江蘇海安市教師發(fā)展中心附屬小學(xué) 張春新

鄭毓信教授在《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書中認(rèn)為概念的心理表征在大多數(shù)情況下并非相應(yīng)的形式定義，而是由多個成分組成的復(fù)合體，包括心智圖像、對其性質(zhì)的認(rèn)識與有關(guān)過程的記憶等。也就是說，“數(shù)學(xué)表征”是指用某種形式將數(shù)學(xué)概念或關(guān)系表達(dá)出來的一個過程。就學(xué)生關(guān)于抽象數(shù)學(xué)概念的表征而言，具有兩大特點:一是分散性和不一致性，在學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)概念的表征中，各種成分往往沒有構(gòu)成一個有機(jī)的整體，以至于很大程度上被看成同一概念的不同心理表征，在它們之間更是經(jīng)常存在一定的矛盾和沖突。二是具有僵滯性。學(xué)生往往不善于在心理表征的不同側(cè)面（或者說，不同的心理表征）之間做出轉(zhuǎn)換。

因此他認(rèn)為，基于學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，應(yīng)當(dāng)努力幫助學(xué)生建立抽象數(shù)學(xué)概念的適當(dāng)表征,由“單一表征”過渡到“多元表征”。理解概念的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)概念的抽象定義的含義轉(zhuǎn)換成易于學(xué)生理解和運用的適當(dāng)?shù)男睦肀硐?。學(xué)生通過內(nèi)化概念的多種表征并與已有的內(nèi)在表征的相互轉(zhuǎn)換，以此促進(jìn)或影響學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，進(jìn)而促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

鑒于表征在學(xué)習(xí)過程中的重要意義，從兒童有效概念表征形成的視角分析“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”這一內(nèi)容，筆者發(fā)現(xiàn)眾多的教學(xué)設(shè)計與實施都存在忽視表征的多元、發(fā)展層次，忽略表征間的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯、表征的全面等傾向，這些傾向?qū)閷W(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義埋下潛在障礙。兒童不能多角度地理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵，就談不上數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文擬從概念表征的視角談?wù)劰P者基于兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)的一些嘗試。

一、在多元表征的多向表達(dá)中，初步感受分?jǐn)?shù)特征

眾多“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的教學(xué)設(shè)計是建立在學(xué)生沒有接觸過分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上設(shè)計的。但是，盡管分?jǐn)?shù)是個復(fù)雜的概念，學(xué)生還是具備豐富的前概念的。其實，有些學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前已經(jīng)接觸過分?jǐn)?shù)了，有的是看課本上的，有的是聽爸爸媽媽說的，還有的是課外書籍上接觸到的……我思考，與其一部分學(xué)生粗略模糊地知道，不如讓所有學(xué)生都課前先學(xué)，讓學(xué)生課前先感知分?jǐn)?shù)，帶著自己對分?jǐn)?shù)的初步理解在課上交流、碰撞、提升……那么，怎樣把學(xué)生對分?jǐn)?shù)的初步理解用外在的方式表征出來，以了解學(xué)生的理解程度呢？ 針對三年級學(xué)生的年齡特點、學(xué)習(xí)特征，我設(shè)置了這樣的課前學(xué)習(xí)單：

讓學(xué)生嘗試對它們進(jìn)行初步表征，結(jié)果學(xué)生們出現(xiàn)多種多樣的表征：

圖1

圖2

圖3

不同的表征可以提供不同的信息，支持不同的認(rèn)知建構(gòu)過程，如果學(xué)生表征形式過于單一，則會影響他們對數(shù)學(xué)的深度加工，進(jìn)而影響后續(xù)學(xué)習(xí)。學(xué)生個體的表征是有差異性的，這就需要我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，重視對學(xué)生表征形式的展示和交流，讓學(xué)生在形成自我表征特點的基礎(chǔ)上，能夠積極吸納他人的表征形式，并在今后的學(xué)習(xí)中嘗試運用，提升表征的豐富性。

二、在多元表征的逐步抽象中，初步建立分?jǐn)?shù)模型

外在個體單一的表征在交流討論、互相學(xué)習(xí)的過程中逐步豐富起來。多元化的表征豐富了學(xué)生的視野，在此基礎(chǔ)上，還需要引導(dǎo)學(xué)生深入思考，對多元化的表征進(jìn)行分析比較、抽象概括，找出蘊(yùn)含在豐富表征后面的數(shù)學(xué)本質(zhì)，促使學(xué)生進(jìn)行深度思考，提升表征的層次。

