張友朋，陶祥興

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院，杭州 310023)

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 定 義

1)φ(0)=0；

2)存在0

4)φ是凸函數(shù)。

這樣定義的函數(shù)φ有以下一些簡單結(jié)論：

1)允許φ取到+∞；

2)不要求φ是嚴(yán)格凸函數(shù)或是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)；但是，當(dāng)φ在有限點(diǎn)x0處取到+∞時(shí)，φ(x)必須在x充分大時(shí)嚴(yán)格單調(diào)遞增；

3)φ(∞)=∞；

4)要么φ在[0,+∞)是連續(xù)的，要么存在0

容易看出，當(dāng)φ(x)=xp(1≤p<∞)時(shí)，Lφ=Lp。

Orlicz范數(shù)有以下一些簡單特征和結(jié)論。

1)Orlicz范數(shù)是一個(gè)范數(shù)。它滿足正齊次性，‖αf‖φ=|α|‖f‖φ；滿足正定性，‖f‖φ=0當(dāng)且僅當(dāng)f=0；滿足次可加性，若‖f1‖φ=λ1，‖f2‖φ=λ2，則有‖f1+f2‖φ≤λ1+λ2。

2)若φ1和φ2是兩個(gè)Young函數(shù)，且φ1≤φ2，則有‖f‖φ1≤‖f‖φ2。因此，若存在正常數(shù)a，b使得φ1(ax)≤φ2(x)≤φ1(bx)對(duì)所有的x成立，則Lφ1=Lφ2。

3)若φ1和φ2是兩個(gè)Young函數(shù)，則φ≡φ1+φ2是一個(gè)Young函數(shù)，且Lφ=Lφ1∩Lφ2。

令(X1,v1)和(X2,v2)為正可測(cè)空間，算子T定義在X1上的v1可測(cè)函數(shù)集的一些線性子空間，值域包含在X2上的v2可測(cè)函數(shù)集里，若存在常數(shù)c≥1使得

|T(f+g)(x)|≤c(|Tf(x)|+|Tg(x)|)且|T(λf)(x)|=|λ||Tf(x)|

對(duì)所有算子T定義域里的f和g，對(duì)所有的λ∈R成立，則稱算子T是線性算子[13]。

令A(yù)和B為Young函數(shù)，T為定義在LA(X1,v1)上的單線性算子，則

1)若存在正常數(shù)k使得

‖Tf‖LB(X2,v2)≤k‖f‖LA(X1,v1)

對(duì)所有的f∈LA(X1,v1)成立，則算子T稱為強(qiáng)(A,B)型的；

2)若存在正常數(shù)k使得

對(duì)所有的t>0和所有的f∈LA(X1,v1)成立，則算子T稱為弱(A,B)型的。

我們可以將其推廣到雙線性算子，甚至是多線性算子。

令A(yù)1，A2和B為Young函數(shù)，T為定義在LA1(X1,v1)×LA2(X1,v1)上的雙線性算子，則

1)若存在正常數(shù)k使得

‖T(f1,f2)‖LB(X2,v2)≤k‖f1‖LA1(X1,v1)‖f2‖LA2(X1,v1)

對(duì)所有的f1∈LA1(X1,v1)，f2∈LA2(X1,v1)成立，則稱算子T為強(qiáng)(A1;A2,B)型的；

2)若存在正常數(shù)k使得

對(duì)所有的t>0和f1∈LA1(X1,v1)，f2∈LA2(X1,v1)成立，則稱算子T為弱(A1;A2,B)型的。

1.2 引 理

文獻(xiàn)[13]分別給出了分?jǐn)?shù)次極大算子Mα以及分?jǐn)?shù)次積分算子Iα在Orlicz空間里的弱有界性估計(jì)和強(qiáng)有界性估計(jì)。這里引用了其中的分?jǐn)?shù)次極大算子Mα的弱有界性估計(jì)。

引理1[13]令n≥1，且0≤α

成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c滿足

引理2若算子Gi為(pi,qi)型，即

‖Gif‖Lqi,∞≤c‖f‖Lpi，

則

證明：不妨證i=2的情況。?β>0，有

故

引理2證畢。

這是當(dāng)算子Gi為(pi,qi)型時(shí)成立，則當(dāng)算子Gi為弱(pi,qi)型時(shí)也成立，故引出了下面的命題1以及定理1。

2 主要結(jié)論

命題1設(shè)

對(duì)任意的r>0成立。

由于

定理1設(shè)Ai(i=1,…,m)，B是Young函數(shù)，0≤α

成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c2滿足

命題1的證明：

另一方面，

故

從而

命題1得證。

定理1的證明：充分性的證明同命題1的證明。下證必要性。

即

定理1證畢。

3 結(jié) 語

本文給出了多線性分?jǐn)?shù)次極大算子在Orlicz空間的弱有界性，在今后的研究中可探究多線性分?jǐn)?shù)次極大算子在Orlicz空間的強(qiáng)有界性以及其他多線性算子的有界性。