劉興元

(邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽(yáng)，422400)

旋轉(zhuǎn)曲面[1]是二次曲面中的一個(gè)重要的內(nèi)容，傳統(tǒng)教學(xué)模式下的教學(xué)過(guò)程如下：

定義1 一條平面曲線C繞著該平面內(nèi)的一定直線l旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，叫做旋轉(zhuǎn)曲面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線l叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸。

圖1 旋轉(zhuǎn)曲面示意圖Fig.1 Schematic diagram of a rotating surface

為方便起見(jiàn)，僅考慮旋轉(zhuǎn)軸l為坐標(biāo)軸的情形。

設(shè)在yoz面上有一已知曲線C，它的方程為f(y，z)=0，將這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，見(jiàn)圖1。

在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點(diǎn)M(x，y，z)，設(shè)這一點(diǎn)是母線C上的點(diǎn)M1(0，y1，z1)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的，顯然有

(1)

因?yàn)辄c(diǎn)M1在曲線C上，所以

f(y1，z1)=0

(2)

將(1)代入(2)得

(3)

(3)式即為yoz平面上的曲線f(y，z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

對(duì)于其他坐標(biāo)面上的曲線，繞該坐標(biāo)面內(nèi)的任一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程可用類似的方法求得。

講完上述內(nèi)容及例題后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容掌握不夠，具體表現(xiàn)為不能熟練求得旋轉(zhuǎn)曲面的方程，更不能較好地繪制旋轉(zhuǎn)曲面的圖形。究其原因是學(xué)生缺乏空間想象能力，對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面的定義和圖形理解不夠透徹。而Maple軟件[2]具有強(qiáng)大的繪圖功能，其輔助教學(xué)功能也有獨(dú)到之處，可以利用其Animate命令制作動(dòng)畫，生動(dòng)、形象展示旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程及旋轉(zhuǎn)曲面的圖像。文中利用Maple軟件的動(dòng)畫功能和多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)，通過(guò)幾年的教學(xué)實(shí)踐，都能收到較好的教學(xué)效果。下面舉例說(shuō)明Maple軟件的動(dòng)畫功能在旋轉(zhuǎn)曲面教學(xué)中的獨(dú)特作用。

1 Maple的動(dòng)畫命令在旋轉(zhuǎn)曲面教學(xué)中的應(yīng)用示例

例1 確定zox面上的直線z=x繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面(圓錐面)方程，并用動(dòng)畫做出其圖形。

即

z2=x2+y2。

在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令[4-6]

>restart：with(plots)：f：=u→u：K：=180：

for i to K do ti：=3*i*Pi/K：

qumain[i]：=plot3d([u*sin(t)，u*cos(t)，f(u)]，u=-2..2，t=0..ti)end do：

L：=display(seq(qumain[i]，i=1..K)，insequence=true)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-2..2，v=0..1，axes=normal，labels=[x，y，z])：

y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=-2..2，v=0..1)：

z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=-4..4，v=0..1)：

xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

display(L，L，xyz，scaling=constrained，axes=normal，lightmodel=light2，orientation=[40，70]，tickmarks=[2，2，4])；

運(yùn)行上述命令后，在Maple工作窗口中出現(xiàn)動(dòng)畫基圖，如圖3所示.在Maple工作窗口中單擊基圖，在工作窗口的上方出現(xiàn)maple動(dòng)畫播放工具，如圖2所示。

圖2 maple動(dòng)畫播放工具Fig.2 Maple animation playback tool

在基圖3中顯示有符合學(xué)習(xí)習(xí)慣的空間直角坐標(biāo)系和zox平面上的母線z=x，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，在Maple命令窗口中，選中圖3，單擊動(dòng)畫控制工具條中的“插放”按鈕，可以觀看旋轉(zhuǎn)錐面的動(dòng)畫形成過(guò)程。若要降低旋轉(zhuǎn)速度，可以將圖2中旋轉(zhuǎn)速度每秒10幀，通過(guò)其右側(cè)的下調(diào)按鈕減少數(shù)字值，比如調(diào)整為每秒5幀。也可選擇“分幀播放”按鈕(左起第四個(gè))，圖4是其第72幀的形狀，插放完畢即得旋轉(zhuǎn)錐面的圖形，見(jiàn)圖5。

圖3 圓錐面基圖Fig.3 Base graph of a conical surface

圖5 旋轉(zhuǎn)錐面圖Fig.5 Rotational cone diagram

例2 求zox平面上的拋物線z=x2繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)拋物面的方程，并做其動(dòng)畫圖形。

z=x2+y2。

在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：

with(plots)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-2..2，v=0..1)：

y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=-2..2，v=0..1)：

z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=0..6，v=0..1)：

xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

a1：=spacecurve([t，0，t^2]，t=-2..2，color=red，thickness=4)：

a2：=animate(plot3d，[[sqrt(s)*cos(t)，sqrt(s)*sin(t)，s]，s=0..4，t=0..x]，x=0..2*Pi，axes=normal，labels=[x，y，z])：

display(xyz，a1，a2)；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖(如圖6)。

在基圖6中有三條坐標(biāo)軸和zox平面上的母線z=x2，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，在Maple窗口中，選中圖6，然后點(diǎn)擊動(dòng)畫控制工具條中的“分幀插放”按鈕，圖7是其第14幀的形狀，圖8是插放完畢所得旋轉(zhuǎn)拋物面的圖形。

