陸偉峰 陳 強(qiáng)

(蘇州工業(yè)園區(qū)服務(wù)外包職業(yè)學(xué)院 江蘇蘇州 215123)

0 引言

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，是微積分思想的重要體現(xiàn)。但高雪芬等的一項(xiàng)調(diào)查表明，大學(xué)生雖然高中學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)定義，但是仍感覺(jué)學(xué)習(xí)困難，還有35%的學(xué)生希望大學(xué)能重新學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)[1]。Asiala和Dubinsky等人的研究也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念存在認(rèn)知困難[2]。

對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念理解困難的原因，一些學(xué)者從不同的角度進(jìn)行了研究。Nevin Orhun、Roorda等從概念表征的角度進(jìn)行研究，認(rèn)為大學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解存在的主要問(wèn)題在于沒(méi)有在導(dǎo)數(shù)和瞬時(shí)速度、切線斜率等之間建立正確的聯(lián)系[3，4]。Maharaj等使用APOS理論進(jìn)行分析，教學(xué)中需要更多時(shí)間加強(qiáng)學(xué)生在發(fā)展過(guò)程(P)、對(duì)象(O)和圖式(S)層次上的心智結(jié)構(gòu)[5]。葉柯達(dá)使用APOS理論分析上海市本地生源和非本地生源學(xué)習(xí)大學(xué)階段的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，得到了類似的結(jié)論[6]。

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：理解實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)及認(rèn)知結(jié)構(gòu)，主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部的心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過(guò)程[7]。以上研究雖然分析了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解的困難原因，但是沒(méi)有深入了解個(gè)體內(nèi)部具體微觀心理加工過(guò)程，無(wú)法對(duì)個(gè)體的認(rèn)知困難做出具體分析。

本文根據(jù)認(rèn)知診斷理論，深入研究學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的心理建構(gòu)過(guò)程。分析了導(dǎo)數(shù)概念相關(guān)的屬性及其層級(jí)關(guān)系。利用調(diào)查問(wèn)卷對(duì)高職學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念的理解進(jìn)行診斷，從宏觀上分析了學(xué)生對(duì)各個(gè)屬性的掌握情況，從微觀上確定每個(gè)學(xué)生的掌握模式和認(rèn)知特點(diǎn)，并對(duì)診斷出的問(wèn)題提出了建議。

1 認(rèn)知診斷與規(guī)則空間模型

認(rèn)知診斷(cognitive diagnosis)是對(duì)個(gè)體認(rèn)知過(guò)程、加工技能或知識(shí)結(jié)構(gòu)的診斷評(píng)估，用于測(cè)量個(gè)體特定的知識(shí)結(jié)構(gòu)和加工技能。傳統(tǒng)的測(cè)驗(yàn)理論強(qiáng)調(diào)對(duì)被試宏觀層次的能力水平測(cè)量及評(píng)估，而認(rèn)知診斷理論在認(rèn)知心理學(xué)的指導(dǎo)下，強(qiáng)調(diào)宏觀能力水平和微觀內(nèi)部加工過(guò)程評(píng)估并重，特別是可以深入了解個(gè)體內(nèi)部微觀心理加工過(guò)程，便于個(gè)體分析和因材施教。在認(rèn)知診斷理論中，使用Q矩陣刻畫所測(cè)項(xiàng)目與屬性之間的關(guān)系。例如20個(gè)項(xiàng)目包含圖1的四個(gè)屬性，對(duì)應(yīng)的Q矩陣如表1。

認(rèn)知診斷模型是實(shí)現(xiàn)認(rèn)知診斷的心理測(cè)量模型。規(guī)則空間模型(Rule Space Model，RSM)是由Tatsuoka及其同伴創(chuàng)建的一種常用認(rèn)知診斷模型，其思想是：用特定的認(rèn)知屬性刻畫測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目；用一組無(wú)法直接觀察的認(rèn)知屬性掌握模式表征個(gè)體的某種知識(shí)結(jié)構(gòu)；用可觀察的項(xiàng)目反應(yīng)模式表征不可觀察的認(rèn)知屬性。

規(guī)則空間模型可以分為以下兩個(gè)部分[8]：

1) Q矩陣?yán)碚摚捍_定測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目所測(cè)的認(rèn)知屬性與項(xiàng)目反應(yīng)模式。將測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目所測(cè)的不可觀察的認(rèn)知屬性轉(zhuǎn)化為可觀察的項(xiàng)目反應(yīng)模式。具體包含：

①建立項(xiàng)目和所測(cè)認(rèn)知屬性的關(guān)系，建立Q矩陣。

②確定被試與屬性的關(guān)系——理想掌握模式。

③確定理想反應(yīng)模式。

2) 規(guī)則空間的構(gòu)建和判別：

①規(guī)則空間的建立：計(jì)算被試和理想反應(yīng)模式的潛在能力變量θ和警戒指標(biāo)ζ構(gòu)成有序?qū)(θ,ζ)}。理想反應(yīng)模式的有序?qū)ΨQ為純規(guī)則點(diǎn)。

②對(duì)被試的判別分類：計(jì)算被試的序偶{(θ,ζ)}與純規(guī)則點(diǎn)有序?qū)Φ鸟R氏距離，并使用貝葉斯判別，對(duì)被試進(jìn)行分類。

