關于半預開集的一個注記

韓廣發(fā), 李丕余

(1.江蘇農林職業(yè)技術學院 基礎部，江蘇 句容 212400；2.東北大學 秦皇島分校 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河北 秦皇島 066004)

1 預備知識

設(X,T)是一個拓撲空間,A是X的一個子集，A的內部和閉包分別記為intT(A)和clT(A), 在不會造成誤解的情況下一般簡記為int(A)和cl(A)；子空間A上的相對拓撲記做TA。

在文獻[1]中，Nj?stad首先引入了半開集的概念；隨后，更多的廣義開集被引入和研究。這里我們先回憶一些常見的廣義開集。設X是一個拓撲空間,A?X是X的一個子集。如果A?cl(int(A)), 則稱A為半開集；如果A?int(cl(A)), 則稱A為預開集；如果A?int(cl(int(A))), 則稱A為α-開集；如果A?cl(int(cl(A)))，則稱A為半預開集；如果A?int(cl(A))∪cl(int(A)), 則稱A為b-開集[2]。稱A是正則閉集，當A=cl(int(A))。由定義可知，半開集、預開集、α-開集都是半預開集，反之未必成立。正則閉集一定是半開集。開集一定是α-開集，α-開集不一定是開集。

開集與半開集、預開集、半預開集的交分別是半開集、預開集、半預開集。Nj?stad在文獻[1]中證明了一個集合V是α-開集當且僅當V=UN, 其中U是開集，N是無處稠子集。(X,T)中所有的α-開集構成一個拓撲，此拓撲記為Tα。Tα通常比T細。若T=Tα, 則稱T為α-拓撲。

2 主要結論

我們知道，拓撲空間X中的一個集合P是預開集當且僅當P可以表示為P=O∩D[3]，其中O是X中的開集，D是X中的稠子集。關于半預開集我們有類似的結論。我們先看2條引理。

引理1[1]設X是一拓撲空間，U是X的一個子集。U是半開集當且僅當存在一個開集O使得O?U?cl(O)。

引理2[4]設X是一拓撲空間，O是開集，V是X的任意一個子集，則cl(O∩V)=cl(O∩cl(V))。

定理1設X是一拓撲空間，V是X的一個子集，則下面2個論述是等價的：

(1)V是一個半預開集；

(2)V可以表示為U∩D的形式，其中U是半開集，D是X中的稠子集。

證明(1)?(2) 設V是一個半預開集，則V?cl(int(cl(V)))。令U=cl(V)，由V?cl(int(cl(V))) ?cl(V)可知U是一個正則閉集，因此是半開集。記D=V∪(XU)。則D是X中的稠子集，并且V=U∩D。

(2)?(1) 假設V=U∩D，U是半開集，D是X中的稠子集。根據(jù)引理1，存在一個開集O使得O?U?cl(O)。因為cl(O∩D)=cl(O)，所以有V=U∩D?cl(O)=cl(O∩D)?cl(U∩D) =cl(V)。注意到V?cl(O)=cl(int(cl(O)))，cl(O)= cl(V)，可得V?cl(O)=cl(int(cl(V)))。即V是半預開集。

T.Nori等[5]中證明了，若V是(X,T)中的一個半開集，A是子空間(V,TV)中的半開集，則A是(X,T)中的半開集。類似地，我們得到定理2。

引理3[6]設V是拓撲空間X的一個子集，V是半預開集當且僅當存在一個預開集P使得P?V?cl(P)。

定理2設(X,T)是一個拓撲空間，V是(X,T)中的一個半預開集。若A是(V,TV)中的半預開集，則A是(X,T)中的半預開集。

證明A是(V,TV)中的半預開集，則存在(V,TV)中的預開集P滿足P?A?clTV(P)。因為P是(V,TV)中的預開集，故存在(V,TV)中的開集O和稠子集D使得P=O∩D。因為O是(V,TV)中的開集，故存在(X,T)中的開集O1使得O=O1∩V。

令P′=O1∩D∩int(cl(V))，則P′=O1∩D∩int(cl(V))?A。又因為P′=O1∩D∩int(cl(V))=O1∩(D∪(Xcl(V)))∩int(cl(V))，并注意到D∪(Xcl(V))是(X,T)中的稠子集，可知P′是(X,T)中的預開集。注意到O1∩D=O∩D=P以及V∩int(cl(V))是(V,TV)中的稠開子集，則clTV(P′)=clTV(O1∩D∩int(cl(V))=clTV(P∩V∩int(cl(V)))=clTV(P)。可知A?clTV(P′)，則必有A?clT(P′)，因此，A是(X,T)中的半預開集。

下面的定理3給出了拓撲空間中任意子集的一種分解。

定理3X是一拓撲空間，A是X的一個子集。則A可以表示為A=V∪N，其中V是半預開集，N是無處稠子集，且cl(V)∩N=?。

證明記V=A∩cl(int(cl(A))),N=AV。

令P=A∩int(cl(A))，則int(cl(P))=int(cl(A∩int(cl(A))))=int(cl(cl(A)∩int(cl(A))))=int(cl(A))，可得P?int(cl(A))=int(cl(P))。這表明P是預開集。由于V=A∩cl(int(cl(A)))?cl(int(cl(A)))=cl(cl(A)∩int(cl(A)))=cl(A∩int(cl(A)))=cl(P)，故有P?V?cl(P)，即V是半預開集。

