幾種不同壽險精算模型下均衡純保費的探究

宋鵬飛 高符嚴

山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

由于有時躉繳純保費的額度過大，這就有可能讓被保險人因為經(jīng)濟原因而取消保險計劃，因此在現(xiàn)實中可以運用分期繳納的方法，以此來降低被保險人的經(jīng)濟壓力。以被保險人的生存作為繳費的先提條件，按照相等的時間間隔下的分期繳納的純保費叫做期繳純保費，每次繳納的相等數(shù)額的純保費就叫做均衡純保費（Equilibrium Net Premium），主體字母我們用P表示。下面，我們將對幾種根據(jù)不同躉繳純保費與繳納保費的方式產(chǎn)生的均衡純保費進行具體探究。以下均以年齡為x歲的終身壽險的躉繳純保費舉例，以與分別表示保險受益金在死亡所在年度末支付（離散型人壽保險模型）與立即支付（連續(xù)型人壽保險模型）的躉繳純保費；以與分別表示年初付終身生存年金精算現(xiàn)值與連續(xù)型終身生存年金精算現(xiàn)值。

一、全離散式壽險模型的年繳均衡純保費

全離散式壽險模型指的是保險費按期初付生存年金方式繳付,保險受益金（死亡給付）在死亡的保單有效年度末支付的離散型保險模型，這種方式導(dǎo)出的均衡純保費我們稱作全離散式壽險模型的年繳均衡純保費。這種均衡純保費意味著我們將躉繳純保費平均分攤到各個保險年度、每次在被保險人生存的條件之下在保單年度初等額繳納的保費，直到合同約定的繳費期完成為止。這種壽險模型是壽險實務(wù)的基礎(chǔ)，在精算發(fā)展史上有著重要的意義，對推動精算理論的發(fā)展起著重要的作用。

我們可以以普通終身壽險為例，導(dǎo)出年繳均衡純保費公式：設(shè)年齡為x的1單位普通終身壽險的年繳純保費為，則保險人損失隨機變量(K=0,1,2,…),是每年年初付1單位終身生存年金的現(xiàn)值，則我們有，其余類型的年繳純保費可由其定義做類似推導(dǎo)。

二、全連續(xù)型終身壽險模型的年繳均衡純保費

三、半連續(xù)型終身壽險模型的年繳均衡純保費

半連續(xù)壽險模型可以說是將全離散式與全連續(xù)式壽險模型綜合并加以修改而得的，半連續(xù)型終身壽險有兩種形式不同的模型。其中在保險實務(wù)中最常使用的半連續(xù)型終身壽險模型是：死亡給付是在被保險人死亡的是即時支付，且保險費按照期初付生存年金的方式來繳納。這種模型比較切合實際，具有較強的實用性和可操作性。其年繳均衡純保費的計算方法與全連續(xù)式壽險模型類似，只是在年繳純保費采用的符號上有差異。

設(shè)年齡為x的投保保險額為1個單位的半連續(xù)式終身壽險，保險金在被保險人死亡時立即給付，其年繳純保費用符號表示，則該壽險的保險損失為，則有是每年年初付1單位終身生存年金的現(xiàn)值，根據(jù)平衡原理有。

根據(jù)幾種計算公式的導(dǎo)出，可以看出均衡純保費的計算原理為精算平衡原理（Equivalence Principle），即E[L]=0，這也就為我們計算一般人壽保險的均衡純保費提供了理論支撐，有利于我們在實務(wù)中的應(yīng)用。

顯然，我們推導(dǎo)的全連續(xù)模型與半連續(xù)模型中保險費按連續(xù)型生存年金支付這兩種類型在現(xiàn)實生活中基本不可操作，但是我們從理論上對它們進行同等程度的討論任然是非常重要的，因為這有助于我們完善整個壽險精算理論體系。特別地，由每年真實分m次繳付的年繳純保費取極限遞推出第二種半連續(xù)模型的過程，更加有利于我們對特殊模型及其均衡純保費的分析與計算。