混合正態(tài)雙因子已實(shí)現(xiàn)SV模型及其實(shí)證研究

吳鑫育，李心丹，馬超群

1 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030 2 南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093 3 湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082

引言

波動(dòng)率或資產(chǎn)收益率的條件方差，是期權(quán)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理中的一個(gè)重要變量。在著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型中，期權(quán)價(jià)格即是關(guān)于波動(dòng)率的一個(gè)函數(shù)，波動(dòng)率的建模也給計(jì)算金融頭寸的風(fēng)險(xiǎn)值(value at risk，VaR)提供了一個(gè)簡(jiǎn)單方法。盡管資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率不能被直接觀測(cè)到，但它的一些特征卻能夠在資產(chǎn)收益率序列中直觀看到，如波動(dòng)率聚集性和波動(dòng)率非對(duì)稱性或杠桿效應(yīng)。波動(dòng)率聚集性指波動(dòng)率在一些時(shí)間段上高、在一些時(shí)間段上低，波動(dòng)率非對(duì)稱性或杠桿效應(yīng)指波動(dòng)率對(duì)資產(chǎn)價(jià)格正向沖擊(利好消息)和負(fù)向沖擊(利空消息)的反應(yīng)不同?？紤]波動(dòng)率的這些豐富和復(fù)雜的特性，對(duì)其進(jìn)行合理建模，對(duì)于期權(quán)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理和資產(chǎn)組合配置等問(wèn)題都具有十分重要的意義。

1 相關(guān)研究評(píng)述

能夠很好地捕獲波動(dòng)率上述特征的兩類模型是GARCH模型和SV模型，GARCH模型假設(shè)資產(chǎn)收益率的條件方差是關(guān)于歷史信息的一個(gè)確定性的函數(shù)，SV模型在條件方差過(guò)程中引入一個(gè)新的新息，使其在模型擬合上比GARCH模型更好。更為重要的是，SV模型在連續(xù)時(shí)間方面可直接與期權(quán)定價(jià)理論和利率期限結(jié)構(gòu)模型等金融理論模型聯(lián)系起來(lái)。

傳統(tǒng)的SV模型通常采用日度收益率數(shù)據(jù)對(duì)波動(dòng)率建模。但是，日度低頻數(shù)據(jù)包含的信息有限，不能完全反映資產(chǎn)價(jià)格日內(nèi)實(shí)際變動(dòng)情況，特別在金融市場(chǎng)高波動(dòng)時(shí)期，采用日度收益率提取的波動(dòng)率往往存在低估。近年來(lái)，隨著電子化交易和信息存儲(chǔ)技術(shù)的發(fā)展，已經(jīng)可以較容易地獲得日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)，基于日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(RV)在金融計(jì)量學(xué)研究中得到越來(lái)越多的關(guān)注[1-2]。為了利用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率所包含的豐富日內(nèi)信息，TAKAHASHI et al.[3]將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率引入傳統(tǒng)的SV模型，構(gòu)建對(duì)日度收益率與已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率聯(lián)合建模的已實(shí)現(xiàn)SV模型?；谠撃Ｐ湍軌蛲瑫r(shí)給出已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的偏差和參數(shù)估計(jì)。進(jìn)一步，KOOPMAN et al.[4]提出一個(gè)對(duì)日度收益率與已實(shí)現(xiàn)測(cè)度(包括已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率)聯(lián)合建模的系統(tǒng)框架。隨后，眾多學(xué)者對(duì)已實(shí)現(xiàn)SV模型進(jìn)行廣泛深入研究[5-7]。特別地，CHRISTOFFERSEN et al.[8]和TAKAHASHI et al.[9]研究發(fā)現(xiàn)，引入包含豐富日內(nèi)高頻信息的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率能夠顯著改進(jìn)SV模型參數(shù)估計(jì)和波動(dòng)率估計(jì)精確性，提高期權(quán)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的準(zhǔn)確性。