規(guī)則空間模型不僅能估計(jì)出被試的能力，還能確定被試的屬性掌握模式，便于了解學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在哪些問(wèn)題，并給出補(bǔ)救的路徑進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)救。規(guī)則空間模型已在數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、閱讀等學(xué)科中得到成功應(yīng)用[9-12]。

2 高職學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解的認(rèn)知診斷

2.1 研究方法、對(duì)象和工具

為了解高職學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解的知識(shí)加工過(guò)程和認(rèn)知特點(diǎn)，制作調(diào)查問(wèn)卷，從本校2015、2016級(jí)軟件和通信專業(yè)隨機(jī)抽取90名學(xué)生，使用認(rèn)知診斷理論的規(guī)則空間模型對(duì)調(diào)查問(wèn)卷的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。使用Excel插件e-irt估計(jì)每個(gè)學(xué)生的能力值和3PLM的項(xiàng)目參數(shù)，采用Matlab 2013a軟件根據(jù)規(guī)則空間模型編程求每個(gè)學(xué)生的屬性掌握模式。

2.2 調(diào)查問(wèn)卷的制作與回收

根據(jù)教學(xué)要求，并參考國(guó)外的相關(guān)書籍資料，本次調(diào)查問(wèn)卷設(shè)置了20個(gè)有關(guān)導(dǎo)數(shù)概念的問(wèn)題，問(wèn)卷回收84份，使用SPSS進(jìn)行分析，克倫巴赫alpha信度系數(shù)為0.883。問(wèn)卷涉及8個(gè)屬性，問(wèn)題與屬性之間的關(guān)系如表2。

并根據(jù)我國(guó)教材對(duì)導(dǎo)數(shù)概念內(nèi)容的組織進(jìn)行修改，建立8個(gè)屬性之間的層級(jí)關(guān)系(圖2)，并建立Q矩陣。

圖2 8個(gè)屬性的層級(jí)關(guān)系

2.3 數(shù)據(jù)分析步驟與結(jié)果

經(jīng)過(guò)編程計(jì)算，本次試驗(yàn)共有37種理想掌握模式，84名學(xué)生共分為17種掌握模式，各掌握模式及分布如表3。各屬性的掌握概率如表4。

從表3、表4的數(shù)據(jù)得到：

1) 學(xué)生總體的掌握模式較好。(11111110)占比最大，達(dá)到26.19%，即有四分之一強(qiáng)的學(xué)生掌握了除導(dǎo)數(shù)應(yīng)用外的其他屬性。掌握全部屬性或只有一個(gè)屬性未能掌握的共有四個(gè)模式，占總數(shù)的52.37%。

表4 各個(gè)屬性的掌握概率

2) 平均變化率一類屬性(A1、A3、A5)的掌握概率明顯高于瞬時(shí)變化率一類的屬性(A2、A4、A5)的掌握概率，即有很多學(xué)生依然存在從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)變困難，特別是從割線斜率到切線斜率、從平均速度到瞬時(shí)速度的概念轉(zhuǎn)變。

3) 在所有屬性中A8(導(dǎo)數(shù)應(yīng)用)的掌握概率最低，學(xué)生不能很好地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念解決實(shí)際問(wèn)題。

4) 確定每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。例如模式為(11101010)的學(xué)生掌握了導(dǎo)數(shù)的形式化定義，但在有實(shí)際背景的問(wèn)題中，不能很好地理解和應(yīng)用概念，沒(méi)有掌握切線斜率、瞬時(shí)速度和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。

3 結(jié)論和建議

本文使用規(guī)則空間模型對(duì)高職學(xué)生導(dǎo)數(shù)概念理解進(jìn)行認(rèn)知診斷，確定了掌握模式及其分布、每個(gè)學(xué)生的對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的認(rèn)知特點(diǎn)。據(jù)此給出以下建議：

1) 在實(shí)際背景下學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的能力較弱，需要加強(qiáng)學(xué)生在實(shí)際背景下理解、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)的理解。究其原因，主要與我國(guó)高等數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容設(shè)計(jì)有關(guān)。我國(guó)的高等數(shù)學(xué)教材在導(dǎo)數(shù)部分主要強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例引入、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用部分著墨很少。對(duì)比美國(guó)的微積分教材，需要增加導(dǎo)數(shù)概念在航海、天文學(xué)、物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中應(yīng)用的案例。

2) 強(qiáng)化學(xué)生從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的思想轉(zhuǎn)變。導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，但是很多學(xué)生依然習(xí)慣于用靜態(tài)的觀點(diǎn)看導(dǎo)數(shù)。在教學(xué)中，可以結(jié)合瞬時(shí)速度、瞬時(shí)流量等實(shí)際案例動(dòng)態(tài)演示逼近的過(guò)程，強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)的動(dòng)態(tài)變化思想。

3) 根據(jù)診斷結(jié)果，因材施教，按照每個(gè)人的掌握模式積極制訂教學(xué)補(bǔ)救的方案。例如：對(duì)于掌握模式7(11001111)的學(xué)生，應(yīng)按照A3→A4→A2的順序進(jìn)行教學(xué)補(bǔ)救。對(duì)于掌握模式16(10101100)的學(xué)生，應(yīng)按照?qǐng)D3的順序補(bǔ)救。

圖3 掌握模式16學(xué)生的教學(xué)補(bǔ)救路徑