李 戎，楊 萌，梁 斌

（河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng)471023）

0 引言

功能梯度材料（FGM）作為一種可設(shè)計(jì)性非均勻復(fù)合材料已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于船舶與海洋工程領(lǐng)域[1]。由于FGM 結(jié)構(gòu)工作環(huán)境常為液體環(huán)境、大溫度梯度等特殊極限環(huán)境，在服役期間經(jīng)常受到?jīng)_擊、腐蝕、突變載荷等作用而出現(xiàn)裂紋損傷。裂紋損傷不僅會(huì)影響結(jié)構(gòu)性能，還有可能導(dǎo)致整個(gè)船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)失效[2-3]。而FGM 性質(zhì)的連續(xù)性變化導(dǎo)致FGM 結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出與均勻材料結(jié)構(gòu)不同的特性[4-11]，在殼體幾何參數(shù)、載荷工況以及邊界條件等相同的情況下，F(xiàn)GM 結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為分析要比相應(yīng)均勻材料結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。因此，需要針對(duì)含裂紋FGM 結(jié)構(gòu)的非均勻性進(jìn)行相應(yīng)的力學(xué)行為分析。

近年來(lái)，雖然已經(jīng)有研究論文涉及含裂紋FGM 結(jié)構(gòu)這一領(lǐng)域[4-16]，但是由于FGM 的特殊性，這些研究所采用的計(jì)算方法往往復(fù)雜繁瑣[4-8，14-16]，對(duì)使用者的推理能力以及計(jì)算能力要求較高，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，出錯(cuò)概率較高，難以滿足實(shí)際工程應(yīng)用需求。雖然已經(jīng)有學(xué)者嘗試改進(jìn)計(jì)算方法，比如，選擇節(jié)點(diǎn)布置更為自由的無(wú)單元法[7]，嘗試降低裂紋尖端網(wǎng)格細(xì)分要求[12-13]。但是，現(xiàn)有研究仍然難以擺脫復(fù)雜的矩陣以及積分運(yùn)算。課題組前期研究發(fā)現(xiàn)，不論是均勻材料還是異種接合材料，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子均可以通過(guò)使用其與參考模型界面端應(yīng)力的比值來(lái)進(jìn)行求解[17-19]，而含裂紋均勻材料結(jié)構(gòu)應(yīng)力強(qiáng)度因子可由經(jīng)驗(yàn)公式得到[7]。因此，如果能夠找到均勻材料板和FGM 板之間裂紋尖端應(yīng)力的穩(wěn)定關(guān)系并加以利用，便可以在滿足精度需求的基礎(chǔ)上進(jìn)行FGM 板應(yīng)力強(qiáng)度因子簡(jiǎn)便預(yù)測(cè)。

為此，本文基于FGM 板與均勻材料板裂紋尖端應(yīng)力之間的比例關(guān)系，提出了一種適用于FGM 板的應(yīng)力強(qiáng)度因子簡(jiǎn)便預(yù)測(cè)方法。預(yù)測(cè)時(shí)，僅需使用由二維有限元模型得到的均勻材料板和FGM 板裂紋尖端應(yīng)力值以及均勻材料板應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)驗(yàn)公式，便可在保證精確度的基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測(cè)。本文以含邊緣裂紋有限寬FGM 板為例，給出了任意材料組分以及裂紋長(zhǎng)度FGM 板的應(yīng)力強(qiáng)度因子預(yù)測(cè)值，將本文預(yù)測(cè)結(jié)果與參考文獻(xiàn)中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本方法的可行性和準(zhǔn)確性。

1 力學(xué)模型

采用有限元軟件MSC.Marc 建立如圖1所示有限寬FGM 板二維模型，裂紋長(zhǎng)度為a，板寬為W，材料沿x 方向連續(xù)性變化，板兩端施加拉力，x 和y 分別為直角坐標(biāo)系（x，y）的橫向坐標(biāo)和縱向坐標(biāo)。

圖1 FGM 板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Dimension for FGM plate

2 理論推導(dǎo)

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)，當(dāng)裂紋沿x 軸方向時(shí)（如圖2所示），Ⅰ型裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)可表示為[20]：

圖2 裂紋尖端幾何模型Fig.2 Schematic of edge crack in plate

式中：r 和θ 為裂紋尖端極坐標(biāo)，a 為裂紋長(zhǎng)度，KⅠ為Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。