與國(guó)外研究相比，中國(guó)學(xué)者對(duì)已實(shí)現(xiàn)SV模型的研究還非常少，吳鑫育等[10]研究門限已實(shí)現(xiàn)SV模型，考察中國(guó)股市的波動(dòng)率非對(duì)稱性。中國(guó)學(xué)者主要針對(duì)已實(shí)現(xiàn)GARCH模型進(jìn)行研究，已實(shí)現(xiàn)GARCH模型是在借鑒已實(shí)現(xiàn)SV模型的建模思想的基礎(chǔ)上，對(duì)傳統(tǒng)GARCH模型進(jìn)行擴(kuò)展得到[11-12]。王天一等[13]考察已實(shí)現(xiàn)GARCH模型對(duì)于滬深300指數(shù)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)能力，黃友珀等[14-15]的研究考慮基于已實(shí)現(xiàn)GARCH模型的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量問(wèn)題，HUANG et al.[16]考慮基于已實(shí)現(xiàn)GARCH模型的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。然而，已實(shí)現(xiàn)GARCH模型比已實(shí)現(xiàn)SV模型在建模靈活性上仍顯不足。而且，上述研究大多沒(méi)有考慮到波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶性。研究表明，波動(dòng)率不僅具有短期的相關(guān)性，同時(shí)具有長(zhǎng)期的相互影響，即波動(dòng)率具有持續(xù)性和長(zhǎng)記憶性[17-19]。ASAI et al.[20]構(gòu)建能夠刻畫波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型，但該模型沒(méi)有考慮到已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率存在的偏差問(wèn)題。最近，ASAI et al.[21-22]考慮具有波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性的已實(shí)現(xiàn)SV模型，將(對(duì)數(shù))波動(dòng)率建模為一個(gè)ARFIMA/Gegenbauer過(guò)程。但是該模型構(gòu)造較為復(fù)雜，估計(jì)較為困難，且難以與連續(xù)時(shí)間模型直接聯(lián)系起來(lái)，給連續(xù)時(shí)間方面的應(yīng)用(如期權(quán)定價(jià)和利率期限結(jié)構(gòu)建模)帶來(lái)困難。

此外，關(guān)于資產(chǎn)收益率的經(jīng)驗(yàn)研究表明，資產(chǎn)收益率的分布往往呈現(xiàn)尖峰、厚尾等非正態(tài)性特征，其峰度比正態(tài)分布大。 而已有研究對(duì)于這種分布的擬合通常采用學(xué)生t分布和廣義誤差分布(GED)等復(fù)雜分布，而少有研究采用混合正態(tài)(MN)分布。混合正態(tài)分布是一類非常靈活的分布，能夠很好地刻畫資產(chǎn)收益率的尖峰、厚尾分布特征，許多常見的分布形式都可以由混合正態(tài)分布逼近得到，具有混合正態(tài)分布的SV模型在原理上與連續(xù)時(shí)間跳躍擴(kuò)散模型類似。事實(shí)上，具有混合正態(tài)分布的SV模型中低概率、高方差的混合正態(tài)分量與跳躍擴(kuò)散模型中的跳躍成分扮演相同的角色[23]。由于混合正態(tài)分布在保持正態(tài)分布易操作性和有限高階矩特征的同時(shí)，具有較高的靈活性，因而在金融學(xué)研究中得到越來(lái)越多的關(guān)注和應(yīng)用[24-26]。