教學(xué)片段1

……

師：這些圖形不同，涂色部分的形狀和位置、大小也不一樣，為什么都用表示呢？

生1：因為它們都是平均分成了2份，涂了其中的1份。

生2：不管它是長方形、正方形、圓、三角形、梯形，只要是平均分成了2份，每份就是它的

生1：不是，它沒有平均分成2份。

師：是的，平均分很重要，它是表示分?jǐn)?shù)的前提，丟了“平均”，就成不了分?jǐn)?shù)了。

……

生3：看來，我們的（ ）里不僅可以是長方形、正方形等圖形，還可以是一個蘋果、一個西瓜、一個大餅等。

生4：是的，不管是圖形，還是物體，只要是把它平均分成2份，每份就是它的

生1：都是平均分成了4份，涂了其中的1份。

生2：我覺得不管是圖形，還是物體，雖然形狀大小都不一樣，但只要是平均分成4分，每份就都是它的

生展示。

師：你們有什么想說的嗎？

生：不管是什么圖形，還是物體，只要平均分成8份，每份都是它的

生1：要表示分?jǐn)?shù)，首先要平均分。

生2：我發(fā)現(xiàn)不管是什么形狀的物體還是圖形，只要把它平均分成幾份，分母就是幾，取幾份，分子就是幾。

生3：我發(fā)現(xiàn)，把一個物體或圖形平均分成幾份，其中的1份就是它的幾分之一。

（師板書）

生2：我看到把一個長方形平均分成了9份，每

師：（隨即出示）你能給它們找找朋友嗎？

……

三、在多元表征的自覺轉(zhuǎn)換中，逐漸內(nèi)化分?jǐn)?shù)認(rèn)識

基于數(shù)學(xué)表征在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的交流和認(rèn)知的作用，萊旭將布魯納的分類發(fā)展為五種，即書面（文字）符號、口頭語言（口語符號）、操作性模型（模式）、圖形（圖像）、實物（實際生活情境），并強(qiáng)調(diào)，它們之間不一定存在先后的發(fā)展順序，主要應(yīng)重視它們之間的轉(zhuǎn)換與相互影響，因為這種轉(zhuǎn)換與影響對學(xué)生的概念形成和理解有重要意義，體現(xiàn)了邏輯思維與非邏輯思維的互補(bǔ)。

教學(xué)片段2：

（生討論交流）

生2：一個長方形大餅，平均分成2份，其中的1份比把它平均分成4份其中的1份大，所以大。（其他同學(xué)都連連點頭）大家看。（出示所畫圖形）

生3：我畫的是同樣一個圓，平均分成2份，其中的1份也比把它平均分成4份中的1份大。

……

生5：同樣大的東西，平均分的份數(shù)越多，每份就越小。

……

學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)比較的過程中，已經(jīng)自覺地將符號化表征轉(zhuǎn)換為圖形表征，并通過圖形表征的形象性幫助思考分?jǐn)?shù)大小，在此基礎(chǔ)上又自覺地轉(zhuǎn)換為符號表征確定大小。在這一過程中，學(xué)生已經(jīng)能在符號化表征和圖形表征之間自覺自如地轉(zhuǎn)換，并通過自覺轉(zhuǎn)換靈活地解決了問題，兩種轉(zhuǎn)換已經(jīng)水乳交融。轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯的過程，既有助于學(xué)生在兩種表征內(nèi)在的、必然的聯(lián)系中靈活地解決問題，對幾分之一之間的關(guān)系理解得更為深刻，又促進(jìn)了他們形象思維、直覺思維、邏輯思維的發(fā)展。

四、在多元表征的整體聯(lián)系中，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之前，學(xué)習(xí)的是整數(shù)，在整數(shù)的世界里，學(xué)生對數(shù)的整體表征是這樣的：0,1,2,3,4……也就是說1后面是2,2后面是3……有了分?jǐn)?shù)以后，數(shù)的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，這時應(yīng)及時地擴(kuò)充學(xué)生已有的數(shù)的表征，在分?jǐn)?shù)與整數(shù)表征的整體聯(lián)系中，進(jìn)一步完善學(xué)生大腦中關(guān)于數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得學(xué)生對數(shù)的表征更全面。

教學(xué)片段三：

師：現(xiàn)在你能將以上這些數(shù)按從小到大的順序排列嗎?在自己的練習(xí)紙上排一排。

師：你能把它們填到下面的線上嗎？

師：閉上眼睛想一想它們的大小。3塊蛋糕，2塊蛋糕，1塊蛋糕，塊蛋糕，塊蛋糕，塊蛋糕，蛋糕慢慢變小，慢慢怎么了，最后怎么了？ （邊說邊出示對應(yīng)的圖）

生：蛋糕慢慢變小了，最后沒有了，也就是0。

師：原來我們數(shù)數(shù),0后面是1，1后面是2，現(xiàn)在0后面是1嗎？

生：不是?，F(xiàn)在0和1之間有了許多分?jǐn)?shù)。

生：那么1和2、2和3之間是不是也有許多分?jǐn)?shù)？

師：是的，后面我們會認(rèn)識許許多多新的分?jǐn)?shù)。

生：我知道了，今天我們學(xué)的分?jǐn)?shù)都比0大、比1小，后面我們還會學(xué)習(xí)大于1的分?jǐn)?shù)。

在這一環(huán)節(jié)中，分?jǐn)?shù)的表征和整數(shù)的表征有機(jī)結(jié)合，給學(xué)生很好的整體性表征和結(jié)構(gòu)化思維，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到及時擴(kuò)充，更加完整，更加系統(tǒng)，更加精細(xì)。在整體表征分?jǐn)?shù)和整數(shù)時，再進(jìn)一步將整體的符號表征轉(zhuǎn)換為圖形表征，這時的圖形表征由原先“率”的表征轉(zhuǎn)換為“量”的表征，角度自然地轉(zhuǎn)換，又提高了一個層次，變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)、整數(shù)有機(jī)結(jié)合的整體的圖形表征，學(xué)生在生動形象的圖形表征中感受到數(shù)逐漸變小，與整體符號表征融為一體，促進(jìn)了學(xué)生對整體表征的進(jìn)一步感受和理解。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)一步思考“0和1之間有許多分?jǐn)?shù)，1和2、2和3之間也有許多分?jǐn)?shù)嗎”，激發(fā)繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的興趣。

總之，在學(xué)習(xí)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的過程中，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，學(xué)生經(jīng)歷了概念表征的逐步豐富、抽象、內(nèi)化、完善，對分?jǐn)?shù)的理解逐步深入，認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步擴(kuò)充，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生了，這時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿了生長的力量，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在其中得到培養(yǎng)。