張寧寧

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

0 引 言

一般換能器的聲阻抗遠(yuǎn)大于空氣的聲阻抗，所以應(yīng)設(shè)計(jì)一種新型換能器滿足其阻抗要求。復(fù)合彎振換能器可以使其聲輻射效率和指向性得到明顯提高，已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[1-5]。文獻(xiàn)[6-7]分別對(duì)階梯圓盤彎曲振動(dòng)輻射聲場(chǎng)和輻射阻抗進(jìn)行了比較詳細(xì)的研究。目前對(duì)圓盤及階梯圓盤彎曲振動(dòng)特性及聲場(chǎng)的研究相對(duì)比較成熟，但大多采用沒有計(jì)入剪切形變影響的薄板理論，隨著板的厚度增加，該理論的誤差較大。指向性是描述聲輻射體將聲波輻射到各個(gè)方向的能力大小的一個(gè)物理量，是描述聲場(chǎng)特性比較重要的物理量[8-9]，因此在實(shí)際應(yīng)用中具有指向性的聲輻射體被廣泛使用。文獻(xiàn)[10]對(duì)任意陣型的水聲換能器的輻射聲場(chǎng)進(jìn)行研究，文獻(xiàn)[11]對(duì)階梯型圓盤復(fù)合換能器的指向性進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。在高頻大功率聲輻射條件下，經(jīng)常需采用機(jī)械強(qiáng)度高、橫向尺寸小的中厚盤[12-15]。目前對(duì)中厚盤的輻射聲場(chǎng)指向性的研究不多，文獻(xiàn)[16-17]利用有限元法對(duì)厚圓盤在不同邊界條件下的基頻彎曲振動(dòng)輻射聲場(chǎng)進(jìn)行研究。為了進(jìn)一步詳細(xì)而全面地研究厚圓盤的輻射聲場(chǎng)特性，本文在應(yīng)用Mindin理論對(duì)厚圓盤的彎曲振動(dòng)研究基礎(chǔ)上[15]，推導(dǎo)出厚圓盤在三種不同邊界條件下的彎曲振動(dòng)輻射聲場(chǎng)指向性的通用表達(dá)式，利用計(jì)算機(jī)編程對(duì)其聲輻射特性進(jìn)行詳細(xì)研究，其結(jié)果對(duì)大功率彎曲振動(dòng)輻射體的實(shí)際應(yīng)用可提供一定的理論參考。

1 彎曲振動(dòng)厚圓盤的頻率方程

1.1 Mindin理論

假設(shè)厚圓盤的半徑為a，厚度為h，上下表面不受切向力。根據(jù)Mindlin理論，有如下形式的質(zhì)點(diǎn)位移[15]：

其中，ur、uθ、?分別表示徑向、切向、z向的位移。

彎矩和剪力分別為

位移函數(shù)?1、?2分別滿足：

其中：

式中，D=Eh3/12(1-ν2)k2=π/12。ρ、ω、D分別為盤的密度、角頻率、彎曲剛度常數(shù)，R、S分別為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和橫向剪切變形的影響，ν為泊松比。當(dāng)r=0時(shí)，圓盤的?不能為無限大，由對(duì)稱性可知ur(0,z)=0，彎矩Mr以及剪力Qr的表達(dá)式為

式中，J0(δir)，J1(δir)分別為為零階、一階貝塞爾函數(shù)，A1、A2是由邊界條件決定的待定常數(shù)。

1.2 不同邊界條件下厚圓盤的彎曲振動(dòng)頻率方程

自由邊界條件下，圓盤邊界處的彎矩和剪力為0，由式(8)、(9)可得[15]：

根據(jù)式(10)、(11)可確定系數(shù)A1、A2。將其代入式(7)即可得自由邊界條件下圓盤的橫向位移。根據(jù)式(10)、(11)可得厚圓盤在自由邊界條件下的彎曲振動(dòng)共振頻率方程為

