(1.清華大學 工程力學系,北京 100084；2.中國石化工程建設公司,北京 100101)

0 引言

在我國壓力容器現行標準[1-2]中，錐殼小端采用的設計準則式為：

Pm?SⅠ≤Sm

(1)

PL?SⅡ≤1.1Sm

(2)

PL+Q?SⅣ≤3.0Sm

(3)

眾多的算例都顯示，在錐殼小端與圓柱殼連接部位，控制補強設計厚度的準則是SⅡ的許用值，需要對此類結構SⅡ許用值的合理取值進行研究。本文通過塑性分析建議：以下列準則式代替準則式(2)，即：

ps/p≥1.5

(4)

式中ps——結構的塑性極限壓力；

p——設計壓力。

由文獻[5]所給出的彈性薄殼理論解，計算得到最大總體加局部薄膜應力強度SⅡ。將設計準則式(2)由準則式(4)替換，依據薄殼理論解所得彈性名義應力的SⅡ，再通過彈塑性分析，由結構的極限壓力準則式(4)確定SⅡ的許用值，從而確定結構所需的補強系數Qs。

1 內壓作用下錐殼大、小端分別與圓柱殼相連接結構的塑性極限壓力

20世紀后期，文獻[6]對錐殼大、小端分別連接圓柱殼的結構導出了塑性極限分析的理論解，其力學模型見圖1[6]。

t-殼體的厚度δr;α-錐半頂角;R2,R1-大、小端圓柱殼半徑

圖2 5種可能的塑性流動機構

文獻[6]中對圓柱殼采用單矩弱作用的Tresca屈服條件，對錐殼采用雙矩弱作用的Tresca屈服條件[7]，得到了極限分析的完全解;文獻[6]中還給出不同幾何參數(α,R2/R1,t/R1)條件下結構可能發(fā)生的5種塑性流動機構(見圖2[6])及塑性流動機構與這些幾何參數的關系，圖3[6]示出其中的一例。其中塑性流動機構A為錐殼大端與大圓柱殼先破壞，發(fā)生在α和R2/R1較大、t/R1較小時；塑性流動機構C,D為錐殼小端與小圓柱殼先破壞，塑性流動機構E為小圓柱殼先破壞，這三種塑性流動機構發(fā)生在α和R2/R1較小時；塑性流動機構B為錐殼大、小端和大、小圓柱殼同時破壞，發(fā)生在幾何參數為中間狀態(tài)時。文獻[6]還給出了每組參數(α,R2/R1,t/R1)對應的無量綱塑性極限壓力psR1/(σst)(其中，σs為材料的屈服應力)。受當時研究條件所限，該項工作未能進一步驗證和應用。

圖3 錐殼變徑段塑性流動機構與幾何參數的關系

文獻[8]中通過理想彈塑性小變形有限單元法對文獻[6]進行了驗證，證明了文獻[6]根據塑性理論完全解所給出各種參數下的結構塑性流動機構與極限壓力的可靠性。表1列出文獻[8]所給部分算例的幾何參數，這些算例對應的流動機構見圖3[6]。

表1 各算例的錐殼幾何參數與對應的塑性流動機構

圖4示出文獻[6]理論解和文獻[8]所給算例有限元解的比較，圖中線形數據為文獻[6]所給理論解；離散點為對應算例用彈塑性有限元法得到的極限壓力。由彈塑性變形歷史曲線，分別用JB 4732—1995[2]附錄B.5規(guī)定的“兩倍彈性線斜率法”和ASME—2017[4]5.2.4節(jié)規(guī)定的“結構整體失穩(wěn)法”兩種不同的定義方法給出了塑性極限壓力，如圖5所示，在圖4，5中給予不同的標志。圖4顯示理論解[6]與有限元解[8]能夠較好地吻合，證明了文獻[6]塑性理論完全解的可靠性。其中，“兩倍彈性線斜率法”較“結構整體失穩(wěn)法”更為保守，在多數情況下，理論解與按“結構整體失穩(wěn)法”得到的塑性極限壓力數值解一致，但當結構的錐半頂角和和厚徑比均較大(如算例a4，a5,a6等)時，“結構整體失穩(wěn)法”所得到的極限壓力數值解高于理論解。

