張曉磊, 蘇春

(東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 211189)

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的推進(jìn),制造商的業(yè)務(wù)重點(diǎn)開始從單純的銷售產(chǎn)品,向營銷產(chǎn)品與售后服務(wù)并重的模式轉(zhuǎn)變[1]。作為產(chǎn)品售后的重要組成部分,質(zhì)保服務(wù)可以幫助企業(yè)博取顧客信賴、贏得市場。質(zhì)保是制造商對(duì)產(chǎn)品發(fā)生的特定故障現(xiàn)象,向顧客提供更換、維修等服務(wù)的契約[2]。根據(jù)定義質(zhì)保界限的變量數(shù)量,質(zhì)保可以分為一維質(zhì)保、二維質(zhì)保以及多維質(zhì)保。一般的,產(chǎn)品在初始銷售時(shí)會(huì)附帶基本質(zhì)保(basic warranty,BW)條款。BW結(jié)束后,顧客需要對(duì)是否支付額外費(fèi)用購買延長質(zhì)保(extended warranty,EW)合同作出決策。從制造商的層面,只有當(dāng)EW的售價(jià)超過EW期間所要承擔(dān)的維修費(fèi)用時(shí)才能盈利。因此,延長質(zhì)保(延保)的價(jià)格是交易雙方都關(guān)注的重要變量。近年來,一些學(xué)者通過考慮不同維修策略構(gòu)建延長質(zhì)保的定價(jià)模型。Jack等[3]考慮顧客購買EW的時(shí)刻和范圍,利用博弈論方法確定延長質(zhì)保價(jià)格。Musakwa[4]提出一個(gè)生存時(shí)間模型,用于解決有限使用量數(shù)據(jù)下的汽車延保定價(jià)問題。Bouguerra等[5]在一維質(zhì)?？蚣芟?分析維修間隔期和質(zhì)保范圍對(duì)延保價(jià)格的影響。Tong等[6]考慮顧客購買EW的時(shí)間點(diǎn),研究二維EW的定價(jià)機(jī)制。Darghouth等[7]考慮維修過程中的學(xué)習(xí)效應(yīng),優(yōu)化質(zhì)保合同的價(jià)格和范圍。

以上研究多關(guān)注修復(fù)性維修(corrective maintenance,CM),而實(shí)施預(yù)防性維修(preventive maintenance,PM)措施往往可以減少產(chǎn)品故障次數(shù),降低質(zhì)保成本和停機(jī)風(fēng)險(xiǎn)。Kim等[8]從產(chǎn)品壽命周期的角度,討論質(zhì)保期內(nèi)最優(yōu)離散PM方案。Chen等[9]考慮2類故障模式,分析連續(xù)PM措施對(duì)可更新免費(fèi)更換質(zhì)保策略的影響。Chang等[10]制定產(chǎn)品壽命周期內(nèi)最優(yōu)PM方案以提高制造商利潤。Su等[11]研究柔性質(zhì)保合同下質(zhì)量升級(jí)和PM策略聯(lián)合優(yōu)化問題。Su和Wang[12]以顧客何時(shí)購買EW為決策點(diǎn),針對(duì)不同顧客分階段地提供定制化PM服務(wù)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)主要考慮一維延長質(zhì)保的優(yōu)化問題,針對(duì)二維延長質(zhì)保定價(jià)機(jī)制的研究還很少見。此外,由于工作環(huán)境和使用方式不同,產(chǎn)品的性能退化和故障規(guī)律存在很大差異,質(zhì)保定價(jià)模型應(yīng)考慮上述因素影響。本文將二維PM策略引入到延保價(jià)格模型中,考慮PM實(shí)施區(qū)間和顧客使用率的差異性,從交易雙方的角度構(gòu)建延長質(zhì)保成本模型,采用網(wǎng)格搜索法分析不同PM方案對(duì)延長醫(yī)保價(jià)格的影響,并提出定制化的延長質(zhì)保定價(jià)機(jī)制。

1 模型構(gòu)建

假設(shè)制造商向顧客提供免費(fèi)的BW服務(wù),BW區(qū)間為Ωb=(t,u),t∈[0,Wb],u∈[0,Ub],其中Wb和Ub分別為BW的時(shí)間期限和使用量期限。BW結(jié)束后,顧客可以支付額外費(fèi)用購買EW合同,EW區(qū)間為Ωe=(t,u),t∈[Wb,Wb+We],u∈[Ub,Ub+Ue],We和Ue分別為EW的時(shí)間范圍和使用量范圍。設(shè)質(zhì)保期內(nèi)產(chǎn)品發(fā)生的故障均采用最小維修方式加以修復(fù),維修時(shí)間忽略不計(jì)。為改善產(chǎn)品性能,制造商實(shí)施一系列二維PM措施(每K個(gè)時(shí)間間隔或每L個(gè)使用量間隔實(shí)施一次PM,以先到者為準(zhǔn)),如圖1所示。