圖6 旋轉(zhuǎn)拋物面基圖Fig.6 Base graph of a revolution paraboloid

圖7 旋轉(zhuǎn)拋物面分幀顯示圖Fig.7 Framing display of a revolution paraboloid

圖8 旋轉(zhuǎn)拋物面Fig.8 Diagram of a revolution paraboloid

在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：with(plots)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-10..10，v=0..0.01，thickness=3，axes=normal，labels=[x，y，z])：

y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=-6..6，v=0..0.01，thickness=3)：

z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=-16..16，v=0..0.01，thickness=3)：

xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

a1：=animate(plot3d，[[4*sqrt(1+(1/5)*s^2)*cos(t)，4*sqrt(1+(1/5)*s^2)*sin(t)，s]，s=-6..6，t=0..y]，y=0..2*Pi)：

a2：=animate(plot3d，[[-4*sqrt(1+(1/5)*s^2)*cos(t)，-4*sqrt(1+(1/5)*s^2)*sin(t)，s]，s=-6..6，t=0..y]，y=0..2*Pi)：

display(a1，a2，xyz)；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖(如圖9)。

圖9 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面基圖Fig.9 Base graph of a hyperboloid of one sheet of revolution

圖10 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面基分幀顯示圖Fig.10 Framing display of a hyperboloid of one sheet of revolution

圖11 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面Fig.11 Diagram of ahyperboloid of one sheet of revolution

例4 作zox平面上的雙曲線z2-x2=1繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面的動(dòng)畫圖形。

z2-x2-y2=1。

在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：with(plots)：

x_axis：=plot3d([u，0，0]，u=-4..4，v=0..0.01，thickness=3，axes=normal，labels=[x，y，z])：

y_axis：=plot3d([0，u，0]，u=-3..3，v=0..0.01，thickness=3)：

z_axis：=plot3d([0，0，u]，u=-6..6，v=0..0.01，thickness=3)：

xyz：=display(x_axis，y_axis，z_axis，thickness=3)：

b1：=animate(plot3d，[[sqrt(s^2-1)*cos(t)，sqrt(s^2-1)*sin(t)，s]，s=1..5，t=0..y]，y=0..2*Pi)：

b2：=animate(plot3d，[[-sqrt(s^2-1)*cos(t)，-sqrt(s^2-1)*sin(t)，s]，s=1..5，t=0..y]，y=0..2*Pi)：

b3：=animate(plot3d，[[sqrt(s^2-1)*cos(t)，sqrt(s^2-1)*sin(t)，s]，s=-1..-5，t=0..y]，y=0..2*Pi)：

b4：=animate(plot3d，[[-sqrt(s^2-1)*cos(t)，-sqrt(s^2-1)*sin(t)，s]，s=-1..-5，t=0..y]，y=0..2*Pi)：

display(b1，b2，b3，b4，xyz)；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖(如圖12)。

在基圖12中有三條坐標(biāo)軸和zox平面上的母線z2-x2=1，在Maple窗口中，選中圖12，然后單擊動(dòng)畫控制工具條中的“插放”按鈕，可以觀看旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面的形成動(dòng)畫過(guò)程，插放完畢即得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面的圖形，見(jiàn)圖14，也可選擇“分幀播放”按鈕，圖13是其第10幀的形狀。

圖12 旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面基圖Fig.12 Base graph of a hyperboloid of double sheets of revolution

圖13 旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面基圖Fig.13 Framing display of a hyperboloid of double sheets of revolution

圖14 旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面Fig.14 Diagram of ahyperboloid of double sheets of revolution

例5 作zox平面上的曲線x=1+sinz(0≤z≤2π)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的動(dòng)畫圖形。

x2+y2=(1+sinz)2。

在Maple命令窗口中輸入動(dòng)畫制作命令

>restart：

with(plots)：

animate(plot3d，[[(sin(t)+1)*cos(s)，(sin(t)+1)*sin(s)，t]，s=0..(1/1000)*2^Pi*i，t=0..2*Pi]，i=1..1000，axes=normal，labels=[x，y，z])；

運(yùn)行上述命令即得動(dòng)畫基圖(如圖15)。

在Maple窗口中，選中圖15，然后單擊動(dòng)畫控制工具條中的“插放”按鈕，可以觀看旋轉(zhuǎn)曲面的形成動(dòng)畫過(guò)程。插放完畢即得旋轉(zhuǎn)曲面的圖形，見(jiàn)圖17，也可選擇“分幀播放”按鈕，圖16是其第14幀的形狀。

圖15 旋轉(zhuǎn)正弦曲面基圖Fig.15 Base graph of a rotating sine surface

圖16 旋轉(zhuǎn)正弦曲面分幀圖Fig.16 Framing display of a rotating sine surface

圖17 旋轉(zhuǎn)正弦曲面Fig.17 Diagram of a rotating sine surface

2 結(jié)語(yǔ)

文中通過(guò)5個(gè)例子，介紹了圓錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面，旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面等旋轉(zhuǎn)曲面的動(dòng)畫制作命令，在多媒體教學(xué)中，可以切換到Maple平臺(tái)，演示上述動(dòng)畫。也可以在Maple平臺(tái)下將各旋轉(zhuǎn)曲面的基圖存貯為gif格式文件，并將此gif格式文件粘貼到PowerPoimt課件的幻燈片中，播放幻燈片就可以看到旋轉(zhuǎn)曲面形成的旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫，然后再講述旋轉(zhuǎn)曲面定義并求各種旋轉(zhuǎn)曲面的方程，將起到事半功倍的作用。