簡(jiǎn)支邊界條件下，圓盤邊界處的橫向位移和彎矩為0，由式(7)、(8)可得：

根據(jù)式(13)、(14)可確定系數(shù)A1、A2。將其代入式(7)即可得自由邊界條件下圓盤的橫向位移。根據(jù)式(13)、(14)可得簡(jiǎn)支邊界條件可確定厚圓盤在簡(jiǎn)支邊界條件下的彎曲振動(dòng)共振頻率方程為

固定邊界條件下，圓盤邊界處的橫向位移及其導(dǎo)數(shù)等于零，由式(7)可得：

根據(jù)式(16)、(17)可確定系數(shù)A1、A2。將其代入式(7)即可得自由邊界條件下圓盤的橫向位移。根據(jù)式(16)、(17)可確定厚圓盤在固定邊界條件下的彎曲振動(dòng)共振頻率方程為

由頻率方程(12)、(15)、(18)可知，如果其他參數(shù)給定且圓盤半徑不變，三種邊界條件下，相同厚度的圓盤彎曲振動(dòng)的諧振頻率是不同的，且比較研究可知，固定邊界時(shí)的諧振頻率大于自由邊界條件時(shí)的諧振頻率，但兩種情況下自由邊界條件和固定邊界條件的諧振頻率遠(yuǎn)大于簡(jiǎn)支邊界條件的諧振頻率。

圖1、2分別是厚度為6 mm、直徑為50 mm的厚圓盤在三種邊界條件下的基頻振型圖和位移分布圖。三種邊界邊界條件下，自由邊界下中心位移最大，固定邊界和簡(jiǎn)支邊界下相比固定邊中心位移相對(duì)大些，但邊界處的橫向位移為0，這些結(jié)論與板的振動(dòng)理論是相符的。

圖1 不同邊界下基頻振型圖Fig.1 Fundamental frequency mode diagrams under different boundary conditions

圖2 不同邊界下基頻橫向位移Fig.2 Transverse displacements of fundamental frequency under different boundary conditions

2 彎振厚圓盤的聲場(chǎng)指向性推導(dǎo)

厚圓盤作軸對(duì)稱的彎曲振動(dòng)，由式(7)可得，其中心的橫向位移和振動(dòng)速度分別為

速度振幅為：U=jω[A1J0(δ1r)+A2J0(δ2r)]。取圓盤圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，其上表面位于xy平面，z軸垂直于盤面并過中心，如圖1所示。厚圓盤所產(chǎn)生的輻射聲場(chǎng)關(guān)于z軸是對(duì)稱的，因此可認(rèn)為場(chǎng)點(diǎn)p(r,θ)是位于xz平面上且到原點(diǎn)的距離為r，位移矢量r與z軸的夾角為θ。

圖3 厚圓盤聲場(chǎng)計(jì)算示意圖Fig.3 Sound field calculation of thick disk

根據(jù)點(diǎn)狀聲源輻射聲壓的計(jì)算方法，可得厚圓盤彎曲振動(dòng)所產(chǎn)生的輻射聲壓為

其中，l是圓盤表面的點(diǎn)源dS到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，ρc0、k分別是特性阻抗和波數(shù)。r?a，因此式(21)中l(wèi)≈r，由圖3有：l2=r2+ρ2-2rρcosβ，展開該式，且r?ρ，所以l可表示為l=r-ρcosβ，式(15)變?yōu)?/p>

將以上結(jié)果代入式(16)，可得：

由以下貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)：

式(23)可寫為

式(25)的推導(dǎo)過程并沒有涉及厚圓盤的具體邊界條件，因此其結(jié)果對(duì)各種邊界條件下的輻射聲場(chǎng)的計(jì)算都適用。由式(25)可得彎振厚圓盤輻射聲場(chǎng)的指向性公式：