圖4 極限分析理論解與彈塑性有限元解

圖5 算例a2極限壓力的確定

關于各種參數情況的塑性極限分析還說明，若結構參數(α較小)顯示：先發(fā)生D,E兩種錐殼和小端圓柱殼先破壞的塑性流動機構時，由于此參數下錐殼大端與圓柱殼連接處彎曲應力較小，一次局部薄膜應力強度大，所以控制錐殼變徑段設計厚度的準則必定為設計準則式(4)；若結構參數(α較大)顯示：先發(fā)生A類大端圓柱殼塑性流動機構時，控制錐殼變徑段設計厚度的準則可能為設計準則式(4)，由于此參數下錐殼大端與圓柱殼連接處有較大的彎曲應力，一次加二次應力強度較大，所以還需進行結構安定性校核，控制設計厚度的準則也可能為設計準則式(3)。

2 內壓作用下與圓柱殼相連的錐殼小端補強設計方法

彈性分析已經表明，控制小端設計厚度的準則是其一次薄膜應力強度SⅡ。鑒于前言中所述，目前如何確定一次局部薄膜應力強度的許用值尚存在問題，下面通過分析給出了安全可靠的工程設計方法：選取不同結構參數α,t/R1,R2/R1對應的結構，計算其塑性極限壓力ps，將ps/1.5作為設計壓力p，用彈性薄殼理論精確解對同一結構進行計算，發(fā)現小端處計算得到的SⅡ/Sm值既不等于1.1，也不等于1.5；在大多數情況下，許用值取1.5Sm安全裕度不夠，而許用值取1.1Sm又過于保守。本文采用如下方法得到錐殼變徑段的補強設計方法：

(1)針對不同的結構參數(α,R2/R1)，在給定p/Sm值(Sm=σs/1.5)下設定t值，應用文獻[5]中的彈性薄殼理論解計算SⅠ,SⅡ和SⅣ；

(2)改變t值，重復彈性應力分析，直至滿足現行標準[1-2]原有準則式(1)～(3)；

(3)通過進行塑性極限分析結果迭代調整t值，使調整后的t值在給定p/Sm,α,R2/R1值和該t/R1值下得到的塑性極限壓力對于設計壓力的安全系數ps/p≥1.5(且接近1.5)；

(5)

式中Di——小端圓柱殼內直徑。

計算與圓柱殼相連接的錐殼小端補強系數Qs：

(6)

根據上述方法所得到的錐殼小端補強系數Qs曲線見圖6。

圖6 錐殼小端分析設計方法加強系數Qs曲線與

表2 按本文錐殼小端設計曲線設計結構的塑性極限壓力對于設計壓力的安全系數

注：表中除注明者外，其余算例均為R2/R1=1.2，其中kL為該算例對應的一次局部薄膜應力強度的許用值SⅡ/Sm

圖6還示出了與原標準[1-2]中曲線的對比結果，其中實線為本文所給出，點為標準[1-2]中所給Qs值(按設計準則式(1)～(3))。按圖6中Qs值所設計的錐殼變徑段小端，用彈塑性小變形有限元法計算塑性變形歷史并繪制曲線，按照“兩倍彈性線斜率法”給出對應的塑性極限壓力，按設計準則式(4)控制設計厚度的典型算例結果見表2。

(1)本文的分析和圖6與表2顯示，原標準[1-2]所采用的設計準則式(2)略為保守：所有算例對一次局部薄膜應力強度SⅡ的許用值超過1.1Sm，都可以得到ps/p略大于1.5的結果；本文建議曲線具有合理的安全裕度，錐殼變徑段小端加強系數比原標準[1-2]所給補強系數值略小。

(2)綜合圖6和文獻[5]關于錐殼大端與圓柱殼連接的分析可知，對于R2/R1較大的長錐殼變徑段(如R2/R1=1.5)，當p/Sm>0.03以及α>35°時，由于錐頂角和設計壓力較大時，錐殼大端的總體一次薄膜應力加大，錐殼大端設計厚度都由準則式(1)控制(見文獻[5]中圖10)，而圖6顯示錐殼小端的加強系數Qs值隨p/Sm值的增大而減小，錐殼變徑段的設計厚度是按設計準則式(1)控制的。

