袁秋帆，王超磊，齊乃明，曹世磊

(1. 上海系統(tǒng)工程研究所，上海 201109；2. 北京仿真中心航天系統(tǒng)仿真重點實驗室，北京 100854； 3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天工程系，哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著航天科技的發(fā)展，撓性結(jié)構(gòu)尺寸和重量逐漸增加，撓性附件的振動會帶動中心剛體運動，這種耦合形式可稱為小中心剛體-大撓性附件的耦合形式。在小角度和小位移機動時，這種航天器的撓性結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生振動，但一般不會出現(xiàn)較大變形，可以將其簡化為線性系統(tǒng)處理。對其進行控制器設(shè)計的基礎(chǔ)是建立合適的動力學(xué)模型。傳統(tǒng)的約束模態(tài)動力學(xué)模型采用懸臂狀態(tài)下的撓性振動模態(tài)方程與中心剛體運動方程構(gòu)成剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程。全局模態(tài)法又被稱為非約束模態(tài)法，在20世紀70年代到80年代，文獻[1-4]詳細研究了非約束模態(tài)法，即使用整個航天器自由-自由狀態(tài)下的模態(tài)振型進行模態(tài)展開，振型描述函數(shù)包含撓性結(jié)構(gòu)和中心剛體，推導(dǎo)了非約束模態(tài)的正交性及其慣性完備性準(zhǔn)則。Hablani[2,4]指出非約束模態(tài)建模和約束模態(tài)建模的精度與剛?cè)釕T量比有關(guān)，指出剛?cè)釕T量比較小時，約束模態(tài)法建立的動力學(xué)模型將有比較大的誤差。Goal[5]指出約束模態(tài)法動力學(xué)模型采用約束模態(tài)描述了剛體與撓性結(jié)構(gòu)之間的耦合作用，而全局模態(tài)法動力學(xué)模型描述了撓性航天器整體的動力學(xué)特性，是輸入與輸出的耦合特性。

以上研究中僅考慮了撓性航天器的姿態(tài)運動，然而當(dāng)中心剛體占比較小時，大撓性結(jié)構(gòu)的振動將同時影響小中心剛體姿態(tài)運動和位置運動，在建模時不能僅考慮本體姿態(tài)運動與撓性振動的耦合特性，還要考慮本體位置運動與撓性結(jié)構(gòu)振動的耦合特性。章仁為[6]采用約束模態(tài)法建立了動力學(xué)模型，同時考慮了姿態(tài)耦合特性和位置耦合特性，并采用轉(zhuǎn)動耦合系數(shù)和平移耦合系數(shù)分別描述。Pgasbarri[7]采用帶有雙側(cè)對稱帆板的氣浮式模擬器研究了撓性航天器動力學(xué)，指出雙側(cè)對稱帆板構(gòu)型的航天器存在對稱模態(tài)和反對稱模態(tài)，對稱模態(tài)對應(yīng)位置耦合特性，反對稱模態(tài)對應(yīng)姿態(tài)耦合特性。徐小勝等[8]基于剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，采用了約束模態(tài)頻率估計了非約束模態(tài)頻率。呂旺等[9]對采用類似的方法對非約束模態(tài)頻率進行了估計，并與在軌試驗結(jié)果進行了對比，在撓性結(jié)構(gòu)比較小的情況下，估計誤差在15%以內(nèi)，其方法仍是基于剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型。

2014年，Gasbarri[10]采用有限元法分析了含有多個大撓性結(jié)構(gòu)的航天器的非約束模態(tài)動力學(xué)特性，建立了包含位置耦合特性和姿態(tài)耦合特性的完整的非約束模態(tài)動力學(xué)模型，并且定義了中心剛體“模態(tài)振型”(the ‘shape’ of the satellite)的概念，將中心剛體的剛體運動和撓性結(jié)構(gòu)振動一并納入模態(tài)振型。文獻[11-12]采用瑞利瑞茲法計算了帶有雙側(cè)對稱帆板的航天器的全局模態(tài)振型，并給出了模態(tài)頻率隨著帆板長度、中心剛體慣量和帆板構(gòu)型的改變的變化規(guī)律，采用對稱模態(tài)振型和反對稱模態(tài)振型分別描述了位置耦合特性和姿態(tài)耦合特性。