N=AV=A(A∩cl(int(cl(A))))=A∩(Xcl(int(cl(A))))，則int(cl(N))=int(cl(A∩(Xcl(int(cl(A)))))?int(cl(A)∩cl(Xcl(int(cl(A)))))=int(cl(A))∩int(cl(Xcl(int(cl(A))))=int(cl(A))∩int(Xint(cl(int(cl(A)))))=int(cl(A))∩(Xcl(int(cl(int(cl(A))))))=int(cl(A))∩(Xcl(int(cl(A))))=?，即N是無處稠子集，不難說明cl(V)∩N=?。

K.Al-Zoubi等[2]證明了下面2個定理:

引理4[2]若(A,TA)是拓撲空間(X,T)的一個子空間，則 (TA)α?(Tα)A。

引理5[2]若A是拓撲空間(X,T)中的一個b-開集，則(TA)α= (Tα)A。

不難發(fā)現(xiàn)b-開集一定是半預開集，但半預開集不一定是b-開集。因此，下面的定理6是引理5(即文獻[2]中命題2.11)的一個改進。

定理4設(X,T)是一個拓撲空間，設A是一個半預開集，則有(TA)α= (Tα)A。

證明由引理4可知，我們只需證明(Tα)A?(TA)α。

假設B∈(Tα)A，則存在一個V∈Tα，使得B=V∩A。由于V∈Tα，所以存在O∈T和(X,T)中的無處稠子集N0使得V=ON0，則B=V∩A=(ON0)∩A=(O∩A)(N0∩A)。因此我們只需要證明N0∩A是(A,TA)中的無處稠子集。

注意到intTA(clTA(N0∩A))?intTA(cl(N0∩A))。下面我們說明intTA(cl(N0∩A))=?。假設x∈intTA(cl(N0∩A))，則存在一個W∈TA使得x∈W?cl(N0∩A)?cl(N0)。因為W∈TA，故存在O0∈T使得W=O0∩A。由于A是半預開集，因此存在一個預開集P使得P?A?cl(P)。不難發(fā)現(xiàn)?≠O0∩P?O0∩A=W?cl(N0)。由于開集與預開集的交是預開集，即O0∩P是預開集。因此int(cl(N0))≠?。這與N0是無處稠子集相矛盾，故intTA(cl(N0∩A))=?。

這樣我們證明了N0∩A是(A,TA)中的無處稠子集，進而也說明了B∈(TA)α，故(Tα)A?(TA)α。

定理4表明對于半預開集A，(TA)α= (Tα)A始終成立。下面的定理5表明對任意子集A，(TA)α= (Tα)A則不一定成立。我們先看3條引理，其中引理6容易證明，本文略去證明過程。

引理6(X,T)是一個拓撲空間，則下列2個命題是等價的:

(1)(X,T)中任一無處稠子集都是離散的；

(2)(X,T)中任一無處稠子集都是閉的。

引理7[1](X,T)是一個拓撲空間，則下列2個論述是等價的:

(1)T=Tα；

(2)(X,T)中任一無處稠子集都是閉的。

引理8(X,T)是一個拓撲空間，O是X中的開集。若A∈(TO)α，則A∈Tα。

證明假設A∈(TO)α，則A=O0N，其中O0∈TO，N是(O,TO)中的無處稠子集。顯然有O0∈T，N是(X,T)中的無處稠子集。因此，A∈Tα。

定理5(X,T)是一個拓撲空間，則下列2個論述是等價的:

(1)對X的一個任意子集A，(TA)α= (Tα)A；

(2)(X,T)是α-拓撲。

證明(1)?(2) 假設A是一個無處稠子集。則?x∈A，(X〗A)∪{x}是一個α-開集。故?x∈A，{x}∈(Tα)A。因此，{x}∈(TA)α。故單點集{x}必是開集，這就說明A是X中的一個離散子集。由引理6和引理7可知(X,T)是α-拓撲。

(2)?(1) 根據(jù)定理3，記A=U∪N，這里U是半預開集，N是無處稠子集，并且cl(U)∩N=?。結合引理7可知，N是子空間(A,TA)的既開又閉的離散子集。設V是(X,T)中的一個α-開集。V∩A=(V∩U)∪(V∩N)。根據(jù)定理4，V∩U∈(TU)α。由于U也是(A,TA)一個既開又閉的子空間，因此，根據(jù)引理8有V∩U∈(TA)α。V∩N∈(TA)α是顯然的。因此有V∩A∈(TA)α。

由于不是所有的拓撲都是α-拓撲，因此任意子集A，(TA)α= (Tα)A不總是成立。

本文主要討論了半預開集的一些性質，并對文獻[2]中的一些結論做了進一步的探討。由定理5我們可以看出α-拓撲的任意子空間拓撲也是α-拓撲。