3 大、小端分別與圓柱殼相連的錐殼變徑段兩端邊緣效應耦合時的設計準則討論

文獻[5]已指出，與不考慮邊緣效應耦合所得簡單邊界效應解的傳統概念相反，錐殼變徑段兩端邊緣效應的耦合作用使錐殼中的一次局部薄膜應力降低，同時采用設計準則式(1),(3),(4)來替代原有的設計準則式(1),(2),(3)，給出了考慮邊緣效應耦合作用的錐殼變徑段補強系數Qs的設計曲線。本文進一步論證該設計方法的安全性以及對于此類復雜結構，采用塑性極限準則的必要性。

表3列出文獻[5]所提出的考慮邊緣效應耦合作用的短錐殼變徑段設計方法所對應典型算例的極限壓力，并同時給出這些算例對應的kL=SⅡ/Sm值。

表3 錐殼變徑段兩端邊緣效應耦合結構的塑性極限壓力與設計壓力之比及塑性流動機構類型

(1)表3顯示,考慮錐殼變徑段兩端邊緣效應的耦合作用所給出的設計方法有足夠的安全裕度，所有算例的結構塑性極限壓力對于設計壓力的安全系數ps/p都大于1.5。

(2)表3顯示,錐殼變徑段兩端邊緣效應的耦合作用使錐殼與圓柱殼連接處的一次局部薄膜應力進一步降低，部分滿足塑性極限強度設計準則式(4)的算例，該處kL=SⅡ/Sm值甚至小于1，遠小于按彈性分析設計準則式(2)的要求。圖7,8分別示出算例No.1(α=60°,R1=1 000 mm,R2/R1=1.1,t/R1=Qsp/Sm=0.006 25,p=0.2 MPa)按照薄殼理論解和有限元數值解所得錐殼變徑段中環(huán)向薄膜彈性名義應力分量和經向薄膜加彎曲彈性名義應力分量的對比結果，表明薄殼理論的精確解是可靠的，而對于短錐殼變徑段，簡單邊界效應解與有限元、精確解的誤差太大，如一次薄膜應力分量遠大于有限元和精確解的結果。

(3)從表3可以看出，對于這些錐殼變徑段非常短、兩端殼體邊緣效應互相耦合的結構，其塑性流動機構大多屬于圖2中的塑性流動機構B，即錐殼兩端與大、小圓柱殼連接處及大、小圓柱殼中均出現塑性鉸，3個元件同時發(fā)生塑性流動的情況。

圖7 算例No.1經向薄膜加彎曲彈性名義應力

圖8 算例No.1環(huán)向薄膜彈性名義應力分量

表3中各算例是以塑性極限準則式(4)控制設計厚度的，本文將進一步分析對于此類復雜結構，不宜采用彈性名義應力準則式(1)～(3)。以圖7,8，即表3中算例No.1為例，該算例的基本參數為：α=60°,R1=1 000 mm,R2=1 100 mm,p=0.2 MPa，材料屈服極限σs=300 MPa,若取t=6.25 mm，由t/R1=0.006 25，計算其彈性名義應力強度：km=SⅠ/Sm=0.352<1,kL=SⅡ/Sm=0.75<1.1,kP+Q=SⅣ/Sm=2.3<3。也就是說，按照彈性分析及相應的設計準則，該算例可承受比0.2 MPa更高的設計壓力，但是進一步的塑性分析表明，對于此類短錐殼變徑段，應用傳統的與彈性名義應力分析方法相應的設計準則不能給出可靠的設計結果。

算例No.1由有限元法計算得到的彈塑性變形歷史曲線及按照文獻[2]與文獻[4]兩種不同定義的塑性極限壓力ps下的結構應力分布云圖見圖9。圖7顯示在算例No.1的錐殼大端P2截面、小端P1截面分別具有負最大和正最大的彎矩，當結構承受設計壓力p=0.2 MPa時，P2和P1截面附近錐殼和大、小端圓柱殼中的彈性名義應力已經遠超過材料的屈服極限。該兩處殼體表面的應力已經達到屈服極限，不能再增加，但是從彈塑性分析(見圖9)可知：p=0.2 MPa時，該兩處沿旋轉殼體周圈橫截面中部仍為彈性，整個變徑段殼體結構并沒有發(fā)生塑性流動；其后，隨著壓力的增大，旋轉殼彈性部分應力將沿著該兩處錐殼和大、小端圓柱殼的全截面及其經向逐漸增大，直至大部分錐殼和與錐殼連接處的部分圓柱殼都進入塑性極限，形成幾何可變的塑性流動機構，發(fā)生流動。對于理想彈塑性有限元分析得到的結果，按兩倍彈性線斜率定義[2]，ps=0.304 MPa；若按文獻[4]中的定義，理想彈塑性有限元程序可計算出的小端處平行圓最大徑向位移為15.8 mm，對應的極限壓力為0.34 MPa。