由上述分析可知，基于高頻數(shù)據(jù)對(duì)波動(dòng)率建模的研究已經(jīng)取得豐富的研究成果，但基于已實(shí)現(xiàn)SV模型、同時(shí)考慮波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性和資產(chǎn)收益率非正態(tài)性對(duì)波動(dòng)率建模的研究還很少見，且缺乏針對(duì)中國(guó)股市的實(shí)證研究成果?；诖?，本研究構(gòu)建對(duì)日度收益率和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率同時(shí)建模的混合正態(tài)雙因子已實(shí)現(xiàn)SV(2FRSV-MN)模型，該模型考慮已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的偏差修正，能夠綜合捕獲波動(dòng)率聚集性、長(zhǎng)記憶性和資產(chǎn)收益率的非正態(tài)性，充分利用日度低頻和日內(nèi)高頻聯(lián)合數(shù)據(jù)信息集對(duì)波動(dòng)率建模。2FRSV-MN模型中引入靈活的雙因子波動(dòng)率描述波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶特征，其中一個(gè)因子代表波動(dòng)率長(zhǎng)期成分，另一個(gè)因子代表波動(dòng)率短期成分[27]。CORSI et al.[28]研究表明，波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶性可以由波動(dòng)率因子的疊加效應(yīng)(多因子波動(dòng)率模型)捕獲。相對(duì)于單因子波動(dòng)率模型，多因子波動(dòng)率模型具有更大的建模靈活性，能夠刻畫更現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)變量特征[29]。目前，中國(guó)關(guān)于雙因子SV模型的研究還非常少見。 為了估計(jì)2FRSV-MN模型的參數(shù)，本研究給出靈活、有效且易于實(shí)現(xiàn)的基于連續(xù)粒子濾波的極大似然估計(jì)方法。采用上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)，給出基于2FRSV-MN模型的樣本內(nèi)擬合和VaR估計(jì)的實(shí)證研究。

2 混合正態(tài)雙因子已實(shí)現(xiàn)SV模型

本研究考慮的2FRSV-MN模型的形式為

(1)

xt=ξ+θt+σuutut～i.i.d.N(0,1)

t=1,2,…,T

(2)

ηi,t～i.i.d.N(0,1)i=1,2t=1,2,…,T-1

(3)

(4)

其中，t為交易日，T為觀測(cè)樣本最終交易日，rt為t交易日的資產(chǎn)收益率，μ為資產(chǎn)收益率的條件均值，θt為t交易日的對(duì)數(shù)波動(dòng)率，t為收益率新息，c為對(duì)數(shù)波動(dòng)率的長(zhǎng)期均值，h1,t和h2,t為波動(dòng)率因子，xt為t交易日的對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，ξ為偏差修正項(xiàng)，σu為測(cè)量誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，ut為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)量的擾動(dòng)項(xiàng)，φ1為波動(dòng)率長(zhǎng)期成分的持續(xù)性，ρ1為波動(dòng)率長(zhǎng)期成分的杠桿效應(yīng)，σ1,η為波動(dòng)率長(zhǎng)期成分的波動(dòng)率，φ2為波動(dòng)率短期成分的持續(xù)性，ρ2為波動(dòng)率短期成分的杠桿效應(yīng)，σ2,η為波動(dòng)率短期成分的波動(dòng)率，η1,t和η2,t為波動(dòng)率新息，hi,1為初始的波動(dòng)率因子。t、ut、η1,t和η2,t相互獨(dú)立；i.i.d.為獨(dú)立同分布，MN(·)為混合正態(tài)分布，N(·)為正態(tài)分布；μ、c、ξ、σu、φi、ρi和σi,η都是待估參數(shù)；i為波動(dòng)率因子代碼，i=1時(shí)表示長(zhǎng)期波動(dòng)率因子，i=2時(shí)表示短期波動(dòng)率因子。

2FRSV-MN模型通過(guò)(3)式引入雙因子波動(dòng)率(兩個(gè)相互獨(dú)立的AR(1)過(guò)程)捕獲波動(dòng)率過(guò)程的長(zhǎng)記憶相關(guān)性。為了保證波動(dòng)率因子過(guò)程(h1,t和h2,t)是平穩(wěn)且可識(shí)別的，假設(shè)-1<φ2<φ1<1。雙因子波動(dòng)率中，第1個(gè)因子代表波動(dòng)率長(zhǎng)期成分(持續(xù)性或長(zhǎng)記憶波動(dòng)率因子)，第2個(gè)因子代表波動(dòng)率短期成分(非持續(xù)性或短記憶波動(dòng)率因子)。 兩個(gè)波動(dòng)率因子過(guò)程中均引入杠桿效應(yīng)參數(shù)ρi，用以捕獲波動(dòng)率非對(duì)稱性，即波動(dòng)率對(duì)于資產(chǎn)收益率正向沖擊和負(fù)向沖擊的非對(duì)稱反應(yīng)，研究表明其對(duì)于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量具有重要影響[30-31]。

