各向異性橢圓方程雙邊障礙問(wèn)題解的正則性

謝素英,楊超

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,浙江 杭州310018)

1.引言

近年來(lái),人們對(duì)橢圓方程及其障礙問(wèn)題的弱解的正則性研究有了很多結(jié)果.對(duì)于各向同性的情形,即解的偏導(dǎo)數(shù)在各個(gè)方向上具有相同的可積指數(shù)情形,李工寶和Martio在文[1]中研究了齊次A-調(diào)和方程?divA(x,Du)=0的雙邊障礙問(wèn)題弱解的全局正則性；佟玉霞等在文[2]中研究了A-調(diào)和型方程?divA(x,u,Du)=0的雙邊障礙問(wèn)題弱解的局部和全局可積性；劉保相等在文[3]中研究了非齊次A-調(diào)和型方程?divA(x,u,Du)=f(x)的雙邊障礙問(wèn)題弱解的局部有界性.對(duì)各向異性的情形,即解的偏導(dǎo)數(shù)在各個(gè)方向上具有相異的可積指數(shù)情形,Giachetti和Porzio在文[4]中研究了各向異性最小化函數(shù)I(u)=∫? f(x,u,Du)和各向異性擬線性橢圓方程弱解的局部正則性；高紅亞等推廣了文[4]的結(jié)果,在文[5]中研究了各向異性擬線性橢圓方程?弱解的局部正則性.最近,各向異性橢圓方程障礙問(wèn)題的弱解受到極大關(guān)注.對(duì)于單邊障礙問(wèn)題,高紅亞等在文[6-7]中分別研究了各向異性A-調(diào)和方程?divA(x,Du)=0弱解的局部正則性和擬線性方程divA(x,u,Du)=divf(x)弱解的全局正則性；謝素英,廖敏在文[8]中研究了擬線性方程?divA(x,Du)=B(x,u,Du) 弱解的局部正則性.但是,關(guān)于各向異性橢圓方程(1.1)雙邊障礙問(wèn)題弱解的局部正則性尚未得到研究.本文受文[1-3,6-8]的啟發(fā),構(gòu)建了適合各向異性雙邊障礙問(wèn)題的檢驗(yàn)函數(shù),使用各向異性的逆Hlder不等式和Sobolev不等式,得到了非齊次橢圓方程(1.1)雙邊障礙問(wèn)題弱解的局部正則性,將文[6-8]中各向異性的單邊障礙問(wèn)題的相關(guān)結(jié)果推廣到了雙邊障礙問(wèn)題的情形.

設(shè)? ?Rn(n ≥2)是有界開(kāi)集,x0∈?,t >0,記Bt=Bt(x0),Bt(x0) 是以x0為中心,t為半徑的球.對(duì)k >0 和可測(cè)函數(shù)u(x),設(shè)Ak={x ∈?:u(x)> k},Ak,t=Ak∩Bt.而且如果m1,i=1,2,··· ,n.定義:

考慮各向異性Sobolev空間

局部各向異性Sobolev空間

考慮下面的非齊次橢圓方程

其中A(x,ξ):?×Rn→Rn,B(x,u,ξ)：?×R×Rn→Rn均為Carathodory函數(shù),滿足：

這里x ∈?,β1,β2,γ1,γ2均為正的常數(shù),函數(shù)h(x)∈Lrloc(?),h(x)>1,q ≤α1.

設(shè)φ,ψ為?中任意取值于R∪{±∞}的函數(shù),θ ∈W1,(pi)(?),

這里函數(shù)φ,ψ為兩個(gè)障礙,θ為邊值.

定義1.1函數(shù)稱為方程(1.1)的-障礙問(wèn)題的弱解,如果對(duì)任意的有

2.引理和主要結(jié)果

引理2.1[9]設(shè)有界非負(fù)函數(shù)f(τ)定義在0≤R0≤t ≤R1,假如對(duì)于R0≤τ ≤T ≤R1,有

這里A,B,γ,θ為非負(fù)常數(shù),且0≤θ <1,則存在一個(gè)常數(shù)C=C(γ,θ),使得對(duì)每個(gè)R,ρ,R0≤ρ

引理2.2[4]設(shè)這里p,,和r滿足

假設(shè)對(duì)每個(gè)k ∈N和R0<ρ

這里C是一個(gè)正的常數(shù),它僅僅依賴于n,pi,r,R0,R1和|?|,且γ是實(shí)數(shù),那么(?),其中

定理2.1若方程(1.1)滿足條件(1.2),(1.3),(1.4),且則對(duì)是方程(1.1)的-障礙問(wèn)題的弱解,有其中

3.定理的證明

在證明過(guò)程中,常數(shù)C僅依賴于β1,β2,γ1,γ2,n,pi,R0,R1和|?|,并且ε和C(ε)分別代表Young不等式較小和較大的常數(shù).證明過(guò)程中的常數(shù)C在不同的地方取值不同,是可以線性變化的.

證設(shè)(?)是方程(1.1)的-障礙問(wèn)題的弱解,且0≤R0<τ

又因(?),? ∈C∞0(BR1),于是

在?中幾乎處處成立,從而有(?).由v的假設(shè)可得

注意到,對(duì)任何給定的常數(shù)k >0,當(dāng)u ≤k時(shí)有v=u.

一方面,

另外一方面,

結(jié)合(1.5),(3.2),(3.3)和(3.4)式得

現(xiàn)在我們分別來(lái)估計(jì)(3.5)式的左右兩邊.

首先,由(1.2)式和?=1在Bτ里成立,所以(3.5)式的左側(cè)可估計(jì)為

下面,我們來(lái)估計(jì)I1,I2,I3.

先估計(jì)|I1|式,使用(1.3)式有,

在本文中,因?yàn)镽1<1,所以|t ?τ|<1,|t ?τ|?pi≤|t ?τ|?p(pi>1,i=1,2,··· ,n).利用Hlder不等式,Young不等式得到,

注由于pi,pj的下角標(biāo)i,j代表的都是從1到n的正整數(shù),為了與(3.6)式符號(hào)統(tǒng)一,故把(3.8)式第二行和第三行的第二個(gè)積分中關(guān)于j的求和改為關(guān)于i的求和.

再估計(jì)|I2|式,使用(1.3)式,(3.1)式,Hlder不等式有

為了與(3.6)、(3.8)式符號(hào)統(tǒng)一,故把(3.9)式最后一行的第二個(gè)積分關(guān)于j的求和也改為關(guān)于i的求和,關(guān)于|I3|的估計(jì)也使用了類(lèi)似的方法.再利用Young不等式,得到

最后估計(jì)|I3|式,使用(1.4)式,Hlder不等式有

利用基本不等式(a1+a2+···+an)r≤2r(ar1+ar2+···+arn),其中ai(i=1,2,··· ,n)非負(fù),得到

回顧前面的假設(shè)q ≤α

聯(lián)立(3.6),(3.8),(3.10),(3.13)和(3.14)式,最后可得

因?yàn)棣拧渑cε相互獨(dú)立,選擇足夠小的正數(shù)ε,使得θ=C(p,n,β1,β2,γ1,γ2,ε′)ε<1,則通過(guò)引理2.1 可知,對(duì)任意的R0<ρ

由引理2.2得到定理.