雖然FGM 和均勻材料裂紋尖端附近應(yīng)力奇異性相同[21]，但是由于應(yīng)力強(qiáng)度因子會(huì)受到材料梯度的影響[22]，公式（1）并不適用于FGM。因此，Erdogan[23]基于FGM 的材料特性，推導(dǎo)出了適用于FGM 的裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)表達(dá)式：

式中：β 為與結(jié)構(gòu)兩側(cè)材料彈性模量比值有關(guān)的參數(shù)。假設(shè)泊松比為一定值，E（）

x 為FGM 彈性模量，E（0）=E1，E（W）=E2，則β 和E（x）表達(dá)式為：

盡管FGM 和均勻材料裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值不同，但是兩者應(yīng)力奇異性相同，且應(yīng)力奇異性不會(huì)受到材料梯度性影響[24]。當(dāng)均勻材料板（*）與FGM 板的板寬、受力情況以及裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分完全相同時(shí)，這兩者裂紋尖端附近應(yīng)力比值與相應(yīng)應(yīng)力強(qiáng)度因子比值之間存在如下關(guān)系：

無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子FⅠ和應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ滿足關(guān)系式

取r=r*，當(dāng)含邊緣裂紋有限寬均勻材料板的已知，便可由公式（10）得到FGM 板的FⅠ預(yù)測(cè)值。

當(dāng)r 足夠小時(shí)，eβr（）*/eβr≈1。此時(shí)，裂紋尖端附近應(yīng)力比值等于其應(yīng)力強(qiáng)度因子比值，則公式（10）可簡(jiǎn)化為公式（12）。當(dāng)E2/E1=1 時(shí)，F(xiàn)GM 板退化為均勻材料板。

3 算例與討論

由于裂紋尖端應(yīng)力奇異性的存在，使用有限元軟件得到的應(yīng)力數(shù)值σy會(huì)隨裂紋尖端附近網(wǎng)格尺寸以及r 的改變而發(fā)生變化，不能直接使用σy來(lái)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。但是，當(dāng)兩個(gè)模型寬度、受力、裂紋尖端附近網(wǎng)格劃分完全相同，并且裂紋尖端附近最小網(wǎng)格尺寸emin足夠小時(shí)，兩個(gè)模型裂紋尖端應(yīng)力比值穩(wěn)定不變，應(yīng)力奇異性可通過(guò)比值形式消除[17-19]，可由公式（12）進(jìn)行FⅠ預(yù)測(cè)。

表1給出了不同emin時(shí)裂紋尖端應(yīng)力分布情況以及相關(guān)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。采用有限元軟件MSC.Marc 建立如圖3所示的二維有限元模型，板寬W=1 m，兩端施加拉力，使用平面應(yīng)變四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，裂紋尖端附近網(wǎng)格加密，emin=1/39m 時(shí)單元總數(shù)為29 911，其中裂紋尖端附近單元數(shù)約為20 000。當(dāng)E2/E1=1 時(shí)，F(xiàn)GM 板退化為均勻材料板。

圖3 模型網(wǎng)格劃分示意圖Fig.3 Mesh pattern for model

表1 不同網(wǎng)格尺寸時(shí)裂紋尖端應(yīng)力分布及無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子FI 預(yù)測(cè)Tab.1 Stress distributions and predicted values of dimensionless stress intensity factor FI for crack tip obtained by different mesh sizes

圖4給出了分別采用公式（10）以及公式（12）得到的預(yù)測(cè)值之間的誤差（%），r=0，emin=1/39m。從中可以看出，當(dāng)emin足夠小時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定，預(yù)測(cè)結(jié)果基本不受裂紋尺寸以及材料組分影響，誤差可控制在0.2%以內(nèi)。此時(shí)，eβr的影響可以忽略不計(jì)，使用公式（12）即可滿足預(yù)測(cè)需求。

表2 中給出了采用本文方法得到的任意FGM板FI預(yù)測(cè)結(jié)果以及文獻(xiàn)[6]的計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明，預(yù)測(cè)結(jié)果與文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果非常接近，預(yù)測(cè)精度良好。預(yù)測(cè)結(jié)果中，近80%預(yù)測(cè)誤差可控制在0.5%以內(nèi)，最小預(yù)測(cè)誤差僅為0.006%。當(dāng)a /W＞0.6，E2/E1＜2 時(shí)，預(yù)測(cè)誤差有增大趨勢(shì)，結(jié)果中共有2 組數(shù)據(jù)誤差超過(guò)5%，但預(yù)測(cè)誤差仍控制在12%以內(nèi)。誤差產(chǎn)生原因可能與本文預(yù)測(cè)方法是基于裂紋尖端應(yīng)力比值、而文獻(xiàn)采用圍線積分法有關(guān)。