(5)

其中，0<λ<1，σ2=(1-p+λp)-1，p為概率，λ、σ和p都是待估參數(shù)。t的概率密度函數(shù)為

fMN(t|λ,p)=

(6)

3 估計(jì)方法

本研究采用極大似然方法估計(jì)2FRSV-MN模型的參數(shù)。極大似然方法是一種常用的、有效的參數(shù)估計(jì)方法，其所獲得的極大似然估計(jì)量具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如一致性和漸近正態(tài)性等。由于2FRSV-MN模型包含不可觀測(cè)的隱因子，這使其似然函數(shù)很難獲得，因此很難實(shí)施基于極大似然原理的2FRSV-MN模型的直接參數(shù)推斷。為了克服這個(gè)問(wèn)題，本研究采用粒子濾波方法解決2FRSV-MN模型的似然估計(jì)問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)極大似然原理對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

粒子濾波是一種序貫蒙特卡羅方法，它通過(guò)模擬抽樣產(chǎn)生預(yù)測(cè)和濾波分布。該方法被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域，近年來(lái)在金融應(yīng)用中獲得越來(lái)越多的關(guān)注。 最簡(jiǎn)單和常用的粒子濾波方法是由GORDON et al.[32]提出的抽樣重要性重抽樣(sampling/importance resampling，SIR)濾波方法。SIR濾波方法易于實(shí)現(xiàn)，且具有非常強(qiáng)的適用性，可以較容易地應(yīng)用于各種包含不可觀測(cè)狀態(tài)變量的復(fù)雜非線性模型(如SV模型)[33-35]。

然而，基于標(biāo)準(zhǔn)SIR濾波算法得到的模型似然函數(shù)并非參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，這給采用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法最大化相應(yīng)的似然函數(shù)造成困難。為了克服這個(gè)問(wèn)題，本研究運(yùn)用MALIK et al.[36]提出的連續(xù)重抽樣方法，構(gòu)建相應(yīng)的連續(xù)SIR(CSIR)濾波算法獲得光滑連續(xù)似然函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合極大似然方法對(duì)2FRSV-MN模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

logL(Θ)=logp(y1,…,yt,…,yT|Θ)

(7)

其中，logL(Θ)為2FRSV-MN模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)；yt為t交易日的觀測(cè)樣本，包括資產(chǎn)收益率和對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，yt=(rt,xt)′；yT為T交易日的觀測(cè)樣本，包括資產(chǎn)收益率和對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，yT=(rT,xT)′；p(·)為概率密度函數(shù)；Ft為t交易日的信息集，F(xiàn)t={y1,…,yt}；且

(8)

其中，p(ht+1|Ft;Θ)為預(yù)測(cè)密度。

(8)式可以通過(guò)蒙特卡羅模擬近似得到，即

(9)

根據(jù)貝葉斯原理，濾波密度可以寫為

p(ht+1|Ft+1;Θ)∝p(yt+1|ht+1;Θ)p(ht+1|Ft;Θ)

(10)

其中，p(ht+1|Ft+1;Θ)為濾波密度。

(11)

下面給出2FRSV-MN模型的SIR濾波算法。

基于SIR濾波算法，根據(jù)(9)式得到似然估計(jì)為

(12)

從而，模型對(duì)數(shù)似然的估計(jì)為

(13)

上述對(duì)數(shù)似然估計(jì)不是無(wú)偏的，進(jìn)行偏差修正得到無(wú)偏的對(duì)數(shù)似然的估計(jì)為

(14)

