王素霞,王鑫鑫,董玲珍
(太原理工大學 數(shù)學學院,太原 030024)
流行病學是研究傳染病發(fā)病機理、傳播規(guī)律,并提出防治疾病、改善健康狀況的措施和優(yōu)化策略的科學。建立數(shù)學模型是對于流行病學研究常用且重要的方法。關(guān)于傳染病的研究已經(jīng)取得了不錯的成果,這些工作都始于1927年KERMACK et al提出的SIR倉室模型[1]。之后,越來越多的學者從不同的方面對于確定性流行病模型進行改善和創(chuàng)新,也取得了許多有價值的成果。YU et al[2]對兩組隨機SIR模型進行了研究;JIANG et al[3]對隨機SIR模型的全局正解的漸近行為進行了討論;孟琳琳等[4]考慮了恢復率受噪音影響的隨機SIR模型解的漸近行為;DALAL et al[5]對有關(guān)HIV病毒的隨機傳染病模型進行了分析。文獻[6]考慮了如下的SIS模型:
(1)
E*=(S*,I*) .
(2)
顯然,確定系統(tǒng)(1)中的無病平衡點E0也是隨機系統(tǒng)(2)的平衡點,系統(tǒng)(1)的地方病平衡點E*不再是隨機系統(tǒng)(2)的平衡點,但可以討論系統(tǒng)(2)的解在系統(tǒng)(2)平衡點E*處的漸近行為。本文就上述系統(tǒng)(2)的解的漸近行為進行討論。
在處理種群動力學模型中,不能有負解的存在,否則對系統(tǒng)的研究就沒有價值。因此,首先證明解的正性和有界性;其次給出基本再生數(shù)R0<1時,系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0的隨機穩(wěn)定性;然后討論R0>1時,系統(tǒng)(2)的全局正解在系統(tǒng)(1)地方病平衡點E*處的漸近行為;最后用數(shù)值模擬驗證上述討論的結(jié)論。
對給定的初值N(0)=S(0)+I(0),由系統(tǒng)(2)知總?cè)丝贜(t)滿足方程
dN(t)=(A-μN(t)-αI)dt≤(A-μN(t))dt.
則S(t)≤N1,I(t)≤N1,t∈[0,τe)a.s..同樣可得
則S(t)≥N2,I(t)≥N2,t∈[0,τe)a.s.,則系統(tǒng)(2)的解有界。
P{τk≤T}≥ε,?k≥k1.
(3)
V(S,I)=S+1-ln(S)+I+1-ln(I) .
由于u+1-ln(u)≥0,?u>0,可得V(S,I)的非負性。運用Ito’s公式,則有
式中:
因此
兩邊求期望可得:
(4)
即
(5)
從式(3)-式(5)得:
這里,1Ωk是Ωk指示函數(shù)。會k→∞時,有V(S(0),I(0))+K1T≥∞.這與V(S(0),I(0))+K1T為有限數(shù)矛盾,因此τ∞=∞ a.s..
證明從隨機系統(tǒng)(2)中,作變量替換u=S-S0,v=I,則系統(tǒng)(2)寫成
(6)
即證明隨機系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0的穩(wěn)定性等價于證明系統(tǒng)(6)零解的穩(wěn)定性。
定義Lyapunov函數(shù)
式中:c1為待定的正常數(shù),所構(gòu)造的V1是正定函數(shù)。應用Ito’s公式有
由于
故系統(tǒng)(6)的零解是隨機漸近穩(wěn)定的,進而可知系統(tǒng)(2)的無病平衡點是E0隨機漸近穩(wěn)定的,定理得證。
當R0>1時,確定系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點E*=(S*,I*)且全局漸近穩(wěn)定。進一步有:
但E*不是隨機系統(tǒng)(2)的地方病平衡點,但我們可以討論隨機系統(tǒng)(2)的解在E*處的漸近行為。
證明定義Lyapunov函數(shù):
V2(S,I)=V21(S,I)+c1V22(S,I) .
運用Ito’s公式,得
其中,
又
則
由不等式a2≤2(a-b*)2+2b*2,則
(7)
對式(7)取0到t的積分,取期望,得
則有
因此
定理得證。
注:定理3說明,當R0>1時,系統(tǒng)(2)的解在系統(tǒng)(1)的地方病平衡點E*處隨機波動,波動強度與白噪聲強度σ相關(guān)。白噪聲強度σ越小,越接近系統(tǒng)(1)的地方病平衡點E*.當σ=0時,E*是系統(tǒng)(2)的地方病平衡點。
用文獻[10]中Euler-Maruyama的方法,得到系統(tǒng)(2)離散化形式:
(8)
其中,Δt>0,ζk相互獨立的隨機變量且ζk~N(0,1).
為了驗證定理2的結(jié)論,取參數(shù)A=1.2,β=0.5,μ=0.3,α=0.1,φ=0.2,Δt=10-3,初值為(1,2),得R0≈0.833<1,E0=(4,0).再取滿足定理2條件的σ=0.27.圖1結(jié)果顯示,系統(tǒng)(2)的無病平衡點E*=(4,0)在一定條件下是隨機穩(wěn)定的,與定理2的結(jié)論吻合。
為了驗證定理3結(jié)論,給出初值(1,2),取A=1.2,β=0.65,μ=0.3,α=0.1,φ=0.2,得R0≈1.08>1,E*≈(3.6,0.3).再取滿足定理3條件的σ=0.4.圖2結(jié)果顯示,系統(tǒng)(2)的解在系統(tǒng)(1)的地方病平衡點E*≈(3.6,0.3)處的隨機波動。
圖1 R0≤1時,系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(2)軌線之間關(guān)系 Fig.1 When R0≤1, the relationship between trajectories of system (1) and system (2)
圖2 R0>1時,系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(2)軌線之間關(guān)系 Fig.2 When R0>1, the relationship between trajectories of system (1) and system (2)