其中，A1、A2是由厚圓盤的邊界條件來確定的常數(shù)。在不同邊界條件下，厚圓盤的共振頻率方程是不同的，因此其輻射聲場(chǎng)指向性也是不同的，為了全面了解輻射聲場(chǎng)特性，因此有必要進(jìn)行以下研究。

3 彎振厚圓盤聲場(chǎng)指向性的比較

取厚圓盤材料為45號(hào)鋼，相關(guān)參數(shù)為：密度ρ=7.8×103kg·m-3，泊松比ν=0.28，彈性模量E=21.6×1010N·m-2，剪切模量G=8.4×1010N·m-2，波速c=5 050 m·s-1，頻率可由方程(12)、(15)、(18)確定。由式(26)可知，當(dāng)厚圓盤的尺寸和材料參數(shù)確定后，就可得到不同邊界條件下彎曲振動(dòng)厚圓盤的聲場(chǎng)指向性。

3.1 不同邊界條件下不同振動(dòng)模式和相同尺寸厚圓盤的指向性比較

對(duì)厚度為16 mm、直徑為50 mm的厚圓盤，通過式(26)對(duì)不同邊界條件下的指向性進(jìn)行研究，結(jié)果如圖4～6所示。

圖4 振動(dòng)模式基頻n=1時(shí)的聲場(chǎng)比較Fig.4 Comparison of the sound field at the fundamental frequency vibration mode of n=1

圖6 振動(dòng)模式n=3時(shí)的聲場(chǎng)比較Fig.6 Comparison of the sound field at the fundamental frequency vibration mode of n=3

由圖4～6比較可得自由、固定和簡(jiǎn)支邊界彎曲振動(dòng)厚圓盤輻射聲場(chǎng)指向性各有特點(diǎn)。自由邊界下彎振圓盤輻射能量在中心軸分布少，隨著振動(dòng)階數(shù)的增加，厚盤輻射能量在中心軸上分布增多，相比之下，能量仍主要分布在兩側(cè)。簡(jiǎn)支、固定邊界下彎曲振動(dòng)圓盤輻射能量分布在中心軸上，能量分布相對(duì)較集中。隨著振動(dòng)階數(shù)的增加，主瓣越來越尖銳，旁瓣逐漸增加，指向性變得越來越復(fù)雜。比較可得簡(jiǎn)支、固定邊界下彎曲振動(dòng)厚圓盤聲場(chǎng)指向性相對(duì)較好，但固定邊界下的彎曲振動(dòng)厚圓盤的指向性更尖銳，自由邊界下輻射聲場(chǎng)指向性最不尖銳。隨著振動(dòng)階數(shù)的增加，簡(jiǎn)支、固定邊界下的彎曲振動(dòng)厚圓盤的聲場(chǎng)指向性變得比較尖銳，但旁瓣能量分布也較多，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)統(tǒng)籌兼顧。在高頻、大功率條件下，可應(yīng)用厚盤能夠克服薄盤機(jī)械強(qiáng)度不足的缺點(diǎn)，研究結(jié)果為大功率彎曲振動(dòng)輻射體的應(yīng)用提供參考。

3.2 不同邊界條件下不同尺寸厚圓盤基頻指向性的對(duì)比

圖7 振動(dòng)模式n=1時(shí)的聲場(chǎng)比較 (8 mm)Fig.7 Comparison of the sound field at the fundamental frequency vibration mode of n=1 (8 mm)

圖8 振動(dòng)模式n=1時(shí)的聲場(chǎng)比較 (12 mm)Fig.8 Comparison of the sound field at the fundamental frequency vibration mode of n=1 (12 mm)

圖9 振動(dòng)模式n=1時(shí)的聲場(chǎng)比較 (16 mm)Fig.9 Comparison of the sound field at the fundamental frequency vibration mode of n=1 (16 mm)

圖10 振動(dòng)模式n=1時(shí)聲場(chǎng)比較 (20 mm)Fig.10 Comparison of the sound field at the fundamental frequency vibration mode of n=1 (20 mm)