由于標(biāo)準(zhǔn)SIR濾波算法中的重抽樣(步驟3)是基于不連續(xù)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，因此得到的似然函數(shù)并非參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，這給借助優(yōu)化方法最大化相應(yīng)的模擬似然函數(shù)造成阻礙，同時(shí)無(wú)法采用常規(guī)方法計(jì)算參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。 為了克服這個(gè)問(wèn)題，本研究對(duì)標(biāo)準(zhǔn)SIR濾波算法中的重抽樣步驟3進(jìn)行修正，即

關(guān)于連續(xù)分布函數(shù)的具體構(gòu)造形式及基于該分布的連續(xù)(分層)重抽樣方法參見MALIK et al.[36]的研究。

將SIR濾波算法中的步驟3替換為步驟3′，得到CSIR濾波算法?；贑SIR濾波算法得到連續(xù)的似然函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合極大似然原理可以得到2FRSV-MN模型參數(shù)的模擬極大似然估計(jì)為

(15)

4 模擬實(shí)驗(yàn)

根據(jù)“真實(shí)的”2FRSV-MN模型模擬生成樣本長(zhǎng)度為2 500的觀測(cè)序列(資產(chǎn)收益率和對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率)，對(duì)該觀測(cè)序列運(yùn)用基于CSIR濾波的極大似然方法進(jìn)行估計(jì)，重復(fù)模擬和估計(jì)實(shí)驗(yàn)100次，得到參數(shù)估計(jì)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差(RMSE)。基于CSIR濾波的極大似然估計(jì)方法采用MATLAB軟件編程，在Windows 7計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

表1 數(shù)值模擬結(jié)果Table 1 Numerical Simulation Results

注：粒子數(shù)選取為500，下同。

準(zhǔn)差都接近于RMSE，表明估計(jì)的有限樣本偏差很小。因此，運(yùn)用基于CSIR濾波的極大似然方法估計(jì)2FRSV-MN模型可以獲得可靠的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

5 實(shí)證研究

5.1 數(shù)據(jù)

本研究采用2005年1月4日至2015年12月31日上證綜合(SSE)指數(shù)和深證成分(SZSE)指數(shù)共2 671個(gè)交易日的5分鐘高頻交易價(jià)格數(shù)據(jù)作為研究樣本，所有數(shù)據(jù)均來(lái)源于天軟數(shù)據(jù)庫(kù)。 第t交易日的指數(shù)對(duì)數(shù)收益率定義為rt=logPt-logPt-1，Pt為第t交易日的指數(shù)收盤價(jià)格。眾所周知，資產(chǎn)收益率的真實(shí)日度波動(dòng)率不能直接觀測(cè)到，ANDERSEN et al.[1]采用日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，給出它的估計(jì)量。第t交易日的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率定義為

(16)

其中，rt,j為第t交易日的第j個(gè)日內(nèi)對(duì)數(shù)收益率，rt,j=logPt,j-logPt,j-1，Pt,j為第t交易日的第j個(gè)時(shí)間間隔上的收盤價(jià)；J為日內(nèi)收益率數(shù)目。在理想的市場(chǎng)條件下，即不存在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲以及資產(chǎn)可一直連續(xù)交易，RVt依概率收斂于積分波動(dòng)率IV(即真實(shí)日度波動(dòng)率)[2]，即

(17)

其中，σ2(s)為資產(chǎn)在s時(shí)刻的瞬時(shí)波動(dòng)率。但實(shí)際市場(chǎng)中往往存在非交易時(shí)間和市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲，此時(shí)RV不是積分波動(dòng)率的一致估計(jì)量，而是存在源于非交易時(shí)間的下偏或源于市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲的上偏。