以上研究均采用了雙側(cè)對稱帆板的航天器構(gòu)型，姿態(tài)耦合特性和位置耦合特性不會存在于同一階全局模態(tài)中。而當(dāng)航天器僅帶有單側(cè)撓性結(jié)構(gòu)時，在其同一階全局模態(tài)中，同時存在姿態(tài)耦合特性和位置耦合特性，目前相關(guān)的研究較少。

大部分航天器采用了雙側(cè)對稱帆板構(gòu)型，有一小部分航天器采用了單側(cè)帆板構(gòu)型，比較典型的有中國風(fēng)云三號、四號衛(wèi)星，美國NASA的Aura衛(wèi)星、歐洲太陽神衛(wèi)星、日本的大地衛(wèi)星等，研究單側(cè)撓性航天器的建模問題有重要的工程意義。

本文將針對小中心剛體-單側(cè)大撓性結(jié)構(gòu)構(gòu)型的航天器，通過定義廣義全局模態(tài)振型提出了一種全局模態(tài)動力學(xué)模型，采用統(tǒng)一形式描述整體剛體運動和整體撓性變形，與現(xiàn)有研究相比，形式更加簡潔統(tǒng)一，解決了單側(cè)大撓性航天器的動力學(xué)建模問題。結(jié)合瑞利瑞茲法分析非約束模態(tài)頻率隨著質(zhì)量比和慣量比的變化而變化的情況，與有限元模型比對了動力學(xué)響應(yīng)，并且構(gòu)建試驗系統(tǒng)，進行了非約束模態(tài)頻率的測量和對比分析。

1 全局模態(tài)法動力學(xué)建模

1.1 全局模態(tài)振型

圖1 全局模態(tài)法坐標(biāo)系定義Fig.1 The definition of constrained modal shape function

假設(shè)za為小位移，θa為小角度，則有如下近似的撓度關(guān)系

(1)

式中：r0=CgOc，l為撓性梁長度，xg∈[-a+r0,r0+l]，xc∈[0,l]，浮動坐標(biāo)系下的撓度可以模態(tài)展開為

(2)

式中：φk(xc)為非約束狀態(tài)下，在浮動坐標(biāo)系下描述的撓性結(jié)構(gòu)模態(tài)振型。

在非約束邊界條件下，第k階撓性模態(tài)振動時，中心剛體也有相應(yīng)的位移和角度變化。定義整體質(zhì)心的模態(tài)位移為zak，繞質(zhì)心的模態(tài)轉(zhuǎn)角為θak，則整體質(zhì)心的位移可以表示為模態(tài)位移的疊加，整體剛體轉(zhuǎn)動角度可以表示為模態(tài)轉(zhuǎn)角的疊加，即

則式(1)可以轉(zhuǎn)化為

(3)

式中：

(4)

為全局模態(tài)振型。

定義整體的轉(zhuǎn)動運動為第一階剛體模態(tài)，整體的平移運動為第二階剛體模態(tài)，則這兩階模態(tài)振型函數(shù)可由式(4)表示，第一階剛體模態(tài)振型可以表示為

(5)

第二階剛體模態(tài)振型可以表示為

(6)

撓性振動模態(tài)振型為第三階以及更高階模態(tài)振型，模態(tài)振型函數(shù)表示為

(7)

式中：k=3,4,5…。

圖2 全局模態(tài)振型Fig.2 Global modal shape

至此，剛體的運動和撓性結(jié)構(gòu)的振動均通過式(4)描述的全局模態(tài)振型表示。定義ρrAr,ρbAb和ρA分別為中心剛體、撓性梁和整體沿OgXg軸的線密度分布。定義