制造商承擔(dān)質(zhì)保期內(nèi)產(chǎn)品發(fā)生故障的修復(fù)成本以及PM的投入成本,并以此確定延保的最低售價(jià),消費(fèi)者在EW的潛在維修費(fèi)用界定了延保的最高價(jià)格。本文的主要目的是分析不同PM方案以及消費(fèi)者使用率對(duì)延長質(zhì)保價(jià)格的影響并探討定制化的PM策略和延保價(jià)格機(jī)制。

1.1 產(chǎn)品故障建模

隨著使用時(shí)間、使用量(里程、次數(shù)等)的增加,機(jī)電產(chǎn)品的老化現(xiàn)象逐漸加深。為了解產(chǎn)品的退化性能,需要對(duì)其故障過程進(jìn)行建模和分析。常用的二維質(zhì)保故障建模方法包括:兩變量法、復(fù)合尺度法和使用率法[13]。由于使用率法能較好地反映時(shí)間和使用量對(duì)產(chǎn)品故障率的影響,故本文采用使用率法。令t=0表示產(chǎn)品開始使用的時(shí)刻,T(t)和U(t)分別表示產(chǎn)品在時(shí)間t時(shí)的累積使用時(shí)間和累積使用量。假定產(chǎn)品在[0,t)區(qū)間內(nèi)沒有發(fā)生故障或發(fā)生的故障都得到修復(fù)且修復(fù)時(shí)間可以忽略,則T(t)=t。使用率法假定U(t)和T(t)之間存在一個(gè)非負(fù)系數(shù)R的線性關(guān)系。以R表示產(chǎn)品的使用率,R=U(t)/T(t)=U(t)/t。不同用戶的使用率具有差異,但同一用戶的使用率保持恒定,并且單個(gè)產(chǎn)品在整個(gè)質(zhì)保期內(nèi)的使用率也是不變的。因此,可以認(rèn)為使用率R是一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量,并服從函數(shù)G(r)=P{R≤r},0≤r<∞。假設(shè)對(duì)發(fā)生故障的產(chǎn)品都采取最小維修方式,則產(chǎn)品故障服從故障率為λ(t|r)的非齊次泊松過程。為方便案例研究,本文采用文獻(xiàn)[12-13]中的條件故障率函數(shù)來描述使用時(shí)間、顧客使用率(使用量與使用時(shí)間的比值)對(duì)產(chǎn)品性能退化的影響。其表達(dá)式如下

(1)

式中,θ0,θ1,θ2,θ3均為非負(fù)常數(shù)系數(shù)。

1.2 不完全PM建模

PM可以減少產(chǎn)品的故障次數(shù),改變?cè)O(shè)備的故障率。本文采用文獻(xiàn)[8]的年齡回溯模型來描述PM的實(shí)施效果。實(shí)施PM能夠減少產(chǎn)品的虛擬年齡,減少量取決于PM的水平m,m∈[0,∞]且為整數(shù),PM的效果隨著m的增加而增大。假定在質(zhì)保期內(nèi)的離散時(shí)刻(π1,π2,…,πj)實(shí)施PM,令π=0表示產(chǎn)品開始使用的時(shí)刻,此時(shí)v0=0,令vj-1表示實(shí)施第(j-1)次PM活動(dòng)后產(chǎn)品的虛擬年齡,j≥2。則第j次PM活動(dòng)實(shí)施前產(chǎn)品的虛擬年齡為vj=vj-1+(πj-πj-1)。若PM水平為m,則第j次PM活動(dòng)后產(chǎn)品的虛擬年齡為vj=vj-1+δ(m)(πj-πj-1)。δ(m)為PM的年齡遞減因子,0≤δ(m)≤1。δ(m)是m的遞減函數(shù),δ(0)=1,δ(∞)=0。如果m=0,則PM沒有對(duì)產(chǎn)品故障率造成影響,產(chǎn)品修舊如舊,存在vj=πj,j≥2;如果實(shí)施最大水平的PM,則產(chǎn)品相當(dāng)于修復(fù)如新。多數(shù)情況下,m介于0與∞之間,即實(shí)施不完全PM活動(dòng),導(dǎo)致產(chǎn)品的故障率介于修舊如舊與修復(fù)如新之間的狀態(tài)。本文采用指數(shù)型遞減函數(shù)來描述δ(m)與m之間的關(guān)系，即δ(m)=(1+m)e-m。