表2給出SSE指數(shù)和SZSE指數(shù)日度收益率、已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率及其對(duì)數(shù)的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。 由表2可知，兩個(gè)指數(shù)的rt的均值都大于0，但在統(tǒng)計(jì)上不顯著；偏度小于0，峰度大于3，表明兩個(gè)指數(shù)的rt的分布呈現(xiàn)負(fù)偏和尖峰特征；Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量顯著，拒絕正態(tài)性假定。兩個(gè)指數(shù)的RVt的偏度、峰度和Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量都拒絕其為正態(tài)分布的假定。 但比較logRVt與RVt可以看到，logRVt的偏度、峰度和Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量都大大降低，雖然并不完全服從正態(tài)分布，但已經(jīng)較為接近于正態(tài)分布。 圖1和圖2分別給出SSE指數(shù)和SZSE指數(shù)的rt和RVt時(shí)間序列圖以及rt的QQ圖和logRVt的自相關(guān)圖。由圖1和圖2可知，兩個(gè)指數(shù)的rt在抽樣階段內(nèi)均展現(xiàn)明顯的波動(dòng)率時(shí)變性和聚集性特征，rt的QQ圖表明其并不服從正態(tài)分布；兩個(gè)指數(shù)logRVt的自相關(guān)函數(shù)都是緩慢衰減的，表明波動(dòng)率具有長(zhǎng)記憶特征。

表2 rt、RVt和log RVt的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 2 Descriptive Statistics Results for rt， RVt and log RVt

(a)rt時(shí)間序列圖

(b)rt的QQ圖

(c)RVt時(shí)間序列圖

(d)log RVt自相關(guān)圖

(a)rt時(shí)間序列圖

(b)rt的QQ圖

(c)RVt時(shí)間序列圖

(d)log RVt自相關(guān)圖

5.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

基于SSE指數(shù)和SZSE指數(shù)數(shù)據(jù)，利用基于CSIR濾波的極大似然估計(jì)方法，得到2FRSV-MN模型的參數(shù)估計(jì)及其標(biāo)準(zhǔn)誤差、對(duì)數(shù)似然值和赤池信息準(zhǔn)則(AIC)，結(jié)果見表3和表4。為了比較起見，表中給出混合正態(tài)單因子已實(shí)現(xiàn)SV(1FRSV-MN)模型以及資產(chǎn)收益率新息t服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布和標(biāo)準(zhǔn)GED分布等常見的一些分布的單因子和雙因子已實(shí)現(xiàn)SV模型的估計(jì)結(jié)果，具體模型包括1FRSV-N、1FRSV-t、1FRSV-GED、1FRSV-MN、2FRSV-N、2FRSV-t、2FRSV-GED和2FRSV-MN。 常見資產(chǎn)收益率新息分布函數(shù)的具體形式參見附錄。

表3 SSE指數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 3 Parameter Estimation Results for SSE Index

注：v為標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布或標(biāo)準(zhǔn)GED分布的自由度。括號(hào)中數(shù)據(jù)為極大似然估計(jì)的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差，下同。

由表3和表4可知，SSE指數(shù)和SZSE指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的偏差修正參數(shù)ξ的估計(jì)值均小于0，表明兩指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率均存在下偏，市場(chǎng)非交易時(shí)間效應(yīng)強(qiáng)于微觀結(jié)構(gòu)噪聲效應(yīng)。所有模型中波動(dòng)率持續(xù)性參數(shù)φ1的估計(jì)值均接近于1，表明滬深股市具有強(qiáng)的波動(dòng)率持續(xù)性特征。在4個(gè)單因子模型中，兩個(gè)指數(shù)杠桿參數(shù)ρ1的估計(jì)值均為負(fù)值，表明中國(guó)滬深股市存在顯著的杠桿效應(yīng)，但與歐美成熟股票市場(chǎng)相比并不強(qiáng)。 在4個(gè)雙因子模型中，兩個(gè)指數(shù)ρ1的估計(jì)值均為正值，ρ2的估計(jì)值均為負(fù)值，表明滬深股市杠桿效應(yīng)只存在于短記憶波動(dòng)率因子過(guò)程中，長(zhǎng)記憶波動(dòng)率因子過(guò)程中存在反向杠桿效應(yīng)。