式中:Er和Ir分別為中心剛體沿xg方向的楊氏模量和截面慣性矩，Eb和Ib分別為撓性梁沿xg方向的楊氏模量和截面慣性矩。定義Jgr,Jgb和Jg分別為中心剛體、撓性梁和整體繞OgYg軸的轉(zhuǎn)動慣量。定義Mg=Ma=Mr+Mb為總質(zhì)量，Mr為剛體質(zhì)量，Mb為撓性結(jié)構(gòu)質(zhì)量。

定理1. 由式(4)定義的非約束模態(tài)振型滿足正交性，并且

(8)

為狄拉克函數(shù)。

證.文獻[11]指出當(dāng)單個撓性梁滿足兩端約束條件為自由、簡支和固定三種簡單約束時，模態(tài)振型是正交的，該結(jié)論可以通過邊界條件方程簡單推導(dǎo)得出，給出了判斷模態(tài)振型正交性的一個簡便的方法。中心剛體-撓性梁系統(tǒng)整體滿足自由-自由的邊界條件，按照文獻[11]的理論，全局模態(tài)振型的正交性是顯然的。

1.2 動力學(xué)方程

整體動能為

(9)

整體勢能為

(10)

又平面內(nèi)應(yīng)變與撓度的關(guān)系為

(11)

設(shè)沿著Zg軸方向施加的外力為F，施加位置為xf g，繞與Yg軸平行的軸施加的外力矩為T，施加位置為xτg，則外力做功的變分可以表示為

(12)

根據(jù)哈密頓原理有

(13)

(14)

其中，δ(x)為狄拉克函數(shù)。

(15)

1)當(dāng)k=1時，計算得φ1=Jg，式(15)轉(zhuǎn)化為

(16)

式(16)與剛體姿態(tài)動力學(xué)方程一致，此時第一階全局模態(tài)坐標(biāo)η1為整體作為剛體時的轉(zhuǎn)動角度。

2)當(dāng)k=2時，計算得φ2=Mg，式(15)轉(zhuǎn)化為

(17)

式(17)與剛體位置動力學(xué)方程一致，第二階全局模態(tài)坐標(biāo)η2為整體作為剛體時的平移位置。

將式(15)添加阻尼比，考慮前Nm階模態(tài)，將全局模態(tài)動力學(xué)方程寫成矩陣形式為

(18)

與約束模態(tài)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型相比，全局模態(tài)動力學(xué)模型采用了統(tǒng)一的形式描述整體的剛體運動和撓性振動，形式上更加簡潔，由于沒有采用懸臂模態(tài)振型的正交性假設(shè)，對小中心剛體-大撓性結(jié)構(gòu)的撓性航天器構(gòu)型，全局模態(tài)動力學(xué)模型要更加精確。

1.3 非約束模態(tài)頻率計算

對于中心剛體-撓性梁這類簡單結(jié)構(gòu)，可以利用全局模態(tài)振型構(gòu)造瑞利瑞茲法的特征參數(shù)，采用瑞利瑞茲法計算全局模態(tài)振型對應(yīng)的非約束模態(tài)頻率。

首先建立第一階模態(tài)基振型的多項式函數(shù)，設(shè)

X1(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

(19)

為描述簡便，首先認為撓性梁長度為1，約束條件表達為

(20)

代入式(19)解出

X1(x)=a4(6x2-4x3+x4)

(21)

(22)

每一階正交基均進行歸一化處理，

(23)

當(dāng)撓性梁長度為l時，其正交基可以表示為

(24)

第k階全局模態(tài)振型由中心剛體的模態(tài)角度θak，模態(tài)位移zak和浮動坐標(biāo)系下的模態(tài)振型φk組成，瑞利瑞茲法的基本原理是，針對一階模態(tài)，其模態(tài)動能的最大值等于模態(tài)勢能的最大值，即(EK)k_max=(EP)k_max。

考慮第k階全局模態(tài)，

令ηk(t)=sin(ωkt)，根據(jù)式(9)和式(10)定義的動能和勢能方程，可得

(25)

A=[A1,…,ANx]T，Xl=[Xl1,…,XlNx]

