

圖7 1#建筑物4種Copula函數(shù)獲取條件累積分布函數(shù)

由圖7可知，由Gaussian Copula函數(shù)構(gòu)建的參數(shù)依賴關(guān)系與其他函數(shù)不同，利用AIC和BIC準(zhǔn)則判斷發(fā)現(xiàn)Gumbel函數(shù)為最優(yōu)Copula函數(shù)，說(shuō)明利用Copula函數(shù)構(gòu)建參數(shù)相關(guān)性時(shí)，不同的Copula函數(shù)的結(jié)果可能相差很大；在傳統(tǒng)的Nataf模型中，存在對(duì)變量的依賴結(jié)構(gòu)服從Gaussian分布的潛在假設(shè)，而模擬結(jié)果證明這種假設(shè)是與客觀事實(shí)存在差異的。一般來(lái)說(shuō)，不同的Copula函數(shù)構(gòu)建的相關(guān)依賴結(jié)構(gòu)不同，表明尋找最佳擬合Copula函數(shù)來(lái)精確表征變量的依賴關(guān)系結(jié)構(gòu)是非常重要的。

5 建筑物安全可靠性分析

建筑物安全狀況分為如表4所示的四個(gè)等級(jí)，通過(guò)對(duì)每個(gè)建筑使用不同的Copula函數(shù)得出樣本大小為106的蒙特卡洛模擬結(jié)果，計(jì)算出建筑物處于“B(正常)”“C(差)”“D(瀕危)”狀態(tài)的失效概率，如表9，表9還列出了當(dāng)Smax，Imax的相互獨(dú)立的結(jié)果用于對(duì)比分析。由表9可知隨著建筑狀態(tài)由從B變?yōu)镈，失效概率逐漸減小，且Smax，Imax相互獨(dú)立時(shí)的失效概率大于考慮參數(shù)相依性的失效概率。

表9 不同的Copula模型及相互獨(dú)立下建筑的失效概率

根據(jù)AIC和BIC準(zhǔn)則，對(duì)1#，2#，3#，6#建筑物，采用Gumbel Copula得到的失效概率作為參考結(jié)果，對(duì)4#，5#建筑物，采用Gaussian Copula的失效概率作為參考結(jié)果。

根據(jù)式(12)，建筑可靠性指標(biāo)β可以通過(guò)失效概率來(lái)計(jì)算。根據(jù)建筑物的重要程度(表3)和建筑物安全風(fēng)險(xiǎn)可靠性等級(jí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)(表4)，表10總結(jié)了6座建筑的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)。由表10可知，1#建筑的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)最高，其安全性需要在地鐵施工中重點(diǎn)關(guān)注；其次是4#建筑，再次是3#，6#建筑，最次是2#，5#建筑。

表10 6座建筑物的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估結(jié)果

6 結(jié) 論

武漢地鐵二號(hào)線線路附近存在6棟既有建筑物，需要研究地鐵施工對(duì)其安全性的影響。本文提出了SFE-Copula模型，首先采用隨機(jī)有限元模型構(gòu)建了隧道-建筑相互作用的數(shù)值模型，然后通過(guò)Copula函數(shù)構(gòu)建了Smax，Imax的聯(lián)合分布函數(shù)，最后采用不同Copula函數(shù)模型生成的數(shù)據(jù)分析評(píng)估了這6棟建筑的安全等級(jí)。

在面對(duì)數(shù)據(jù)量不足的情況下，本文引入Copula函數(shù)來(lái)構(gòu)建地鐵盾構(gòu)隧道施工對(duì)臨近建筑物的安全可靠性的聯(lián)合分布函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題，解決了使用傳統(tǒng)方法對(duì)地下工程參數(shù)相依性建模時(shí)由于數(shù)據(jù)需求量不能滿足的問(wèn)題而影響其實(shí)際應(yīng)用。由于Copula函數(shù)的引入，使得聯(lián)合分布函數(shù)的精度提升，以用于評(píng)估鄰近建筑在隧道挖掘期間的潛在風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)于臨近建筑物的安全保護(hù)問(wèn)題具較高的參考意義和價(jià)值，實(shí)現(xiàn)以最小的經(jīng)濟(jì)代價(jià)提高地鐵施工的安全性。

然而，本文中所使用的參數(shù)依賴于有限元模型的輸出，由于其只是對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)進(jìn)行的模擬，無(wú)法完全還原工程的實(shí)際情況，因此，結(jié)果存在與實(shí)際建筑物的安全可靠性不完全一致的可能性。在以后的研究中，若能獲得實(shí)際的參數(shù)，將會(huì)對(duì)實(shí)際工程具有更高的指導(dǎo)意義。但本文依然為在數(shù)據(jù)量不足的情況下進(jìn)行相依性建模的問(wèn)題提供了一個(gè)新的解決思路。