1FRSV-MN模型和2FRSV-MN模型均獲得比正態(tài)分布、學(xué)生t分布和GED分布模型更高的對(duì)數(shù)似然值和更低的AIC值，表明MN分布比其他分布能夠更好地刻畫資產(chǎn)收益率的非正態(tài)性。 事實(shí)上，根據(jù)AIC準(zhǔn)則，在所有模型分布設(shè)定中，MN分布對(duì)于SSE指數(shù)和SZSE指數(shù)都獲得最好的收益率分布擬合效果。對(duì)于SSE指數(shù)，正態(tài)分布的擬合效果最差；對(duì)于SZSE指數(shù)，學(xué)生t分布的擬合效果最差。 比較單因子模型與雙因子模型的估計(jì)結(jié)果可知，雙因子模型比單因子模型具有更高的對(duì)數(shù)似然值和更低的AIC值，表明能夠描述波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性的雙因子模型通過(guò)引入第2個(gè)波動(dòng)率因子過(guò)程顯著改進(jìn)了模型的擬合效果。特別地，2FRSV-N模型比1FRSV-MN模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合表現(xiàn)，表明在波動(dòng)率模型中考慮波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性(雙因子波動(dòng)率)比資產(chǎn)收益率的非正態(tài)性(尖峰、厚尾)更為重要。 比較各模型的對(duì)數(shù)似然值和AIC值，能夠綜合描述波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性和資產(chǎn)收益率非正態(tài)性的2FRSV-MN模型在滬深股市獲得比其他模型更好的數(shù)據(jù)擬合效果。

表4 SZSE指數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 4 Parameter Estimation Results for SZSE Index

圖3 SSE指數(shù)波動(dòng)率濾波估計(jì)Figure 3 Filtered Volatility Estimates for SSE Index

圖4 SZSE指數(shù)波動(dòng)率濾波估計(jì)Figure 4 Filtered Volatility Estimates for SZSE Index

5.3 VaR估計(jì)結(jié)果

準(zhǔn)確測(cè)量金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于金融機(jī)構(gòu)的生存和發(fā)展乃至整個(gè)金融系統(tǒng)的穩(wěn)定至關(guān)重要，VaR是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理中最廣泛使用的工具，它具有概念簡(jiǎn)單、直觀和易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，許多金融機(jī)構(gòu)和風(fēng)險(xiǎn)管理者都通過(guò)計(jì)算VaR防范市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。本研究考慮基于1FRSV和2FRSV的4種分布模型的VaR估計(jì)。

概率為α的VaR定義為

Pr[rt

(18)

其中，Pr為概率。 在1FRSV和2FRSV模型下，VaR的計(jì)算公式為

(19)

其中，zα為資產(chǎn)收益率新息分布的α左尾分位數(shù)。

根據(jù)5.2節(jié)給出的參數(shù)估計(jì)和波動(dòng)率濾波估計(jì)，利用(19)式計(jì)算得到2FRSV-MN模型給定概率α∈{0.010,0.050}下SSE指數(shù)和SZSE指數(shù)的VaR結(jié)果，見圖5和圖6。為了檢驗(yàn)VaR估計(jì)的準(zhǔn)確性，進(jìn)行后驗(yàn)測(cè)試，包括失敗率檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)。表5給出檢驗(yàn)結(jié)果。由表5可知，對(duì)于概率為0.010和0.050，所有模型在5%顯著性水平下都通過(guò)了似然比檢驗(yàn)，說(shuō)明這些模型都能較好地測(cè)量金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。α=0.010時(shí)，1FRSV-N模型在滬深股市具有最好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量效果，似然比值最低且失敗率最接近于相應(yīng)的概率α=0.010。同理，α=0.050時(shí)，滬市1FRSV-MN模型和深市2FRSV-MN模型具有最好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量效果。

(a)α=0.010時(shí)VaR的估計(jì)結(jié)果

(b)α=0.050時(shí)VaR的估計(jì)結(jié)果

(a)α=0.010時(shí)VaR的估計(jì)結(jié)果

(b)α=0.050時(shí)VaR的估計(jì)結(jié)果

表5 VaR估計(jì)失敗率檢驗(yàn)和似然比檢驗(yàn)結(jié)果Table 5 Results for Failure Rate and Likelihood Ratio Tests of VaR Estimates

