二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)和全微分之間的關(guān)系

摘 要：通過證明或反例說明二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)，全微分之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)；連續(xù)；偏導數(shù)；全微分

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.12.202

對于一元函數(shù)來講，連續(xù)、導數(shù)和微分之間的關(guān)系比較簡單：可導與可微是等價的，可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。但對于二元函數(shù)來講，連續(xù)、偏導數(shù)和全微分之間的關(guān)系要相對復雜一些，本文通過證明或反例來說明三者之間的關(guān)系。

1 連續(xù)和偏導數(shù)之間的關(guān)系

1.1 已知偏導數(shù)存在，但不一定連續(xù)

例1 函數(shù) 在點處的兩個偏導數(shù)都存在：

但是在點卻不連續(xù)，事實上，令點沿趨向點，有：

1.2 已知連續(xù)，但偏導數(shù)不一定存在

例2 函數(shù)，顯然：

故在點處連續(xù)，而由：

知不存在，所以在點處不是可偏導的。

2 偏導數(shù)和全微分之間的關(guān)系

2.1 若可微，則偏導數(shù)一定存在

證明：由于在點處可微，于是在點的某一鄰域內(nèi)有：

其中。

特別地，當時，上式變?yōu)椋?/p>

在該式兩端各除以，再令，則得：

從而偏導數(shù)存在，且；同樣可證存在，且。

2.2 已知偏導數(shù)存在，但不一定可微

例3 函數(shù) 在點處的兩個偏導數(shù)都存在：

但是在點卻不可微，事實上：

令沿趨向，則：

這說明當時，并不是的高階無窮小，所以在點處不可微。

3 連續(xù)和全微分之間的關(guān)系

3.1 若可微，則一定連續(xù)

證明：由于在點處可微，即有：

其中。

于是，

即有，

從而，

即在點處連續(xù)。

3.2 已知連續(xù)，但不一定可微

在例2中，函數(shù)在點處連續(xù)，在點處不是可偏導的。由偏導和可微之間的關(guān)系，知在點處不可微。

綜上，二元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)和全微分之間的關(guān)系：函數(shù)在一點的連續(xù)性和函數(shù)在該點的偏導數(shù)的存在性之間沒有任何關(guān)系；函數(shù)在一點的偏導數(shù)存在是函數(shù)在該點可微的一個必要非充分條件，函數(shù)在一點可微是函數(shù)在該點的偏導數(shù)存在的一個充分非必要條件；函數(shù)在一點連續(xù)是函數(shù)在該點可微的一個必要非充分條件，函數(shù)在一點可微是函數(shù)在該點連續(xù)的一個充分非必要條件。

參考文獻：

[1]大連理工大學城市學院基礎(chǔ)教學部.應用微積分（下冊）[M].大連理工大學出版社，2013.

[2]大連理工大學城市學院基礎(chǔ)教學部.應用微積分同步輔導[M].大連理工大學出版社，2013.

[3]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（下冊）[M].高等教育出版社，

1998.

作者簡介：張宇紅（1979-），女，遼寧錦州人，碩士研究生，教授，研究方向：數(shù)學。