取厚度分別為8、12、16、20 mm，直徑為50 mm的圓盤，通過式(26)對(duì)不同邊界條件下的基頻指向性進(jìn)行研究，結(jié)果如圖7～10所示。

由圖7～10可知，自由邊界條件下基頻振動(dòng)模式的彎振厚圓盤在中心軸上能量分布較少，主要分布在中心軸兩側(cè)，輻射能量較分散，輻射主聲束角寬度比較寬。固定邊界和簡(jiǎn)支邊界一階振動(dòng)模式下，彎振厚圓盤輻射能量分布在中心軸上，在中心軸兩側(cè)沒有能量分布，都沒有旁瓣，輻射主聲束角寬度比較窄。對(duì)以上各圖進(jìn)行比較可知，在三種邊界條件下，隨著厚度的增加，指向性都變得越來越尖銳。其結(jié)果表明彎曲振動(dòng)厚圓盤輻射能量在中心軸上變得越來越集中，聲場(chǎng)指向性好。在同邊界條件基頻振動(dòng)模式下，厚板指向性比薄板尖銳。

3.3 指向性與材料的關(guān)系

圖11 不同材料圓盤的70 kHz聲場(chǎng)Fig.11 Sound fields of disk with different materials at 70 kHz

圖12 同尺寸不同材料圓盤聲場(chǎng)Fig.12 Sound fields of the same size disk with different materials

在同一彎曲振動(dòng)諧振頻率下(取頻率為70 kHz)，材料分別為鋁、鋼、銅的厚盤指向性如圖11所示。從圖11可看出，對(duì)固定邊界條件下，同一種諧振頻率、不同材料的指向性變化不大，這說明厚盤材料對(duì)其指向性的影響較小。圖12為同尺寸、不同材料厚盤的聲場(chǎng)指向性圖。由圖12可知，對(duì)于同尺寸、不同頻率的厚盤，鋼材料的指向性最好，銅材料最小，鋁材料次之，因?yàn)橥叽缦落摬牧虾癜宓闹C振頻率最大，而銅材料對(duì)應(yīng)的頻率最小。

4 結(jié) 論

(1)厚盤輻射體機(jī)械強(qiáng)度高，橫向尺寸小，在高頻大功率聲輻射條件下經(jīng)常被應(yīng)用。應(yīng)用Mindin理論結(jié)合具體邊界條件計(jì)算得到了3種邊界條件下厚圓盤彎曲振動(dòng)的諧振頻率方程，并給出了3種邊界條件下圓盤基頻的振型圖和橫向位移分布圖。

(2)推導(dǎo)出3種不同邊界條件下厚圓盤輻射聲場(chǎng)指向性的數(shù)值表達(dá)式，利用計(jì)算機(jī)編程對(duì)其聲輻射特性進(jìn)行研究。在不同邊界條件下，尺寸相同的厚圓盤各階指向性的尖銳程度是不同的，研究結(jié)果表明固定邊界條件下的輻射聲場(chǎng)指向性最尖銳，自由邊界條件下聲場(chǎng)指向性最尖銳，簡(jiǎn)支邊界條件次之。

(4)對(duì)不同尺寸、不同邊界條件厚圓盤指向性的對(duì)比可知，基頻振動(dòng)模式下，隨著厚度的增加，各邊界條件下厚圓盤的輻射聲場(chǎng)指向性變得越來越尖銳。研究結(jié)果對(duì)厚盤彎曲振動(dòng)輻射體的實(shí)際應(yīng)用可提供理論依據(jù)。

(5)對(duì)于諧振頻率和邊界條件相同而材料不同的圓盤的指向性，材料對(duì)其聲場(chǎng)指向性的影響較??；對(duì)于同尺寸、不同頻率的厚圓盤，材料對(duì)厚盤聲場(chǎng)指向性的影響較大。