圖9 算例No.1彈塑性變形歷史曲線和應力分布云圖

若按照傳統彈性名義應力的設計準則，當SⅣ/Sm=3時，該算例可以承受比0.2 MPa更高的設計壓力(0.261 MPa)。但是，按照彈塑性有限元分析，當材料的屈服極限σs=300 MPa=1.5Sm時，它僅可承受ps=0.304 MPa的極限壓力(按兩倍彈性線斜率定義[2])，安全裕量僅為1.165。即使按照最大塑性變形時所對應的ps=0.34 MPa計算，安全系數也只有1.3。

由于該算例的錐殼非常短，這種沿殼體經向應力增加達到屈服極限的過程容易完成，所以用傳統的彈性名義應力設計準則將造成很大誤差、且安全裕度不夠。

文獻[6]的理論解給出了當R2/R1=1.1時結構在極限壓力下塑性流動機構與結構參數的關系，見圖10[6]。可以看出，算例No.1的破壞模式為圖2中的塑性流動機構B。圖11[6]示出錐殼中彎矩(Ms,Mθ)、薄膜內力素(Ts,Tθ)的雙矩弱作用Tresca屈服條件，當錐殼中內力素位于屈服面內，即屬于彈性范圍，增大到屈服面上即進入塑性，根據理想塑性材料的假設，錐殼中的內力素不可超出屈服面。發(fā)生塑性流動機構B時，錐殼中的彎矩Ms和Mθ、薄膜內力素Ts和Tθ對應于圖11中的加粗線條，它們都位于屈服面上。

圖10 R2/R1=1.1時錐殼變徑段的塑性流動機構

圖11 錐殼的雙矩弱作用Tresca屈服條件

按照文獻[6]的理論解，在該參數下算例No.1的無量綱極限壓力為psR1/σst=0.17,ps≈0.318 MPa，理論解與有限元解分析得到的結構塑性流動模式一致，理論解所得塑性極限壓力介于由彈塑性有限元法按兩種不同定義方法所得的塑性極限壓力之間，故文獻[2]中所規(guī)定的兩倍彈性線斜率定義方法所得極限壓力偏于保守。

4 錐殼兩端邊緣效應耦合時短錐殼變徑段的設計方法

根據錐殼與大、小端兩個圓柱殼相連接的力學模型，由彈性薄殼理論的精確解和塑性極限壓力和安定性準則式(1),(3),(4)，本課題組進一步得到了短錐殼變徑段的分析設計方法。大量算例分析發(fā)現：

(1)當α<45°時，短錐殼兩端的邊緣效應耦合作用較小，對于其設計厚度的影響可以忽略；

(2)當α≥45°時，與現有標準[1-2]相比，考慮變徑段短錐殼兩端的邊緣效應耦合作用，使加強段設計厚度有所減薄；

(3)α,t/R1越大，此種耦合作用越大；

(4)在α≤60°的范圍內，當DiL/Dis>1.35時，不需考慮邊緣效應的耦合作用。

圖12示出了兩例短錐殼變徑段加強系數設計曲線。當p/Sm較大時，圖中未給出Qs的部分為變徑段過短，已不屬于薄殼的結構。

(a)α=50° (b)α=60°

圖12 考慮錐殼變徑段大、小端邊緣效應耦合作用時的Qs值

5 結語

本文基于塑性極限分析理論與理想彈塑性有限元，對錐殼大、小端分別與圓柱殼相連接的結構進行了極限壓力分析，提出采用結構極限壓力ps與結構設計壓力p的比值ps/p≥1.5替換傳統的彈性名義應力設計準則SⅡ/Sm=1.1(或1.5)。根據所提出的設計準則，對錐殼小端與圓柱殼連接的結構以及短錐殼變徑段分別與大、小端圓柱殼連接的結構提出了加強段的設計方法。彈塑性分析結果證明所提出的方法和設計準則安全合理。