2 模型的建立

站在制造商的角度,總質(zhì)保成本包括最小維修成本和PM成本。令Cm和Cp分別表示單次最小維修成本和單次PM成本,E[C(K,L,m)]表示制造商在EW內(nèi)的期望質(zhì)保成本,其中K和L分別為PM活動(dòng)的時(shí)間間隔和使用量間隔,m為PM實(shí)施的水平?？紤]到不同顧客使用率具有差異性,其質(zhì)保期結(jié)束的時(shí)刻也不一致。給定一類消費(fèi)者的使用率為r,則其產(chǎn)品在BW和EW結(jié)束時(shí)的時(shí)間分別為:

(2)

(3)

于是,EW的實(shí)際長度為

(4)

在BW和EW內(nèi),基于時(shí)間維度下二維PM的間隔期分別為:

(5)

(6)

設(shè)質(zhì)保期內(nèi)PM的水平m保持不變,則實(shí)施第j次PM活動(dòng)后,產(chǎn)品的虛擬年齡為

(7)

2.1 剛性延保價(jià)格模型

基于以上描述,分別從制造商和顧客的角度,給出4種PM方案下延長質(zhì)保的價(jià)格模型。分別令Pl,i和Pu,i表示制造商制定的最低延保價(jià)格和最高延保價(jià)格,i=1,2,3,4,對(duì)應(yīng)4種PM方案。從數(shù)值上看,Pl,i相當(dāng)于EW內(nèi)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)PM策略時(shí)的延長質(zhì)保成本,而Pu,i根據(jù)EW內(nèi)沒有實(shí)施PM活動(dòng)時(shí)的延長質(zhì)保成本來確定。

Case 1 整個(gè)質(zhì)保期內(nèi)沒有PM活動(dòng)。令產(chǎn)品在延長質(zhì)保期間的期望故障數(shù)為Ne,有

(8)

由于此方案下產(chǎn)品發(fā)生自然狀態(tài)下的退化現(xiàn)象,所以針對(duì)所有顧客,延保價(jià)格為

(9)

Case 2 在[0,Wb+We]期間實(shí)施二維PM措施,該策略下產(chǎn)品性能得到持續(xù)改善。

假定制造商實(shí)現(xiàn)最小質(zhì)保服務(wù)成本時(shí),PM的時(shí)間間隔和使用度間隔分別為(K*,L*),實(shí)施次數(shù)為n*。令nb*表示在(K*,L*)策略下,BW期間實(shí)施的PM次數(shù)。于是制造商在EW的質(zhì)保服務(wù)成本為

(10)

延長質(zhì)保的價(jià)格為:

Case 3 只在[0,Wb]實(shí)施PM活動(dòng)。該方案導(dǎo)致產(chǎn)品以較低的故障率進(jìn)入EW。

對(duì)于平均使用率r,制造商的延長質(zhì)保服務(wù)成本為

(13)

由于EW期間沒有PM活動(dòng),所以延保價(jià)格為

(14)

Case 4 只在延長質(zhì)保期間實(shí)施PM項(xiàng)目。平均使用率r下,制造商承擔(dān)的延長質(zhì)保成本為

(15)

延長質(zhì)保價(jià)格為:

2.2 定制化延保價(jià)格模型

將顧客進(jìn)行分類并提供相應(yīng)的質(zhì)保服務(wù),是定制化質(zhì)保合同的有效做法。本文將使用率最低的25%顧客定義為低使用率群體,使用率最高的25%顧客定義為高使用率群體,其余50%顧客為中使用率群體。根據(jù)該分類方法,延保最低售價(jià)可以調(diào)整為如下形式:

于是,根據(jù)EW期顧客支付的最大潛在維修費(fèi)用,延長質(zhì)保的最高價(jià)格分別為:

上標(biāo)l,m和h分別對(duì)應(yīng)低、中和高使用率顧客,Nil,Nim和Nih分別表示定制化方案下3類顧客的產(chǎn)品在EW內(nèi)的期望故障次數(shù)。