6 結(jié)論

本研究對(duì)傳統(tǒng)的低頻日度SV模型進(jìn)行擴(kuò)展，引入包含豐富日內(nèi)高頻信息的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，同時(shí)考慮已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的偏差修正、波動(dòng)率長(zhǎng)記憶性和資產(chǎn)收益率的非正態(tài)性(尖峰、厚尾)特征，構(gòu)建2FRSV-MN模型。運(yùn)用靈活且易于實(shí)現(xiàn)的基于連續(xù)粒子濾波的極大似然方法估計(jì)2FRSV-MN模型的參數(shù)，通過(guò)蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證估計(jì)方法的有效性。采用滬深股市SSE指數(shù)和SZSE指數(shù)5分鐘高頻交易數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，得到以下研究結(jié)論。

(1)滬深股市已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的偏差修正參數(shù)ξ的估計(jì)值均明顯小于0，表明已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是真實(shí)日度波動(dòng)率的有偏估計(jì)，存在明顯下偏，滬深股市非交易時(shí)間效應(yīng)強(qiáng)于微觀結(jié)構(gòu)噪聲效應(yīng)。

(2)所有模型中波動(dòng)率持續(xù)性參數(shù)φ1估計(jì)值均接近于1，杠桿參數(shù)ρ1(單因子模型)或ρ2(雙因子模型)估計(jì)值均為負(fù)值，表明滬深股市具有強(qiáng)的波動(dòng)率持續(xù)性和顯著的杠桿效應(yīng)，且杠桿效應(yīng)主要存在于短記憶波動(dòng)率因子過(guò)程中，長(zhǎng)記憶波動(dòng)率因子過(guò)程中存在反向杠桿效應(yīng)。

(3)根據(jù)模型估計(jì)的對(duì)數(shù)似然值和AIC值，2FRSV-MN模型比其他模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果。

(4)基于VaR的估計(jì)結(jié)果表明，所有已實(shí)現(xiàn)SV模型都能較好地測(cè)量金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，但具有最好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量效果的模型并非一定是具有最好的數(shù)據(jù)擬合效果的模型，這取決于選取的概率和數(shù)據(jù)。 概率為0.010時(shí)，1FRSV-N模型在滬深股市具有最好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量效果；概率為0.050時(shí)，滬市1FRSV-MN模型和深市2FRSV-MN模型具有最好的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量效果。

本研究結(jié)果為波動(dòng)率建模提供了更好的方法選擇，也豐富了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的實(shí)證結(jié)果，進(jìn)而為投資者和金融監(jiān)管當(dāng)局提供更準(zhǔn)確的決策信息支持，實(shí)踐意義重大。 當(dāng)然，本研究還存在一些不足，對(duì)于在模型中引入多重已實(shí)現(xiàn)測(cè)量、資產(chǎn)收益率的其他分布、馬爾科夫機(jī)制轉(zhuǎn)換、跳躍等，并考察其對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量和期權(quán)定價(jià)的影響需要進(jìn)一步研究，這也是下一步研究的重點(diǎn)。

附錄：常見資產(chǎn)收益率新息分布

(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(20)

(2)標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布

(21)

(3)標(biāo)準(zhǔn)GED分布

(22)

需要指出的是，除了上述3種常見分布，近年來(lái)偏斜學(xué)生t(SKt)分布也被應(yīng)用于對(duì)資產(chǎn)收益率分布建模，如吳鑫育等[39]和LIU et al.[40]的研究。 但是本研究通過(guò)實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，在已實(shí)現(xiàn)SV模型中引入SKt分布相比引入更簡(jiǎn)單的t分布模型擬合并沒(méi)有明顯改進(jìn)，估計(jì)結(jié)果非常類似。 因此，為了節(jié)省篇幅，本研究沒(méi)有給出基于SKt分布的實(shí)證結(jié)果。