馬曉晨,吳群英

(桂林理工大學理學院,廣西 桂林541004)

1.引言及引理

極限理論是概率論和統(tǒng)計學中的重要研究課題,它們被廣泛運用到金融領(lǐng)域和其他領(lǐng)域中.經(jīng)典極限理論只在模型確定的情況下成立.然而,這樣的模型確定性假設在實踐中許多應用領(lǐng)域是不成立的,因為不確定性現(xiàn)象無法用確定性模型解釋.因此,彭實戈院士[1]引入了次線性期望空間理論,并給出了次線性期望理論的完整公理體系.由于次線性期望為次線性概率問題提供了一個靈活的框架,所以次線性期望下的極限理論近年來受到越來越多學者的關(guān)注和研究.目前,已經(jīng)取得了一系列有用的結(jié)果.如PENG[2]證明了次線性期望空間下的中心極限定理; ZHANG[3?5]得到了次線性期望下廣義ND的Kolmogorov強大數(shù)定律、矩不等式、重對數(shù)率以及獨立和ND情況下的Rosenthal’s不等式; WU和JIANG[6]得到了次線性期望空間下的強大數(shù)律與Chover’s型重對數(shù)律,HU[7]證明了次線性期望空間下一般矩條件的強大數(shù)律,ZHONG和WU[8]研究了次線性期望下的END列加權(quán)和的完全收斂和完全積分收斂等.完全收斂性的概念最早是由HSU和ROBBINS[9]引入的,并證明了如果隨機變量的方差是有限的,則獨立同分布隨機變量的算術(shù)平均序列收斂到期望值.目前,完全收斂性在概率空間下已經(jīng)有了很深入的研究,如WU[10?11]分別給出了ND序列和ND陣列隨機變量完全收斂性的證明; 孟兵和吳群英[12]證明了ND陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性等等.一般來說,將傳統(tǒng)概率空間的極限理論推廣到次線性期望空間的情形是可取的,在理論上和應用上都有重要意義.目前在次線性期望空間下隨機變量序列的完全收斂性的相關(guān)論文還很少,本文在現(xiàn)有的理論基礎上,進一步將文[13]中定理2.1從概率空間中NOD列加權(quán)和的完全收斂性推廣到了次線性期望空間下END列加權(quán)和的完全收斂性,并且在更優(yōu)的條件下得到了比文[14]更強的結(jié)果.

我們引用彭實戈院士[1?2]提出的次線性期望空間的框架,假設(?,F)是給定的可測空間,H是定義在(?,F) 上由實函數(shù)構(gòu)成的線性空間,對任意X1,X2,··· ,Xn∈H,φ ∈Cl,Lip(Rn),都有φ(X1,X2,··· ,Xn)∈H,其中Cl,Lip(Rn)表示在線性空間的局部Lipschitz函數(shù),即對任意φ ∈Cl,Lip(Rn),存在常數(shù)c>0,m ∈N取決于φ,都有

也稱H是由隨機變量所構(gòu)成的空間,并記X ∈H.

定義1.1[4]稱:H →為次線性期望,如果對任意X,Y ∈H,都有以下性質(zhì):

1) 單調(diào)性: 如果X ≥Y,那么

定義1.2[4]令G ?F,一個函數(shù)V:G →[0,1]稱為容度,如果

1)V(?)=0,V(?)=1;

2) 對任意A ?B,A,B ∈G,則有V(A)≤V(B).

如果對所有的A,B ∈G,都有V(A ∪B)≤V(A)+V(B),則稱V具有次可加性; 如果對任意An∈F,有則稱V具有可數(shù)次可加性.

在次線性空間(?,H,),定義上容度和下容度(V,V),即對任意A ?F,

其中,Ac為A的補集.由定義可知,V具有次可加性,且對任意f ≤I(A)≤g,f,g ∈H,有

定義1.3[4]Choquet積分為

可以用V代替V得到相應的積分.

定義1.4[4](同分布) 假設X1,X2是定義在次線性期望空間(?1,H1,)和(?2,H2,)上的隨機變量,如果(φ(X1))=(φ(X1)),?φ ∈Cl,Lip(R),則稱其為同分布的,記為X1

d=X2.如果對則稱{Xn;n ≥1}是同分布的序列.

定義1.5[3](END序列) 在次線性空間(?,H,?E)下,如果存在常數(shù)K ≥1,使得下面式子成立

其中,非負函數(shù)gi∈Cl,Lip(Rn),i=1,2,···,是非降(或非增)的,則稱隨機變量序列{Xn;n ≥1}為END序列.