Nx為基振型個數(shù)。令

M和K分別為廣義質(zhì)量和剛度矩陣。求取(KE)k_max和(PE)k_max的雅克比矩陣

(26)

(27)

根據(jù)撓性結(jié)構(gòu)特征方程

(K-λ2M)u=0

(28)

2 仿真分析

本章采用一個固定尺寸的撓性梁和一個邊長為變量的中心剛體構(gòu)成中心剛體-撓性梁系統(tǒng)，分析全局模態(tài)法對非約束模態(tài)頻率和模態(tài)振型的計算精度，并且分析模型的動態(tài)響應(yīng)精度。基本模型如圖3所示，中心剛體為邊長為的立方體，其他參數(shù)如表1所示。

圖3 仿真基本結(jié)構(gòu)Fig.3 The basic structure for simulation

中心剛體撓性結(jié)構(gòu)參數(shù)值參數(shù)值密度ρ240 kg/m3長寬高l×b×t2.5 m×0.16 m×0.003 m質(zhì)量Mrρa3r密度ρb2810 kg/m3慣量Jr16Mra2r楊氏模量Eb70 GPa泊松比v0.3結(jié)構(gòu)阻尼比ξ0.0002

2.1 非約束模態(tài)頻率

2)在λJ<1的區(qū)間內(nèi)，隨著中心剛體的減小，非約束模態(tài)頻率逐漸增大，當(dāng)進入λm<1的區(qū)間內(nèi)，非約束模態(tài)頻率隨著中心剛體的減小而增大的速率更快?？芍?，非約束模態(tài)頻率與剛?cè)釕T量比、質(zhì)量比是一一對應(yīng)的。

圖4 非約束模態(tài)頻率Fig.4 Unconstrained modal frequencies

2.2 非約束模態(tài)振型

圖5 非約束模態(tài)振型Fig.5 Unconstrained modal shapes

模態(tài)階數(shù)max(φFEM-φg)×100%(ωg-ωFEM)/ωFEM×100%11.8%2.3%21.6%3.4%30.7%4.2%40.5%4.4%50.5%4.5%62.2%4.5%

2.3 動態(tài)響應(yīng)

為了進一步驗證全局模態(tài)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確度，在中心剛體上施加的力F和力矩T，如圖6所示，采用所建立的全局模態(tài)動力學(xué)模型和有限元法計算模型的動力學(xué)響應(yīng)，對比中心剛體轉(zhuǎn)角θ、位置z和撓性結(jié)構(gòu)的端部位移ztip，結(jié)果如圖7、圖8和圖9所示。圖中，“GM”表示全局模態(tài)法計算結(jié)果，“FEM”表示有限元法計算結(jié)果。

圖6 施加的力和力矩Fig.6 Applied force and torque

圖7 中心剛體角度響應(yīng)Fig.7 The responding angle of the rigid body

圖8 中心剛體位置響應(yīng)Fig.8 The responding displacement of the rigid body

根據(jù)結(jié)果分別計算最大誤差，如表3所示，可見有限元計算結(jié)果和動力學(xué)模型還是比較相近的。

表3 動態(tài)響應(yīng)誤差Table 3 Dynamic response errors

3 試驗分析

為了進一步驗證全局模態(tài)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性，搭建了如圖所示的試驗系統(tǒng)，中心剛體為三自由度氣浮模擬器，下方安裝有氣足，可以實現(xiàn)無摩擦的兩個水平軸向的平移運動和繞垂直軸的旋轉(zhuǎn)運動。撓性板連接在中心剛體上，端部安裝有支撐氣足和端部質(zhì)量塊，端部質(zhì)量塊用于降低撓性結(jié)構(gòu)的基頻，提高撓性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣量占比。撓性結(jié)構(gòu)的尺寸同表1，中心剛體的尺寸為0.9 m×0.9 m×1.2 m，中心剛體重量為240 kg。當(dāng)中心剛體的氣足關(guān)閉，撓性板支撐氣足打開時，撓性板處于懸臂狀態(tài)；當(dāng)中心剛體的氣足和撓性板支撐氣足同時打開時，整體處于非約束狀態(tài)。在撓性板根部安裝有力矩傳感器，用于測量振動。