3 案例分析

本節(jié)以某汽車零部件為例,驗(yàn)證模型的有效性。假定產(chǎn)品出售時(shí)附帶二維質(zhì)保合同,顧客面臨購買EW的決策問題。設(shè)Wb=3 a,Ub=3×104km,We=3 a,Ue=3×104km;λ(t|r)的參數(shù)設(shè)置為θ0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.7,θ3=0.7,與文獻(xiàn)[12]的數(shù)據(jù)相同。假設(shè)消費(fèi)者的使用率r服從均勻分布,其概率密度函數(shù)為g(r)=1/(rmax-rmin),rmin≤r≤rmax。參考Huang等[14]模型中的數(shù)值,本文取rmin=0.2×104km/a,rmax=3.4×104km/a,并令rl=1.0×104km/a和rh=2.6×104km/a分別表示g(r)的第1個(gè)和第3個(gè)四分位點(diǎn)。令Cm=250元,表1給出了不同PM水平下δ(m)和Cp的取值,與文獻(xiàn)[8]的參數(shù)一致?？梢钥吹?隨著m的增大,年齡遞減因子變小,同時(shí)所投入的PM費(fèi)用升高。

表1 PM的相關(guān)參數(shù)

工程實(shí)際中,預(yù)防性維修活動(dòng)的實(shí)施通常是離散性的。本文利用MATLAB對(duì)模型進(jìn)行求解,以得到最優(yōu)的PM策略及相應(yīng)的質(zhì)保成本。為符合PM的可操作性,案例中K和L的搜索步長分別設(shè)置為1個(gè)月和1 000 km。

3.1 剛性PM策略和延保價(jià)格

表2給出不同PM水平取值下相對(duì)應(yīng)的PM策略及延長質(zhì)保價(jià)格。圖2顯示了延長質(zhì)保價(jià)格的取值范圍。表2中K*,L*分別表示給定PM水平下,制造商實(shí)現(xiàn)最低質(zhì)保服務(wù)成本時(shí),實(shí)施PM措施的時(shí)間間隔和使用量間隔;價(jià)格區(qū)間[Pl,Pu]中,Pl表示制造商制定的最低延長質(zhì)保售價(jià),Pu表示顧客愿意支付的最高延保價(jià)格?？紤]制造商的盈利水平和顧客的支付意愿,價(jià)格區(qū)間的中間值是雙方總體滿意度最大的選擇。例如m=1時(shí)的Case 2,延長質(zhì)保價(jià)格區(qū)間為[2 014,2 165]元,平均價(jià)格P=(Pl+Pu)/2=2 090元。令Pr(Pr=Pu-Pl)表示每個(gè)Case中延長質(zhì)保售價(jià)的范圍,顯然Pr越大,雙方的選擇范圍越大,制造商的利潤空間和顧客承擔(dān)維修費(fèi)用的靈活性越大,滿足雙方需求的可行解越豐富,如圖3所示。

表2 面向所有顧客的PM策略和延保價(jià)格

圖2 4種PM方案下的延保價(jià)格

PM水平mCase 1Case 2Case 3Case 4[Pl,Pu]K?L?[Pl,Pu]K?L?[Pl,Pu]K?L?[Pl,Pu]012345[309, 309][309, 309][309, 309][309, 309]510[175, 276]511[275, 275]511[298, 309]612[124, 225]511[232, 232]511[289, 309]715[137, 238]715[238, 238]715[288, 309]715[143, 228]715[228, 228]715[294, 309]1020[165, 196]715[224, 224]715[306, 309]

圖3 不同PM方案下的延保價(jià)格范圍

根據(jù)上述結(jié)果,可以得到以下結(jié)論:

1) Case 1和Case 3中,EW期沒有PM活動(dòng),所以Pl=Pu,如圖2a)和圖2c)所示。2 252元是Case 1的平衡點(diǎn),延保價(jià)格高于2252元,顧客購買EW的意愿將會(huì)降低;而低于2250元,制造商則沒有質(zhì)保收益。在Case 3中,BW實(shí)施了PM措施,產(chǎn)品以較低的故障率進(jìn)入EW期,延保價(jià)格低于Case 1。

2) Case 2中,Pr隨著m的增加而增大,如圖3所示。二維PM策略存在一個(gè)現(xiàn)象:當(dāng)m=4時(shí),制造商的質(zhì)保費(fèi)用最低為921元,如圖2b)所示,此時(shí)PM的間隔期為9個(gè)月或1.5×104km。原因在于m≥4時(shí),δ(m)逐漸變小,但是單次PM費(fèi)用卻急速增加。

