巧求勻質(zhì)圓弧的質(zhì)心

楊純斌 錢(qián)琬燕

力學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)心在求解該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的過(guò)程中起著重要作用.對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，我們可以得到質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程，質(zhì)心的動(dòng)能定理，繞過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理等規(guī)律.求系統(tǒng)質(zhì)心的常見(jiàn)方法有：（1）對(duì)于任意形狀和任意質(zhì)量分布的系統(tǒng)，根據(jù)質(zhì)心定義，直接求和或者積分求質(zhì)心;（2）對(duì)于質(zhì)量均勻分布的二維平板或者二維曲線，利用巴普斯定理求質(zhì)心等.前者是萬(wàn)能的，但是一般情況下計(jì)算比較復(fù)雜，特別是需要用到積分等數(shù)學(xué)工具.后者只能有效地用于形狀規(guī)則的二維平板或者曲線，且一般需要了解立體幾何的知識(shí)或者二維曲面的面積等知識(shí).這里，我們提出一種求解均勻圓弧的質(zhì)心的精巧方法.此方法只需要利用一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)的知識(shí).

研究一段勻質(zhì)圓弧，其兩端點(diǎn)對(duì)圓心的張角為α，圓弧的半徑為R，如圖所示.如果根據(jù)質(zhì)心的定義求其質(zhì)心，我們需要將圓弧分成無(wú)窮多個(gè)極小的部分，然后對(duì)小部分的坐標(biāo)求和.這樣，需要利用三角函數(shù)的積分等知識(shí).如果利用巴普斯定理求該圓弧的質(zhì)心，我們可以將圓弧繞通過(guò)圓弧的圓心和一個(gè)端點(diǎn)的半徑旋轉(zhuǎn)一周，利用立體角計(jì)算圓弧旋轉(zhuǎn)后得到的球冠的面積，進(jìn)一步根據(jù)巴普斯定理得到質(zhì)心到圓心的距離.這種解法需要立體角等概念和計(jì)算方法.下面討論的解法，只采用初等數(shù)學(xué)里三角函數(shù)的知識(shí)，求勻質(zhì)圓弧的質(zhì)心到圓心的距離.