圖10 施加的力和力矩Fig.10 Applied force and torque

3.1 懸臂模態(tài)頻率測試

將中心剛體的氣足供氣關(guān)閉，只開啟撓性板端部支撐氣足的供氣，此時撓性板處于懸臂狀態(tài)，在懸臂狀態(tài)下對其進行敲擊，測量自然振動。

圖11 試驗敲擊點Fig.11 Test knocking points

圖12給出了根部力矩傳感器測量結(jié)果，分析試驗結(jié)果可知，敲擊撓性板端部主要激發(fā)了第1階模態(tài)，第1階模態(tài)頻率為ω1=0.2731 Hz，第2階模態(tài)頻率為ω2=2.5790 Hz。從表4可以看出實測值略小于有限元分析值，這是由于撓性板收到摩擦力、風(fēng)阻還有其上管路的影響。

圖12 懸臂狀態(tài)下敲擊點1力矩傳感器測量結(jié)果Fig.12 Torque sensor’s measurement results with point 1 knocked under cantilever state

模態(tài)階數(shù)有限元/Hz實測/Hz10.274450.273122.94462.5790

3.2 非約束模態(tài)頻率測試

同時打開中心剛體的氣足和撓性板端部支撐氣足的供氣，此時中心剛體與撓性板構(gòu)成的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)處于無約束狀態(tài)，設(shè)置與圖11相同的敲擊點，對撓性結(jié)構(gòu)進行敲擊，測量自然振動。圖13給出了力矩傳感器測量值和FFT變換結(jié)果，表5給出了仿真計算和試驗測試的非約束模態(tài)頻率，分析試驗結(jié)果：1)第1階和第2階模態(tài)頻率均略低于有限元計算值，但誤差不大；2)第1階模態(tài)被激發(fā)的幅值遠大于第2階模態(tài)幅值，2階以上的模態(tài)沒有被激發(fā)。

圖13 無約束狀態(tài)下敲擊點2力矩傳感器測量結(jié)果Fig.13 Torque sensor’s measurement results with point 2 knocked under unconstrained state

模態(tài)階數(shù)有限元/Hz實測/Hz10.38400.383522.99432.693

表6 非約束模態(tài)頻率與懸臂模態(tài)頻率的比值Table 6 Ratios of unconstrained modal frequencies and cantilever frequencies

由表6可知,試驗結(jié)果與有限元計算結(jié)果、理論計算結(jié)果均比較一致，驗證了全局模態(tài)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

本文針對小中心剛體-單側(cè)大撓性結(jié)構(gòu)構(gòu)型的航天器，通過定義廣義全局模態(tài)振型提出了一種全局模態(tài)動力學(xué)模型，采用統(tǒng)一形式描述整體剛體運動和整體撓性變形。結(jié)合瑞利瑞茲法分析了非約束模態(tài)頻率隨著質(zhì)量比和慣量比的變化情況，通過仿真、試驗兩種方式校驗了所建立的全局模態(tài)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。結(jié)果說明全局模態(tài)動力學(xué)模型能夠比較準(zhǔn)確地描述非約束模態(tài)頻率和模態(tài)振型，第一階模態(tài)頻率的最大誤差為0.003 Hz，前六階歸一化模態(tài)振型計算最大誤差為2.2%；通過與有限元模型比對，理論模型能夠比較準(zhǔn)確地描述動態(tài)響應(yīng)，端部橫向位移的最大誤差為2.6%；基于氣浮平臺構(gòu)建了試驗系統(tǒng)，測量得到的非約束模態(tài)頻率與懸臂模態(tài)頻率的比值，理論模型、有限元仿真和物理試驗結(jié)果均比較接近，說明理論模型準(zhǔn)確描述了非約束模態(tài)頻率隨剛?cè)狁詈咸匦宰兓囊?guī)律。