顯然,由END隨機變量序列的定義,我們可以得出,如果{Xn;n ≥1}是END隨機變量序列,以及f1(x),f2(x),··· ,∈Cl,Lip(Rn)是非降（或非增）的函數(shù),那么{f(Xn);n ≥1}也是一個END隨機變量序列.

在本文中,符號c始終代表一個正的任意常數(shù),在不同的地方取不同的值;an～bn表示limn→∞an/bn=1;I(·)表示示性函數(shù).

為證本文的結(jié)論，我們需要以下3 個引理.

引理1.6(Markov不等式)?X ∈H,有

證對于?x>0,p>0,因為

引理1.7[14]設X是次線性空間(?,H,)下的隨機變量,滿足X ≤1,則

引理1.8假設X ∈H,r >0,α>0,則對于任意c>0,有

證令對任意c>0,記c1=c2+r/αln2(2α+r),Z?1(x)是Z(x)的反函數(shù),根據(jù)Choquet 積分的定義,我們有

因此,

2.主要結(jié)果及其證明

定理2.1假設{X,Xn;n ≥1}是次線性期望空間(?,H,)下的同分布END隨機變量序列,具有可數(shù)次可加性,{ank;k ≥1,n ≥1}是正常數(shù)陣列,滿足supk≥1ank≤cn?α.如果r >0,α>0,且

則

注定理2.1是將文[13]中定理2.1從概率空間推廣到了次線性期望空間.

證不失一般性,我們可以假設Xn=0,根據(jù)(2.1)式以及上期望具有可數(shù)次可加性,有所以可假設對于任意k ≥1,n ≥1都成立.令

由于{X,Xn;n ≥1}是一個END序列,為了確保截尾隨機變量也是END序列,則需要使截尾后的序列屬于Cl,Lip并且為非增(非減)的.給定任意ε >0,取ρ >0,正整數(shù)N.因為n?ρ→0,n →∞,所以對于任意給定的ε,N,存在正整數(shù)N0使得當n ≥N0時,有n?ρ<ε/N.因為本文結(jié)論證明的是完全收斂性,又由于完全收斂性與前面有限項是無關(guān)的,所以可以不妨假設當n ≥1時,n?ρ<ε/N.記

由定義1.5 知,{ankX′nk,k ≥1}是END序列,進而知{exp(unankX′nk),k ≥1}也是END序列,其中,un=min(ε/2cn,nρ),記并且有

因unankX′nk≤1,由引理1.7知,又因為因此有及由引理1.6有

如果ε/2cn>nρ,則由un的定義有V(T′n>ε)≤cexp(?εnρ/2),

如果ε/2cn≤nρ,則有V(T′n>ε)≤cexp(?ε2/4cn).

對于?r >0,ε >0,ρ >0,由limn→∞nr+1/exp(εnρ/2)=0,可知nr/exp(εnρ/2)=o(1/n),當n充分大時,有nr/exp(εnρ/2)≤1/n,則有

由(2.2)式知cn=o(1/logn),所以,對δ=ε2/4(r+1)>0,當n充分大時,有cn≤δ/logn,即1/cn≥logn/δ,則有

于是有

假設函數(shù)g(x)∈Cl,Lip(R),是一個偶函數(shù),并且在(0,∞)上是單調(diào)下降的,使得?x ∈R,0≤g(x)≤1; 且當|x|≤μ(0<μ<1),g(x)=1; 當|x|>1,g(x)=0.則有

記a=ε/N,對任意n ≥1,k ≥1,根據(jù)ank

則根據(jù)同分布序列,由(2.7)和(2.8)有

于是,由(2.2)和(2.9)式可得,

再取函數(shù)gj(x)使gj(x)∈Cl,Lip(R),且對任意x有0≤gj(x)≤1,其中j ≥1,且當a2αj≤|x|

則有

由的定義,如果如果n?ρ< ankXk≤ε/N,則因此為使至少存在N個下標使取2

因此,取0<ρ<α(p ?2)/P,N >r/α(p ?2)?ρp,我們有

結(jié)合(2.6),(2.12)和(2.13)式便證明完式子(2.3).顯然,{?X,?Xn;n ≥1}也滿足定理2.1中的條件,用{?X,?Xn;n ≥1}替換(2.3)中的{X,Xn;n ≥1}有

這便得到了式子(2.5),即完成了定理2.1的證明.