Hilbert空間的張量積的連續(xù)性

邢美麗

(中國海洋大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266071)

歸納極限在研究空間性質(zhì)方面有廣泛的作用. 2000年, 紀(jì)培勝[1]中探討了算子空間的定向極限和逆極限并定義了算子空間的Haagerup張量積, 然后證明了Hilbert列空間的無限Haagerup張量積與Hilbert空間的無限張量積是相容的. 2002年, Ryan[2]介紹了巴拿赫空間的張量積并給出了不同的范數(shù). 2018年, Janson Antony[3]研究了算子空間的歸納極限與算子空間的張量積. 在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上, 我們研究了內(nèi)積空間的歸納極限的概念及其關(guān)于張量積的連續(xù)性, 這些探索有助于理解C*-代數(shù)的逼近與擾動(dòng)理論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]若H,K,H′,K′為向量線性空間. 如果μ:H→H′,ν:K→K′, 則存在唯一的映射μ?ν:H?K→H′?K′, 使得對(duì)任取x∈H,y∈K均有

(μ?ν)(x?y)=μ(x)?ν(y).

定義2[4]設(shè)H,K為Hilbert空間, 則在H與K的代數(shù)張量積HΘK上可定義內(nèi)積:

其中xi,xj∈H,yi,yj∈K, 則HΘK構(gòu)成內(nèi)積空間, 完備化記為H?K.

2 內(nèi)積空間的歸納極限的定義

1)對(duì)任意的n∈N, 有g(shù)n,n=1Hn;

2)對(duì)于任意的n≤m≤k, 有g(shù)km°gmn=gkn;

則稱{Hn,gmn}為內(nèi)積空間的一個(gè)正向系.

1)對(duì)于任意的n≤m, 有φn=φm°gmn, 即圖1可交換;

圖1 可交換，φn=φm°gmn

圖2 可交換，ψn=g°φn

定理1 若內(nèi)積空間的正向系{Hn,gmn}的歸納極限存在, 則歸納極限在酉等價(jià)意義下唯一.

證明: 設(shè)(H,φn)和(K,μn)均為正向系{Hn,gmn}的歸納極限, 則對(duì)任意的n≤m有:φn=φm°gmn,μn=μm°gmn.

由歸納極限的定義, 存在范數(shù)小于等于1的有界線性算子g:H→K. 同理, 存在范數(shù)小于等于1的有界線性算子f:K→H, 再由唯一性可以得到f°g=1H, 類似的可以得到g°f=1K, 這就證明了g為滿射. 任取x∈H, 有

即g為等距的滿射. 因此, 歸納極限在酉等價(jià)意義下唯一.

以下給出歸納極限的具體構(gòu)造:

設(shè){Hn}為一列內(nèi)積空間. 令

設(shè){Hn,gmn}為內(nèi)積空間的一個(gè)正向系. 令

任取{xn}∈H0, 存在正整數(shù)N, 當(dāng)k>N時(shí),

證明1)任給m≥n及x∈Hn, 則有:

φn(x)-φm°gmn(x)=π(νn(x)-(νm°gmn)(x))=0.

因此φn=φm°gmn. 因?yàn)?x∈Hn, 都有φn(x)=φn+1°gn+1,n(x), 所以有

vN+1(xN+1)=(0,…,0,xN+1,gN+2,N+1(xN+1),…).

2) 由

得

令ε→0, 我們可以得到ψn(x)=ψm(y). 這樣我們就可以定義一個(gè)映射:

由上可知g的定義合理. 下證g為有界線性算子,

先證g為線性的: 任取α,β∈C,

g(αφn(x)+βφn(y))=ψn(αx+βy)=αψn(x)+βψn(y)=αg(φn(x))+βg(φn(y)).

再證g為有界的: 任取k為整數(shù), 則有

因此,

3 Hilbert空間的張量積關(guān)于歸納極限的連續(xù)性

命題1 若{Hn,fmn}和{Kn,gmn}分別為Hilbert空間的正向系, 則{Hn?Kn,fmn?gmn}為Hilbert空間的正向系.

證明1)fnn?gnn=1Hn?Kn;

2)對(duì)任意的n

(fkm?gkm)(fmn?gmn)=(fkmfmn)?(gkmgmn)=fkn?gkn;

因此{(lán)Hn?Kn,fmn?gmn}為正向系.

定義5 設(shè)(H,μn)為正向系{Hn,fmn}的任一歸納極限, (K,νn)為正向系{Kn,gmn}的任一歸納極限, 若(H?K,φn)為正向系{Hn?Kn,fmn?gmn}的歸納極限, 則稱Hilbert空間的張量積關(guān)于歸納極限是連續(xù)性的.

定理3 設(shè)(H,μn)為正向系{Hn,fmn}的任一歸納極限, (K,νn)為正向系{Kn,gmn}的任一歸納極限, 則(H?K,φn)為正向系{Hn?Kn,fmn?gmn}的歸納極限.

證明設(shè)(H,μn)為正向系{Hn,fmn}的歸納極限, (K,νn)為正向系{Kn,gmn}的歸納極限，則可以定義有界線性映射:

φn:Hn?Kn→H?K;

其中k≥i,j,xk=fki(xi),yk=gkj(yj). 下證h定義合理:

設(shè)k1>k2≥i,j, 則

ψk2(xk2?yk2)=ψk1(fk1k2?gk1k2)(xk2?yk2)=ψk1(xk1?yk1).

則像的取值與k無關(guān).

要證

令

φn+k(xn+k)=ψn+k(xn+k?yn+k),n≥0, 其中xn+k=fn+k,k(xk),yn+k=gn+k,k(yk).

顯然,φn+k:Hn+k→L是有界線性算子, 且對(duì)任意的n≤m有

φm+kfm+k,n+k(xn+k)=ψm+k(xm+k?ym+k)=ψm+k(fm+k,n+k?gm+k,n+k)(xn+k?yn+k)=ψn+k(xn+k?yn+k)=
φn+k(xn+k).

由歸納極限的定義, 存在唯一的有界線性算子fνj(yj):H→L使得φn+k=fνj(yj)°μn+k. 因此,

固定xi,x=μi(xi), 設(shè)(x,νj1(yj1))=(x,νj2(yj2)), 其中i1≥i2, 設(shè)k≥i,j1,j2,

fy1(x)+fy2(x)=h(x,y1)+h(x,y2)=h(x,y1+y2)=fy1+y2(x).

則任取x∈H, 由fy1,fy2,fy1+y2的連續(xù)性知,

fy1(x)+fy2(x)=fy1+y2(x).

h(x,y1)=fy1(x)→fy2(x)=h(x,y2),

這樣h關(guān)于x,y分別連續(xù).令gx(y)=h(x,y),fy(x)=h(x,y), 則任取x∈H, 存在Cx, 使得gx(y)≤Cxy, 固定x, 任取y≤1,