圖4 預(yù)測(cè)誤差對(duì)比分析Fig.4 Comparison of predictive errors

表2 無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子FI 預(yù)測(cè)值Tab.2 Predicted values of dimensionless stress intensity factor FI

圖5給出了本文預(yù)測(cè)方法與其他傳統(tǒng)計(jì)算方法的結(jié)果對(duì)比圖?？梢钥闯觯疚念A(yù)測(cè)結(jié)果與現(xiàn)有計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果[5]幾乎完全一致；當(dāng)a /W＞0.4 本文預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于采用Node release technique (G)[5]得到的計(jì)算結(jié)果，完全滿足精度要求。與參考文獻(xiàn)[5-6]中使用的計(jì)算方法相比，本文方法預(yù)測(cè)時(shí)所用可任意選取，且預(yù)測(cè)過(guò)程免去了復(fù)雜的矩陣以及積分運(yùn)算，預(yù)測(cè)精度高，計(jì)算量小，適合工程應(yīng)用。

圖5 預(yù)測(cè)方法對(duì)比分析Fig.5 Comparison of prediction methods

表3 無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子FI 預(yù)測(cè)值(：FGM 板）Tab.3 Predicted values of dimensionless stress intensity factor FI（：FGM plate)

表3 無(wú)量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子FI 預(yù)測(cè)值(：FGM 板）Tab.3 Predicted values of dimensionless stress intensity factor FI（：FGM plate)

a /W E2/E1 0.1 0.2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2 3 4 5 10 0.1 Erdogan[6]本文0.863 0.863 0.5 Erdogan[6]本文0.813 0.808 1.055 1.050 1.190 1.186 1.197 1.194 1.198 1.196 1.197 1.195 1.194 1.192 1.219 1.128 1.074 1.078 1.029 1.028 0.991 0.991 2.176 2.169 0.8 Erdogan[6]本文3.570 3.495 3.327 3.292 3.033 3.022 2.977 2.969 2.931 2.924 2.891 2.885 2.856 2.851 2.623 2.620 2.508 2.504 2.428 2.424 2.366 2.361---13.59 13.07 12.41 12.49 12.29 12.31 12.18 12.16 12.09 12.06 12.00 11.43 11.47 11.17 11.20 11.00 11.02 10.88 10.88 10.50 10.45

本文預(yù)測(cè)方法是基于裂紋尖端應(yīng)力比值，預(yù)測(cè)精度高、方法簡(jiǎn)便實(shí)用，但是對(duì)裂紋尖端附近網(wǎng)格細(xì)化程度有一定要求。因此，在使用本文方法進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子預(yù)測(cè)時(shí)，需盡量選擇裂紋尖端附近應(yīng)力比值穩(wěn)定不變時(shí)所對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格尺寸emin。本文預(yù)測(cè)方法不僅適用于FGM 板，還可用于其他FGM 結(jié)構(gòu)的應(yīng)力強(qiáng)度因子預(yù)測(cè)，但是現(xiàn)有預(yù)測(cè)研究結(jié)果還很有限，本項(xiàng)目后續(xù)工作將進(jìn)行深入研究。

4 結(jié)論

本文基于FGM 板與均勻材料板裂紋尖端附近應(yīng)力之間的比例關(guān)系，提出了一種適用于FGM 板的應(yīng)力強(qiáng)度因子簡(jiǎn)便預(yù)測(cè)方法。該方法僅通過(guò)使用均勻材料板和FGM 板裂紋尖端應(yīng)力比值、均勻材料板應(yīng)力強(qiáng)度因子經(jīng)驗(yàn)值即可在保證精確度的基礎(chǔ)上快速得到任意FGM 板應(yīng)力強(qiáng)度因子值，計(jì)算過(guò)程避免了復(fù)雜的矩陣以及積分運(yùn)算，計(jì)算量小，研究效率高。預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，本文預(yù)測(cè)方法適用于任意裂紋尺寸以及材料組分的FGM 應(yīng)力強(qiáng)度因子預(yù)測(cè)，且該預(yù)測(cè)方法不受參考模型應(yīng)力強(qiáng)度因子限制，可任意選取，預(yù)測(cè)方法精度高、預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定，便于工程應(yīng)用。