3) 不同方案中,最優(yōu)PM策略也具有差異性(Case 2中m=4,間隔期為9個(gè)月或1.5×104km,該方案的Pr也更大,如圖3所示;而Case 3和Case 4中m=3,間隔期為9個(gè)月或1.1×104km)。部分原因是BW和EW期內(nèi)分別單獨(dú)實(shí)施PM措施時(shí),PM的間隔期相對(duì)小,造成的虛擬年齡減少量也較少,導(dǎo)致產(chǎn)品的故障率和質(zhì)保成本下降的少。

3.2 定制化延保價(jià)格策略

實(shí)際中,顧客之間的產(chǎn)品使用模式具有差異性,導(dǎo)致產(chǎn)品呈現(xiàn)出不同的退化規(guī)律。因此,基于使用率將顧客進(jìn)行分類,制定與使用模式相適應(yīng)的PM方案和延保價(jià)格機(jī)制會(huì)更符合工程實(shí)際需求,也可以為不同顧客提供更多選擇柔性質(zhì)保策略的機(jī)會(huì)。

表4 中使用率顧客的PM策略和延保價(jià)格

表5 低使用率顧客的PM策略和延保價(jià)格

表3～5分別給出了3類使用率顧客的最優(yōu)PM策略和延保價(jià)格。據(jù)此可以得出以下結(jié)論:

1) 針對(duì)Pl與Pu的值,高使用率顧客最小,中使用率最大,低使用率介于兩者之間,如表3～5所示。這是由于:高使用率顧客在很短時(shí)間內(nèi)便結(jié)束了質(zhì)保期,產(chǎn)品發(fā)生故障的維修費(fèi)用最少;質(zhì)保結(jié)束時(shí)低使用率顧客的使用量遠(yuǎn)低于使用度期限(U),說明產(chǎn)品的使用頻次比較低,維修費(fèi)用也較少;中使用率顧客的使用時(shí)間和使用量都很接近2個(gè)維度的期限(W和U),產(chǎn)品的使用頻次和使用時(shí)間都很高,因此產(chǎn)品在2個(gè)維度上將會(huì)發(fā)生嚴(yán)重的退化現(xiàn)象。

2) 在Case 2、Case 3和Case 4中,隨著m的增加,二維PM的間隔期逐漸變大。說明PM的投入程度越大,相應(yīng)的實(shí)施頻次越低,以緩解投入過高的PM成本。

3) 顧客使用模式的差異性導(dǎo)致相應(yīng)的PM策略也隨之改變。以Case 2為例,對(duì)于高使用率顧客,當(dāng)m=2、間隔期為6個(gè)月或1.2×104km時(shí),制造商的質(zhì)保成本最小,Pr也最大;而針對(duì)中、低使用率顧客,m=4時(shí),制造商的質(zhì)保成本最少,PM的間隔期分別為10個(gè)月或1.2×104km、12個(gè)月或1.0×104km。說明顧客的使用率越高,PM的實(shí)施頻次也相應(yīng)提高,以減緩產(chǎn)品過高的故障率。

4 結(jié) 論

本文在二維質(zhì)?？蚣芟?針對(duì)免費(fèi)維修質(zhì)保合同內(nèi)隨機(jī)失效的產(chǎn)品,研究延長質(zhì)保的定價(jià)問題。為反映使用時(shí)間和使用量對(duì)產(chǎn)品退化性能的影響,引入二維PM策略。通過構(gòu)建EW的成本模型,分析不同PM方案對(duì)延保價(jià)格的影響,并提出定制化的延保價(jià)格機(jī)制。根據(jù)案例分析,得出如下結(jié)論:①在BW和EW期內(nèi)實(shí)施統(tǒng)一的PM措施,制造商會(huì)獲得更高的延保收益,顧客也能夠體驗(yàn)較高的產(chǎn)品性能;②為不同使用強(qiáng)度的顧客提供定制化的延長質(zhì)保價(jià)格和PM策略更加符合實(shí)際需求。后續(xù)研究可以采用按比例分?jǐn)傎|(zhì)保、可更新免費(fèi)更換質(zhì)保等策略。此外，考慮多種維修方式的組合、顧客的風(fēng)險(xiǎn)偏好、環(huán)境變量以及不同分布的用戶使用率等因素,也可以豐富柔性質(zhì)保定價(jià)問題,得到更加符合工程實(shí)際的質(zhì)保策略。